A un cerezo subí, que cerezas tenía ...

ENUNCIADO. A un cerezo subí, que cerezas tenía; cerezas no cogí, y cerezas en el cerezo no dejé. ¿ Cuántas cerezas había en el cerezo antes de subir ?

SOLUCIÓN. De la frase cerezas tenía (se habla de cerezas), se deduce que el número de cerezas que tenía el cerezo era mayor que $1$. Por otra parte, de la frase cerezas no cogí ( no cogí más de una cereza ), se deduce que cogí $1$ o bien $0$ cerezas; pero, teniendo en cuenta, además, la frase cerezas en el cerezo no dejé ( no quedó en el cerezo más de una cereza ), tuve que coger exactamente $1$ cereza y dejar de coger exactamente $1$ cereza. Necesariamente, debí coger alguna cereza, pues, de lo contrario ( de no haber cogido ninguna ), habría quedado alguna cereza en el cerezo, en contra de lo que se dice en la tercera frase. Por consiguiente, en el cerezo había exactamente $2$ cerezas. $\square$

Efectuar el siguiente reparto proporcional

ENUNCIADO. Un empresario desea repartir una prima de $600,00$ euros entre tres trabajadores, de forma directamente proporcional al número de horas extras trabajadas por cada uno de ellos, que son: $1$, $2$ y $3$ horas, respectivamente. ¿ Cuánto corresponde a cada uno ?.

SOLUCIÓN. Denotamos por $x$, $y$ y $z$ a las partes correspondientes ( atendiendo a $1$, $2$ y $3$ horas extras, respectivamente ). Entonces, $\dfrac{x}{1}=\dfrac{y}{2}=\dfrac{z}{3}$, que es igual a la constante de proporcionalidad, $k$, y que por la igualdad de las tres razones aritméticas ha de ser igual a $\dfrac{x+y+z}{1+2+3}$, siendo $x+y+z=600$; por tanto el valor de la constante de proporcionalidad es $k=\dfrac{600}{1+2+3}=\dfrac{600}{6}=100$.

Así,

$\dfrac{x}{1}=k$
$\dfrac{y}{2}=k$
$\dfrac{z}{3}=k$

y como $k=100$,

$\dfrac{x}{1}=100$
$\dfrac{y}{2}=100$
$\dfrac{z}{3}=100$

luego

$x=1\cdot 100= 100 \; \text{euros}$
$y=2\cdot 100= 200 \; \text{euros}$
$z=3\cdot 100= 300 \; \text{euros}$

$\square$

Resolver el siguiente sistema

ENUNCIADO. Resolver el sistema de ecuaciones:
$$\left\{\begin{matrix}
x -y=1 \\
xy=1
\end{matrix}\right. $$

ENUNCIADO. Despejando $y$ de la segunda ecuación, $y=1/x$. Sustituyendo, ahora, la expresión ( en $x$ ) de $y$ en la primera ecuación $$x-\dfrac{1}{x}=1$$ multiplicando por $x$ en ambos miembros $$x^2-x=x$$ esto es $$x^2-x-1=0$$ luego $$x=\dfrac{-(-1)\pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot(-1)\cdot 1}}{2\cdot 1}=\dfrac{1\pm \sqrt{5}}{2}=\left\{\begin{matrix}
\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}
\\
\text{ó}
\\
\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}
\end{matrix}\right.$$

Por tanto:
Si $x=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$, $y=x-1=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}-1=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}$

Si $x=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$, $y=x-1=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}-1=-\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$

En conclusión, la solución del sistema viene dada por los siguientes pares de valores ($x$,$y$):
$\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\,,\,\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2} \right)$ y $\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\,,\,-\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \right)$

$\square$

Encontrar los valores de x que cumplen las siguientes condiciones

ENUNCIADO. Resolver las siguientes inecuaciones:
a) $|x-1|\ge 1$
b) $x-1 < -x+1$

SOLUCIÓN.
a)
Por la definición de valor absoluto, distinguimos los siguientes casos:
i) Si $x-1\succ0, x-1 \ge 1$, luego $x \ge 2$
ii ) Si $x-1=0, 0 \ge 1$, lo cual es absurdo, y, por tanto, de este caso no extraemos información
iii) Si $x-1\prec 0, -(x-1) \ge 1$, y por tanto $x-1 \le -1 \Leftrightarrow x \le 0$, luego $x \ge 0$

Reuniendo la información de i) y iii), vemos que la solución viene dada por $(-\infty\,,\,0] \cup [2\,,\,+\infty)$, que también puede expresarse de la forma $\mathbb{R}\setminus (0\,,\,2)$

b)
$x-1 < -x+1 \Leftrightarrow x+x < 1+1 \Leftrightarrow 2x < 2 \Leftrightarrow x < 1$, por tanto la solución es la semirrecta $\{x \in \mathbb{R}: x <1 \}$, que, en el lenguaje de intervalos, puede expresarse de la forma $(-\infty\,,\,1) \subset \mathbb{R}$

$\square$

Resolver las siguientes ecuaciones

ENUNCIADO. Resolver las siguientes ecuaciones:
a) $\sqrt{x-1}+1=x$
b) $x^4-5x^2-36=0$

SOLUCIÓN.
a)
$\sqrt{x-1}+1=x$
  $\sqrt{x-1}=x-1$
    $(\sqrt{x-1} )^2=(x-1)^2$
      $x-1=(x-1)^2$     (1)
        $(x-1)^2-(x-1)=0$
          $(x-1)\left((x-1)-1\right)=0$
            $(x-1)(x-2)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x-1=0 \Leftrightarrow x=1
\\
\text{ó}
\\
x-2=0 \Leftrightarrow x=2
\end{matrix}\right.$

NOTA: Otra forma de proceder, a partir de (1), es la siguiente
      $x-1=(x-1)^2$
        $x-1=x^2-2x+1$
          $0=x^2-2x-x+1+1$
            $0=x^2-3x+2$
              $x=\dfrac{-(-3)\pm \sqrt{(-3)^2-4\cdot 1\cdot 2}}{2 \cdot 1}=\dfrac{3\pm 1}{2}=\left\{\begin{matrix}
2
\\
\text{ó}
\\
1
\end{matrix}\right.$
Concluyendo. La solución de la ecuación pedida es viene dada por el conjunto de números reales $\{1\,,\,2\}$

b)
Como $x^4-5x^2-36=0$ puede escribirse de la forma $(x^2)^2-5x^2-36=0$, llamando $t$ a $x^2$, la ecuación dada se transforma en la ecuación de segundo grado $t^2-5t^2-36=0$; resolviéndola: $$t=\dfrac{-(-5)\pm \sqrt{(-5)^2 -4 \cdot 1 \cdot (-36)}}{2\cdot 1}=\dfrac{5\pm \sqrt{169}}{2}=\dfrac{5\pm 13}{2}=\left\{\begin{matrix}
9
\\
\text{ó}
\\
-4
\end{matrix}\right.$$
Finalmente, por ser $x^2=t$ tenemos que $x=\sqrt{t}$, luego encontramos los valores pedidos de $x$ razonando de la siguiente manera:
    Si $t=9$, $x=\sqrt{9}=\pm 3 $
    Si $t=-4$, $x=\sqrt{-4} \notin \mathbb{R}$
Concluimos, pues, que la solución de la ecuación pedida es viene dada por el conjunto de números reales $\{-3\,,\,3\}$

$\square$

Resolver las ecuaciones de segundo grado ...

ENUNCIADO. Resolver las siguientes ecuaciones:
a) $x^2+5x+6=0$
b) $\dfrac{1}{x-1}=x+1$

SOLUCIÓN.

a)
$x^2+5x+6=0$
  $x=\dfrac{-5\pm \sqrt{5^2-4\cdot 1 \cdot 6}}{2\cdot 1}=\dfrac{-5\pm 1}{2}=\left\{\begin{matrix}-2\\ \text{ó}\\-3\end{matrix}\right.$

b)
$\dfrac{1}{x-1}=x+1 \Leftrightarrow 1=(x-1)(x+1) \Leftrightarrow 1=x^2-1^2 \Leftrightarrow x^2=2$, de donde $$x=\sqrt{2}=\left\{\begin{matrix}\sqrt{2}\\\text{ó}\\-\sqrt{2}\end{matrix}\right.$$
$\square$

Sistemas de ecuaciones lineales

ENUNCIADO. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales $$\left\{\begin{matrix}
2x & + & 5y &=&1\\
5x & + & 3y &=&2\\
\end{matrix}\right.$$

SOLUCIÓN.
Mediante la combinación $5\,e_1-2\,e_2 \rightarrow e_2$ obtenemos el sistema equivalente
$$\left\{\begin{matrix}
2x & + & 5y &=&1\\
& & 19y &=&1\\
\end{matrix}\right.$$
Despejando $y$ de la segunda ecuación $$y=\dfrac{1}{19}$$ y sustituyendo en la primera $$2x+5\cdot \dfrac{1}{19}=1$$ de donde resulta que $$x=\dfrac{7}{19}$$

$\square$

Ecuaciones bicuadradas

ENUNCIADO. Resolver la siguiente ecuación $$x^4-5x^2+4=0$$

SOLUCIÓN.
Teniendo en cuenta que $x^4-5x^2+4=0$ puede escribirse de la forma $(x^2)^2-5x^2+4=0$, llamando $t$ a $x^2$, la ecuación dada se transforma en la ecuación de segundo grado $t^2-5t^2+4=0$; resolviéndola: $$t=\dfrac{-(-5)\pm \sqrt{(-5)^2 -4 \cdot 1 \cdot (4)}}{2\cdot 1}=\dfrac{5\pm \sqrt{9}}{2}=\dfrac{5\pm 3}{2}=\left\{\begin{matrix}
4
\\
\text{ó}
\\
1
\end{matrix}\right.$$
Finalmente, por ser $x^2=t$ tenemos que $x=\sqrt{t}$, luego encontramos los valores pedidos de $x$ razonando de la siguiente manera:
    Si $t=4$, $x=\sqrt{4}=\pm 2 $
    Si $t=1$, $x=\sqrt{1}=\pm 1$
Con lo cual, la solución de la ecuación pedida es viene dada por el conjunto de números reales $\{-2\,,\,-1\,,\,1\,,\,2\}$

$\square$

Intervalos

ENUNCIADO. Expresar de otras formas el siguiente intervalo de la recta de los números reales $$\{x \in \mathbb{R}: |x-3|\le 2\}$$

SOLUCIÓN.
De la definición de valor absoluto:
(1) Si $x-3$ es positivo, $x-3\le 2$, y por tanto, $x \le 5$
(2) Si $x-3$ es negativo, $-(x-3)\le 2$, esto es, $x-3\ge -2$ y por tanto, $x \ge 1$
(3) Si $x-3$ es cero, $0\le 2$, de lo cual no extraemos información.
Luego, de (1) y (2), deducimos que el intervalo de la recta numérica es $[1\,,\,5]\subset \mathbb{R}$

$\square$

Racionalizar

ENUNCIADO. Racionalizar las siguientes expresiones:
a) $\dfrac{3}{\sqrt{5}}$
b) $\dfrac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$

SOLUCIÓN.
a)
$\dfrac{3}{\sqrt{5}}=\dfrac{3}{\sqrt{5}}\cdot \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\dfrac{3\,\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}}=\dfrac{3\,\sqrt{5}}{5}$

b)
$\dfrac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\cdot \dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2}=\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{3-2}=$
 $=\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{1}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$

$\square$

Aproximación por intervalos encajados

ENUNCIADO. Aproximar, mediante sucesivos intervalos ( intervalos encajados ), el número $\sqrt{3}$. Primero, hasta las unidades; a continuación, hasta las décimas; después, hasta las centésimas; y, finalmente, hasta las milésimas.

SOLUCIÓN.
Con ayuda de la calculadora vemos que:
Aproximación a las unidades ( por defecto y por exceso ):
$\sqrt{3}\approx 1,73205$, luego $$1 \le \sqrt{3} \le 2 \Rightarrow \sqrt{3} \in I_1=(1\,,\,2)\subset \mathbb{R}$$

Aproximación a las décimas ( por defecto y por exceso ):
$$1'7 \le \sqrt{3} \le 1'8 \Rightarrow \sqrt{3} \in I_2=(1'7\,,\,1'8)\subset (1\,,\,2) \subset \mathbb{R}$$

Aproximación a las centésimas ( por defecto y por exceso ):
$$1'73 \le \sqrt{3} \le 1'74 \Rightarrow \sqrt{3} \in I_3=(1'73\,,\,1'74)\subset (1'7\,,\,1'8) \subset (1\,,\,2) \subset \mathbb{R}$$

Aproximación a las milésimas ( por defecto y por exceso ):
$1'732 \le \sqrt{3} \le 1'733 \Rightarrow \sqrt{3} \in I_4=(1'732\,,\,1'733)\subset (1'73\,,\,1'74) \subset (1'7\,,\,1'8) \subset $
$\subset (1\,,\,2) \subset \mathbb{R}$

$\square$

Obtener la correspondiente fracción generatriz

ENUNCIADO. Escribir en forma fraccionaria estos números:
a) $2,\overline{2}$
b) $0,1\overline{5}$
c) $-7,1$

SOLUCIÓN.
a) $2,\overline{2}\overset{\text{n.d.p.p.}}{=}\dfrac{22-2}{9}=\dfrac{20}{9}$

b) $0,1\overline{5}\overset{\text{n.d.p.m.}}{=}\dfrac{15-1}{90}=\dfrac{14}{90}=\dfrac{7}{45}$

c) a) $-7,1\overset{\text{n.d.e.}}{=}-\dfrac{71}{10}$

Nota ( abreviaciones utilizadas ):
número decimal exacto ( n.d.e. )
número decimal periódico puro ( n.d.p.p. )
número decimal periódico mixto ( n.d.p.m. )

$\square$

Calculo con fracciones

ENUNCIADO. Calcular y simplificar el resultado: $$\dfrac{5}{9}-\left(-\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{2}\right)+\dfrac{10}{3}\cdot \left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{5}\right)^2$$

SOLUCIÓN.
$\dfrac{5}{9}-\left(-\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{2}\right)+\dfrac{10}{3}\cdot \left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{5}\right)^2=$
  $=\dfrac{5}{9}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{10}{3}\cdot \left(\dfrac{3}{10} \right)^2$
    $=\dfrac{5}{9}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{10}{3}\cdot \dfrac{9}{100} $
      $=\dfrac{5}{9}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{10}$
        $=\dfrac{5\cdot 20}{180}-\dfrac{1 \cdot 45}{180}+\dfrac{3 \cdot 18}{180}$ ( reduciendo a común denominador, $\text{m.c.m}(9,4,10)=180$ )
          $=\dfrac{100}{180}-\dfrac{45}{180}+\dfrac{54}{180}$
            $=\dfrac{100-45+54}{180}$
              $=\dfrac{109}{180}$
$\square$

Operaciones con radicales

ENUNCIADO. Operar y simplificar :
a) $2\,\sqrt{20}+3\,\sqrt{45}-\sqrt{80}$
b) $4\,\sqrt[3]{16}+5\,\sqrt[3]{54}-2\,\sqrt[3]{250}$

SOLUCIÓN.
a) Como $80=2^4 \cdot 5$, $20=2^2\cdot 5$ y $45=3^2 \cdot 5 $, podemos escribir la expresión numérica pedida de la forma $$2\,\sqrt{2^2 \cdot 5}+3\,\sqrt{3^2 \cdot 5}-\sqrt{2^4\cdot 5}$$ que es igual a $$2 \cdot 2 \sqrt{5}+3\cdot 3\sqrt{5}-2^2\,\sqrt{5}$$ es decir $$4\,\sqrt{5}+9\,\sqrt{5}-4\,\sqrt{5}$$ que es igual a $$9\,\sqrt{5}$$

b) a) Como $16=2^4$ , $54=3^3\cdot 2$ y $250=5^3 \cdot 2 $, podemos escribir la expresión numérica pedida de la forma $$4\,\sqrt[3]{2^4}+5\,\sqrt[3]{3^3\cdot 2}-2\,\sqrt[3]{5^3\cdot 2}$$ que es igual a $$4\cdot 2 \sqrt[3]{2}+5\cdot 3\,\sqrt[3]{2}-2\cdot 5\,\sqrt[3]{2}$$ es decir $$8\,\sqrt[3]{2}+15\,\sqrt[3]{2}-10\,\sqrt[3]{2}$$ que es igual a $$(8+15-10)\,\sqrt[3]{2}$$ y por tanto a $$13\,\sqrt[3]{2}$$
$\square$

[autoría]

Determinar el intervalo de la recta numérica ...

ENUNCIADO. Encontrar el intervalo de la recta de los números reales que representa la solución de la siguiente inecuación $$|x-3| \le 2$$

SOLUCIÓN.
De acuerdo con la definición de valor absoluto, debemos plantear las siguientes situaciones:
(1) Si $x-3$ es positivo, entonces $x-3 \le 2 \Rightarrow x \le 5$
(2) Si $x-3$ es negativo, entonces $-(x-3) \le 2 \Rightarrow x-3 \ge -2 \Rightarrow x \ge 3-2=1$
(3) Si $x-3$ es cero, entonces $0 \le 2$ ( que es trivial ), y no obtenemos nueva información.
Así, de (1) y (2) concluimos que la solución a la inecuación pedida es el intervalo $\{1 \le x \le 5: x \in \mathbb{R}\}$, esto es, $[1\,,\,5] \subset \mathbb{R}$
$\square$

[autoría]

Racionalizar las siguientes expresiones con radicales

ENUNCIADO. Racionalizar las siguientes expresiones con radicales:
a) $\dfrac{5}{\sqrt[5]{2^4}}$
b) $\dfrac{2}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$
c) $\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$

SOLUCIÓN.

[autoría]

Dividir por Ruffini

ENUNCIADO. Dividir por el método de Ruffini, dando el polinomio cociente y el polinomio resto: $$(4x^5-3x^2+x-1) \div (x+2)$$
Sin hacer ninguna operación más: ¿ Cuál es el valor del polinomio $4x^5-3x^2+x-1$ para $x=-2$ ?

SOLUCIÓN.
Preparando la división pedida ( por Ruffini )
$$(4x^5-3x^2+x-1) \div (x-(-2))$$
con lo cual
$$\begin{array}{r|rrrr}
& 4 & 0 & 0 & -3 & 1 & -1\\
-2 & & -8 & 16 & -32 & 70 & -142\\
\hline & 4 & -8 & 16 & -35 & 71 & -143\end{array}$$
El polinomio cociente es $$4x^4-8x^3+16x^2-35x+71$$
y el resto ( que es un polinomio de grado cero ) es $$-143$$
$\square$

[autoría]

Operaciones con polinomios

ENUNCIADO. Sean los polinomios $P(x)=6\,x^4-5\,x+2$ y $Q(x)=2\,x^2+x-1$. Se pide:
a) $P(-1)$ y $Q(-1)$
b) $R(x):=P(x)\cdot Q(x)$
c) $R(-1)$
d) $T(x):=\text{cociente}\left(P(x) \div Q(x)\right)$
e) $T(-1)$
f) $S(x):=\text{resto}\left(P(x) \div Q(x)\right)$
g) $S(-1)$

SOLUCIÓN.

[autoría]

Situar el número racional dado en la recta numérica

ENUNCIADO. Sea el número racional $\dfrac{10}{3}$. Se pide:
a) Expresar la fracción impropia que lo representa en forma mixta
b) Acotar el número dado entre los dos enteros más próximos al mismo
c) Mediante la aplicación del teorema de Tales, situarlo en la recta numérica de los números reales, empleando regla y compás.

SOLUCIÓN.

[autoría]

Ordenar de mayor a menor

ENUNCIADO. Ordenar de mayor a menor las siguientes fracciones, sin recurrir a sus expresiones decimales:\par
$$\lbrace \,\dfrac{16}{64}\,,\,-\dfrac{3}{4}\,,\,-\dfrac{5}{8}\,,\,\dfrac{2}{15}\,,\,\dfrac{12}{65} \, \rbrace$$

SOLUCIÓN.



Habiendo reducido las fracciones a común denominador, el orden de los numeradores establece el orden de las fracciones:
$$-\dfrac{3}{4} \gt -\dfrac{5}{8} \gt \dfrac{2}{15} \gt \dfrac{12}{65} \gt \dfrac{1}{4} $$

$\square$

[autoría]

Calcular el error de aproximación

ENUNCIADO. Aproximamos el número $x=\dfrac{13}{7}$ por $\bar{x}=1,86$. Calcular el error absoluto, $E$, y el error relativo, $\epsilon$. Dar una cota del error absoluto, $\Delta$, y una cota del error relativo, $\varepsilon$.

SOLUCIÓN.

$E\overset{\text{def}}{=}|x-\bar{x}|=|\dfrac{13}{7}-1,86|=|\dfrac{13}{7}-\dfrac{93}{50}|=\dfrac{1}{350}\prec \dfrac{1}{349}$, luego $\Delta:=\dfrac{1}{349} \approx 3\cdot 10^{-3}$

$\epsilon\overset{\text{def}}{=}\dfrac{E}{x}=\dfrac{1/350}{13/7}=\dfrac{1}{650}\prec \dfrac{1}{649}$, luego $\varepsilon:=\dfrac{1}{649} \approx 2\cdot 10^{-3}=0,2\,\%$

$\square$

[autoría]

Determinar la fracción generatriz

ENUNCIADO. Determinar la fracción generatriz de los siguientes números racionales:
a) $8,\,43\,\overline{15}$
b) $1,\,\overline{234}$
c) $0,000\,728$

SOLUCIÓN.

a)
$8,\,43\,\overline{15}\quad \overset{\text{d.p.m.}}{=} \quad \dfrac{84315-843}{9900}=\dfrac{83472}{9900} \quad \overset{\text{m.c.d.}(83472,9900)=12}{=} \quad \dfrac{6956}{825}$

b)
$1,\,\overline{234} \quad \overset{\text{d.p.p.}}{=} \quad \dfrac{1234-1}{999}=\dfrac{1233}{999} \quad \overset{\text{m.c.d.}(1233,999)=9}{=} \quad \dfrac{137}{111}$

c)
$0,000\,728 \quad \overset{\text{d.e.}}{=} \quad \dfrac{728}{1\,000\,000} \quad \overset{\text{m.c.d.}(728,1\,000\,000)=8}{=} \quad \dfrac{91}{125\,000}$

$\square$

[autoría]

Operar con fracciones

ENUNCIADO. Efectuar las siguientes operaciones con fracciones:

a) $\dfrac{2}{45}-\dfrac{11}{21}+\dfrac{5}{14}$

b) $\dfrac{4}{7} \cdot \dfrac{21}{9}$

c) $\dfrac{3}{2} \div \dfrac{6}{18}$

d) $\left(-\dfrac{5}{4}\right)^{2} \div \dfrac{15}{2}-\dfrac{1}{2}$

SOLUCIÓN.

a)

$\dfrac{2}{45}-\dfrac{11}{21}+\dfrac{5}{14} \quad \overset{\text{m.c.m}(45,21,14)=630}{=} \quad \dfrac{2 \cdot 630 \div 45}{630}+\dfrac{(-11)\cdot 630 \div 21}{630}+\dfrac{5 \cdot 630\div 14}{630}$

  $=\dfrac{28}{630}+\dfrac{(-330)}{630+\dfrac{225}{630}}$

    $=\dfrac{28+(-330)+225}{630}$

      $=\dfrac{-77}{630}$

      $=-\dfrac{77}{630}$

        $\quad \overset{\text{m.c.d.}(77,630)=7}{=}\quad -\dfrac{11}{90}$

b)

$\dfrac{4}{7} \cdot \dfrac{21}{9}$

  $=\dfrac{4 \cdot 21}{7 \cdot 9}$

    $=\dfrac{21 \cdot 4}{7 \cdot 9}$

    $=\dfrac{21}{7}\cdot \dfrac{4}{9}$

      $=3\cdot \dfrac{4}{9}$

        $=\dfrac{3\cdot 4}{9}$

          $=\dfrac{4\cdot 3}{9}$

            $=4 \cdot \dfrac{3}{9}$

              $=4 \cdot \dfrac{1}{3}$

                $=\dfrac{4}{3}$


c)

$\dfrac{3}{2} \div \dfrac{6}{18}$

  $ \overset{\frac{6}{18}=\frac{1}{3}}{=} \quad \dfrac{3}{2} \div \dfrac{1}{3}$

    $=\dfrac{3}{2} \cdot \text{inverso} \left( \dfrac{1}{3} \right)$

      $=\dfrac{3}{2} \cdot 3$

        $=\dfrac{3 \cdot 3}{2}$

          $=\dfrac{9}{2}$


d)

$\left(-\dfrac{5}{4}\right)^{2} \div \dfrac{15}{2}-\dfrac{1}{2}$

  $=\dfrac{25}{16} \div \dfrac{15}{2}-\dfrac{1}{2}$

    $=\dfrac{25}{16} \cdot \text{inverso}\left( \dfrac{15}{2}\right)-\dfrac{1}{2}$

      $=\dfrac{25}{16} \cdot \dfrac{2}{15}-\dfrac{1}{2}$

        $=\dfrac{25 \cdot 2}{16 \cdot 15} -\dfrac{1}{2}$

          $=\dfrac{2 \cdot 25}{16 \cdot 15} -\dfrac{1}{2}$

            $=\dfrac{2}{16}\cdot \dfrac{25}{15} -\dfrac{1}{2}$

              $=\dfrac{1}{8}\cdot \dfrac{5}{3} -\dfrac{1}{2}$

                $=\dfrac{1\cdot 5}{8 \cdot 3} -\dfrac{1}{2}$

                  $=\dfrac{5}{24} -\dfrac{1}{2}$

                    $=\dfrac{5}{24} -\dfrac{12}{24}$

                      $=\dfrac{5}{24} +\dfrac{(-12)}{24}$

                        $=\dfrac{5+(-12)}{24}$

                          $=\dfrac{(-7)}{24}$

                            $=-\dfrac{7}{24}$

$\square$

[autoría]

Resta y cociente de dos números reales

Teniendo en cuenta las propiedades de las operaciones básicas de suma y producto de números reales, las operaciones de resta y cociente de dos números reales ( $a,b \in \mathbb{R}$ ) son operaciones que vienen definidas a través de: la suma y el opuesto del sustraendo ( para la resta ) $$a-b=a+\text{opuesto}(b)$$ y del producto y el inverso del divisor ( para el cociente ) $$a \div b = a \cdot \text{inverso}(b) = a \cdot \dfrac{1}{b}$$

Ejemplos:
a) Sean los números enteros ( y por tanto reales ) $2$ y $3$, entonces: $$2-3=2+\text{opuesto}(2)=2+(-3)=-1$$
b) Sea el número real $\pi$ y el número entero ( y por tanto real ) $2$, entonces: $$\pi \div 2 = \pi \cdot \text{inverso}(2)=\pi \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{\pi}{2}$$

[autoría]

María lanza una moneda y Juan lanza dos ...

ENUNCIADO:
María lanza una moneda equilibrada e, independientemente, Juan lanza dos monedas. ¿ Cuál es la probabilidad de que ambos obtengan el mismo número de caras ?.

SOLUCIÓN:
Denotemos los sucesos de interés mediante la siguiente notación:

Para María ...
M₀: "María saca 0 caras" P(₀)=$\dfrac{1}{2}$
M₁: "María saca una cara" P(M₁)=$\dfrac{1}{2}$
M₂: "María saca dos caras" ( suceso imposible, ya que sólo puede lanzar una vez su moneda ); por tanto, P(₂)=0

Para Juan ...
J₀: "Juan saca 0 caras" P(J₀)=$\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}$
J₁: "Juan saca 1 cara" P(J₁)=P(obtener "+C" ó "C+") = $\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}$
J₂: "Juan saca 2 caras" ( en realidad, no hace falta considerar este suceso, pues María no puede obtenerlo )


Así, la probabilidad de que ambos obtengan el mismo número de caras es $$P\left((M_0 \cap J_0) \cup (M_1 \cap J_1)\right) = \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{8}$$

$\square$

[autoría]

Un grupo de 12 personas desean alogarse en un refugio de montaña ...

ENUNCIADO:
Un grupo de 12 personas desean alojarse en un refugio de montaña en el que hay tres habitaciones disponibles: una con dos camas; otra con cuatro camas, y la tercera con seis camas. ¿ De cuántas maneras pueden colocarse las doce personas en las tres habitaciones ( cada persona en una cama ) ?.

SOLUCIÓN:
Por el principio de elecciones independientes ( principio multiplicativo ) y teniendo en cuenta que las camas que hay en cada una de las habitaciones son idénticas [ con lo cual no importa el orden de elección de las camas de una misma habitación ], hay un total de $C_{12,2}\cdot
C_{12-2,4}\cdot C_{12-(2+4),6}=13860$ possibilidades

$\square$

[autoría]

Rectas y triángulos ... ( Artículo escrito en catalán )

[nota del autor]

Cálculo del número de rectas que se pueden trazar a partir de un determinado conjunto de puntos de modo que ... ( Artículo escrito en catalán )

[nota del autor]

Suma de vectores. Regla del polígono vectorial ...

[nota del autor]

Combinacions amb repetició

Considerant un conjunt de n boles idéntiques, que volem distribuir entre $m$ urnes. Com que les boles son indistigibles, no es rellevant l'ordrem amb què es posen. Quàntes ordenaciones són posibles ?. Aquest problema es perfila com un problema de combinaciones amb repetició.

Als llibres de text trobem que el nombre d'agrupacions o ordenacions ve donat per la fórmula

$\binom{n+m-1}{m-1}=\binom{n+m-1}{n}$

Per demostrar aquesta fórmula, procedirem a pensar una situació anàloga que ens porti a veure d'una manera força clara la situació; farem la següent codificació:

Entendrem els m objectes com una mena de boles idéntiques que han d'anar ubicades en els n espais que queden entre n-1 barres separadores. Les ordenacions de boles i barres permeten intepretar el problema com un de permutacions amb elements repetits, per tant

$\frac{(m+(n-1))!}{(n-1)!\,m!}$

que identifiquem amb el valor del nombre combinatori

$\binom{m+(n-1)}{m}$

o, equivalentment,

$\binom{m+(n-1)}{n-1}$

Exemple:
¿ Perqué hi ha un total de $28$ xifres en el joc del dòmino ? Bé, com que es tracta de distribuir dues marques indistingibles ( meitat esquerra i meitat dreta, respectivament ), $n=2$ ) entre els $m=7$ elements del conjunt $\{0,1,2,3,4,5,6\}$, assemblem aquest problema al de les combinacions amb repetició de $n=2$ "boles" indistingibles" ( marques ) a distribuir en $m=7$ llocs. Llavors, el número d'ordenacions possibles ( el nombre de fitxes ) es igual a $\binom{2+7-1}{2}=28$

$\square$

Resolución de un instrumento de medida ... ( Artículo escrito en catalán )

1. Resolució d'un instrument de mesura
El terme resolució es refereix a la capacitat que té l'aparell - prèviament calibrat - de poder discriminar entre una unitat i la següent.

En un instrument de mesura de lectura analògica, la resolució (o sensibilitat) correspon a una unitat menor de l'escala (considerant el nonius, si és el cas). Així, per exemple, en un metro de fuster, la resolució és d'un milímetre; en un peu de rei, és força més gran (nonius): 0,05 mm.


Observació: sobre el nombre de xifres significatives d'una quantitat decimal
La resolució, com les fites d'error, es dóna amb una sola xifra significativa; per exemple, és correcte parlar d'una resolució de 0,02 mm, però no d'una resolució de 0,023 mm, on hi ha dues xifres significatives (el "2" i el "3"). Recordem que una manera pràctica i ràpida de saber el nombre de xifres significatives d'una quantitat decimal és expressar-la en notació científica i comptar el nombre de xifres de la mantisa: aquest és el nombre de xifres significatives. Exemple: quantes xifres significatives té la quantitat 100,0056 ? Bé, expresse-ho en notació científica de de coma flotant -> 1,000056 x 10², trobem que la mantisa (1,000056) consta de 7 xifres, per tant, el nombre de xifres significatives de 100,0056 és set.

En un instrument digital, la resolució correspon a l'últim dígit de lectura. Si un termòmetre digital té una resolució de 0,1ºC, podrem fer lectures que donaran els graus i les dècimes de grau; per exemple: 21,7ºC. Si la resolució és de 0,5ºC , les lectures saltaran de mig grau en mig grau, la mateixa temperatura la llegirem així: 21,5ºC; cas de fer servir un termòmetre amb una resolució de 1ºC, les lectures aniran de grau a grau, i la mateixa temperatura la llegiríem així: 22ºC

Per valorar la precisió amb què podem fer una mesura amb un determinat instrument o aparell de mesura cal anar una mica més enllà del terme resolució. Convé parlar - permeteu-me el ris - amb més precisió de la precisió de la mesura. En el que segueix, suposarem sempre que l'instrument està calibrat i que funciona correctament. Tinguem també en compte que un instrument de mesura amb lectura digital no vol dir que sigui més precís que un instrument amb lectura analògica. Aquesta és una confusió molt freqüent. Per exemple, un rellotge analògic pot ser molt més precís - o no - que un rellotge amb pantalla digital. Espero que amb aquests comentaris introductoris hagi aclarit d'entrada alguns punts vagues quant a la noció de precisió.

2. Classe d'un instrument segons la seva precisió:
2.1. Consideracions sobre la fita d'error absolut que cal considerar quan fem una mesura amb un instrument de mesura determinat
En general, la fita d'error o màxim error absolut d'una mesura (d'ara endavant, faré abús de llenguatge i em referiré a la fita d'error absolut com a error absolut), operant en un determinat rang o escala de mesura, es pot saber mirant les especificiacions de l'instrument donades pel fabricant; aquesta dada s'anomena preció percentual absoluta o també classe de precisió de l'instrument.

Quan es dóna en tant per cent referit al fons d'escala o límit superior de la mesura, s'anomena també error reduït. La classe de precisió està normalitzada; i, així, podem tenir les següents classes de precisió: 0,1%; 0,2%; 0,5%; 1,0%; 1,5%; 2,5%; 4,0%.


[Observació
Quan per designar les classes de precissió es fa servir l'error relatiu, la classe de precisió s'indica dins d'un cercle.]


Exemples
És molt adequat posar exemples que facin referència a polímetres (multímetres) perquè en la mesura de les magnituds elèctrics sol ser habitual la necessitat de canviar d'escala. Si, per exemple, mesurem una tensió de 100 V, fent servir una escala o rang de mesura de 0 a 250 V, i la classe de precisió de l'instrument és del 2% (especificacions del fabricant de l'aparell), l'error absolut a tenir en compte per aquesta mesura és igual a 250.0,02 = 5 V, i, per tant, l'interval d'error tindrà com a extrems (100-5) V i (100+5) V. Si, sense canviar d'escala, mesurem ara una tensió de 50 V, l'error absolut a considerar per la imprecisió de la mesura no canvia; és el mateix mentre no canviem l'escala. Ara bé si, mesurem la mateixa tensió (100 V) en un fons d'escala igual a 500 V, l'error absolut a tenir en compte és, en aquest cas, el doble: 10 V. I, per tant, el marge d'incertesa o interval d'error serà (90, 110). D'això sol deduim ja que tindrem més impresició en la mesura amb una escala inapropiada.

2.2 Quant a l'error relatiu que cal considerar quan fem una mesura concreta amb un instrument de mesura d'una determinada classe de precisió
Recordem que l'error relatiu d'una mesura es defineix com la raó aritmètica entre l'error absolut de la mateixa i el valor nominal o de referència de la mateixa mesura. Operant en una mateixa escala, hem vist que l'error absolut a considerar és el mateix per qualsevol mesura que fem dins la mateixa escala, donada una determinada classe de precisió; ara bé, l'error relatiu, no és el mateix en qualsevol punt de l'escala. Suposem que mesurem una tensió de 10 V en un fons d'escala de 250 V. L'error absolut és de 10 V (recordem que el fabricant ens ha informat que la precisió percentual absoluta és del 2% (classe dos de precisió de l'instrument: (2/100)x250 = 5), per tant l'error relatiu de la mesura és igual a (5/10)x100 = 50 %, un error relaitu enorme (és a dir, una mesura molt imprecisa !). Què cal fer per obtenir una bona mesura ? Naturalment, canviar a una escala més apropiada: si canviem a una escala (fons d'escala) de 50 V, l'error absolut a considerar serà, ara, de 50x2/100 = 1 V; per tant, l'error relatiu de la nova mesura (tot i mesurar també els "deu volts") és de (1/10)x100 = 10 % ... força millor que la primera. La conclusió: fer servir sempre un fons d'escala adequat per fer mesures precises amb un mateix instrument amb diverses escales de mesura.

[nota del autor]

Precisión en los cálculos ...

Mètodes d'arrodoniment Mètode d'arrodoniment simètric Aquest és el mètode més senzill d'arrodoniment. Consisteix a augmentar l'última xifra que conservem en una unitat sempre que la següent xifra sigui un '5' o bé una xifra més gran que '5', per contra, quan aquesta és més petita que '5' és manté l'última xifra conservada tal com està. Exemples d'arrodoniment simètric Si no s'indica el contrari, farem servir sempre aquest mètode. Suposem que volem arrodonir a tres xifres significatives $4,6784539 \approx 4,68$ $3,455 \approx 3,46$ $7,34456345 \approx 7,34$ Si la quantitat a arrodonir és un nombre enter, primer cal arrodonir i, tot seguit, substituir per zeros les xifres que no siguin significatives. $5416433 \approx 5420000$ $5415000 \approx 5420000$ $5413126 \approx 5410000$ Mètode d'arrodoniment asimètric Un altre mètode que en la literatura anglosaxona es coneix amb el nom de round-to-even methode (1940) i que es fa servir força en ciències experimentals consisteix a fer servir un criteri una mica més acurat: Cal augmentar l'última xifra conservada sempre que la següent sigui superior a '5'; o bé, si aquesta és igual a '5', i a la seva dreta no hi cap altra xifra, sempre que l'última xifra a mostrar ocupi un lloc senar. Cal deixar invariant l'última xifra a conservar i menysprear la resta de la part decimal si la primera xifra (d'aquesta part a menysprear) és inferior a '5'; o bé si, sent aquesta justament un '5' i no havent-hi a la seva dreta cap altra xifra, l'última xifra a mostrar ocupi un lloc parell. Exemples d'arrodoniment asimètric Únicament farem servir aquest mètode si se'ns demana expressament. Suposem que volem arrodonir a tres xifres significatives $6,126 \approx 6,13$ $6,105 \approx 6,10$ $6,14500001 \approx 6,14$ En els següents exemples, arrodonirem a quatre xifres significatives: $9,0024 \approx 9,002$ $3,1266 \approx 3,127$ $7,1845 \approx 7,185$ $8,724500001 \approx 8,725$ Si la quantitat a arrodonir és un nombre enter, cal arrodonir i substituir per zeros les xifres que no siguin significatives. En els següents exemples, arrodonirem (de forma asimètrica) quantitats que no tenen part decimal, mostrant-les amb tres xifres significatives: $5416433 \approx 5420000$ $5425000 \approx 5430000$ $5425001 \approx 5430000$ $5413126 \approx 5410000$ Marge d'error màxim que afecta a una quantitat aproximada per arrodoniment Anomenem fita d'error absolut a l'error absolut més gran que es dóna, quan arrodonim una quantitat. Com a valor de la fita d'error absolut en un arrodoniment se sol prendre mitja unitat de l'ordre de l'última xifra de la quantitat arrodonida. Això garanteix que totes les xifres amb què mostrarem el resultat de l'aproximació siguin xifres significatives correctes/fiables 1 Exemples: Com a resultat d'arrodonir el nombre 45,654 a quatre xifres significatives, escriurem $45,65$, y trobem que l'error absolut es $\left| 45,654-45,65 \right| = 0,004 \prec 0,005 $; per tant prenderm com a fita d'error absoluto $\Delta = 0,005$, és a dir, $\Delta=5 \cdot 10^{-3} $, que como es pot veure es mitja unitad de l'ordre de l'última xifra del resultat de l'arrodoniment ( l'ordre de la xifra '5' es $10^{-2}$ ): $\dfrac{1}{2}\cdot 10^{-2}$. Es a dir, si l'aproximació del nombre $45,654$ es, per exemple $45,65\square$, volem dir que per garantir que les cuatre primeres xifres significatives siguin correctes/fiables s'ha de complir que $45,654 = 45,65\square \pm 0,0005$; es a dir, podem afirmar que $45,654 \in ( 45,65\square-0,0005\,,\,45,65\square+0,0005)=(45,648\,\,45,655)$, éssent la cinquena xifra, $\square$, dubtosa; així, per exemple, si $\square=7$, es evident que l'interval d'incertesa es ara $I=(45,652\,,\,45,662)$, i, per tant $45,65 \notin I$, amb la qual cosa '7' ha de ser un xifra no-correcta. Com a resultat d'arrodonir el nombre 567942 a dues xifres significatives escriurem: $570000$. Com que l'error asbsolut comès es $\left| 567942-570000 \right|= 2058 \prec 5000$, prenem com a fita d'error absolut $\Delta = 5\cdot 10^3$, que, com es pot veure es mitja unitat de l'ordre de l'última xifra ( l'ordre de la xifra '7' es $10^4$ ) de la quantitat aproximada: $\dfrac{1}{2} \cdot 10^4$ Expressió del resultat de les operacions d'un càlcul Quan fem operacions aritmètiques a partir d'un conjunt de dades que tenen una precisió limitada, no pas totes les xifres que s'obtenen són significatives; caldrà donar el resultat final del càlcul amb la mateixa precisió que la de la dada que menys menys precisa. Concretament, pel que fa a les operacions bàsiques quan es treballa amb nombres afectats d'errors caldrà tenir en compte que el resultat final l'haurem d'adequar d'acord a les següents normes: Si les operacions són sumes (o restes), el nombre de xifres significatives a la dreta de la coma decimal no pot ser més gran que el del sumand menys precís. Exemples: $78,5 + 1,24 = 79,74 \approx 79,7$ (el sumand menys precís és 78,5 ja que només té una x.s. a la dreta de la coma, per tant el resultat no ha de tenir més d'una xifra significativa a la dreta de la coma decimal) $57643 +2,6 = 57645,6 \approx 57646$ (el sumand menys precís és la quantitat entera, per tant el resultat no pot tenir decimals). Si les operacions són multiplicacions (o bé divisions), la precisió del resultat (el nombre de xifres significatives) no pot superar la del factor menys precís. Exemples: $ 78,5 · 1,24 = 97,34 \approx 79,3$ (1,24 té tres x.s. i 78,5 també en té tres) $764,894/2,6 = 294,19 \approx 290$ (ja que el factor menys precís és 2,6 (2 x.s.) i, doncs, el resultat no en pot tenir més de dues) ---- Una xifra significativa d'una quantitat aproximada o bé d'una quantitat que prové d'una mesura és una xifra significativa correcta si la fita d'error absolut és menor que mitja unitat de l'ordre de la xifra considerada.

[nota del autor]

Una empresa que fabrica candados ... ( Artículo escrito en catalán )

Una empresa construeix candaus protegits amb un nombre format per tres parells de nombres formats pel zero o bé per enters positius. Quants panys amb diferent combinació poden fer ? Si no sabem la clau i cada intent per obrir el candau ens ocupa 30 segons, quin és el temps màxim que podem arribar a necessitar per obrir-lo ? El codi secret de cada candau vindrà donat per [ab|cd|ef]; on a,b,c,d,e i f poden prendre valors en el conjunt {0,1,2,...,9}. Per tant, cada parella [xy] es pot escollir entre el conjunt {00,01,02,...,99}. Com que és un problema on és fonamental l'odre amb què es posen els parells de xifres l'identifiquem com un problema de variacions. Si, contemplem la possibilitat que es pugui repetir una mateixa parella de xifres - com ara, la possibilidat [818181] - tindrem VR100,3 = 1003 = 106 candaus protegits amb claus diferents. Si, per contra, no deixem que es repeteixin els parells, podrem preparar V100,3 = 100(99)(98) = 970200 candaus amb claus diferents. Pel que fa al temps necessari per obrir el candau sense saber-ne la clau, només cal que multipliquem per 3 el nombre de possibilitats. Per exemple, en el primer cas ens portaria 30 000 000 de segons, 8333 h i 20 min, és a dir, entre 347 i 348 dies.

[nota del autor]

Para conseguir un aumento de temperatura de ...

ENUNCIADO
Para conseguir un aumento de temperatura de $20$ grados centígrados en $2$ litros de un cierto líquido se han necesitado $1000$ calorías al calentarlo. Si queremos producir un aumento de temperatura de $50$ grados centígrados en $3$ litros del mismo líquido, ¿ cuántas calorías son necesarias ? \textsf{( Ayuda: Debe tratarse esta cuestión como un problema de proporcionalidad compuesta ). }

SOLUCIÓN
Denotamos por $x$ al número de calorías pedido. En este problema aparecen tres magnitudes relacionadas: la energía ( en forma de calor ) con la que se eleva la temperatura del líquido; el aumento de temperatura, y la cantidad de líquido. La primera es directamente proporcional a la segunda; y también es directamente proporcional a la tercera.

Razonamos, ahora, en dos pasos:

I) Si se necesitan $1000$ calorías para conseguir un aumento de $20$ grados centígrados en $2$ litros de líquido, entonces cabe plantear la siguiente proporción directa ( entre el número de calorías y la cantidad de líquido ) para calcular la cantidad de calorías, $x'$, que ello supone $$\dfrac{x'}{3}=\dfrac{1000}{2}$$ de donde $$x'=1000\cdot \dfrac{3}{2}$$

II) Por otra parte, para conseguir un aumento de temperatura de $50$ grados centígrados, en lugar de un aumento de $20$ grados centígrados, podemos plantear la siguiente proporción ( también directa, entre el número de calorías pedido, $x$, y el aumento de temperatura ) $$\dfrac{x}{x'}=\dfrac{50}{20}$$ De aquí $$x=x'\cdot \dfrac{50}{20}$$ es decir $$x=1000\cdot \dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{50}{20} = 3750 \, \text{calorías} $$

-oOo-
Otra forma ( abreviada):
La razón aritmética $\dfrac{x}{1000}$ ha de ser igual a la constante de proporcionalidad compuesta $k=k_1 \cdot k_2$, donde $k_1=\dfrac{3}{2}$ y $k_2=\dfrac{50}{20}$; por tanto, $$\dfrac{x}{1000}=\dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{50}{20}$$ y, despejando $x$, obtenemos $$x=1000 \cdot \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{50}{20} = 3750 \, \text{calorías}$$
$\square$

[nota del autor]

Una urna contiene diez bolas numeradas ...

ENUNCIADO
Una urna contiene diez bolas, numeradas del uno al diez. Consideremos el experimento aleatorio de elegir una bola al azar. Sean los sucesos: extraer una bola con número par, y extraer una bola con número mayor que cuatro. ¿ Son dichos sucesos compatibles ? ¿ Cuál es la probabilidad de su unión ?.

SOLUCIÓN
Denominamos $A$ al primer suceso y $B$ al segundo. Desde luego, hay números pares que son mayores que cuatro; por tanto, los sucesos $A$ y $B$ son compatibles. Procedemos, ahora, a calcular la probabilidad de $A \cup B$, que, por el principio de inclusión-exlusión, es igual a $P(A)+P(B)-P(A \cap B)$     (1). Como $A$ y $B$ son compatibles, $A \cap B \neq \varnothing $, por tanto $P(A \cap B) \neq 0$; en efecto, $P(A \cap B )=\text{card}(\{6,8,10\})=3$, con lo cual, por la regla de Laplace, $P(A \cap B)=\dfrac{3}{10}$; por otra parte, $\text{card}(\{2,4,6,8,10\})=5$, luego, por Laplace, $P(A)=\dfrac{5}{10}$; y como $\text{card}(\{5,6,7,8,9,10\})=6$, $P(B)=\dfrac{6}{10}$. Así, pues, de (1), podemos obtener la probabilidad pedida $$P(A \cup B)=\dfrac{5}{10}+\dfrac{6}{10}-\dfrac{3}{10}=\dfrac{8}{10}=\dfrac{4}{5}=80\,\%$$
$\square$

[nota del autor]

En una encuesta ... ( Artículo escrito en catalán )

ENUNCIAT:
En una enquesta, el 10% dels enquestats manifesten parlar quatre llengües; el 15% dels enquestats manifesta parlar-ne tres; el 80% declaren parlar-ne dues; i nou-centes persones han contestat que només en parlen una. A quantes persones hem preguntat ?

SOLUCIÓ:
Si el 10% de les persones consultades parlen 4 llengües i el 15% del total en parlen tres, deduïm que el 5% (que ve de fer 15%-10%) parla exactament tres llengües, ja que les persones que parlen quatre llengües, evidentment, també en parlen tres.

Les persones que parlen quatre llengües (10%) és clar que també en parlen dues. Per descomptat, succeeix el mateix amb les que en parlen tres (5%). Llavors, de les persones que en ser preguntades han contestat que parlen dues llengües, deduïm que en parlen exactament tres el 80%-(5%+10%) = 65%

Llavors, les 900 persones que han dit que només parlen una llengua representen el següent tant per cent sobre el total:
100%-(10%+5%+65%) = 20% .

I, d'aquí, podem deduir el nombre total de persones a les quals s'ha passat l'enquesta: plantejant la proporció

100/20 = x/900

Fent aquest càlcul obtenim: x = 4500 persones consultades.
$\square$

[nota del autor]

Càlcul del nombre de peces que compón el joc del dòmino

Tothom hi ha jugat. Abans de pensar a classificar el problema dins d'un tipus combinatori, posem les peces tal com mostra la figura de sota. La suma del nombre de peces fila a fila ens dóna la solució, 28.



És clar que només cal que sumem el nombre de peces que hi ha a cadas fila (suma dels termes de la successió aritmètica {1,2,3,4,5,6,7}:
                1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 7(7+1)/2 = 28 peces. Això no presenta cap dificultat. Si imaginem un dòmino on el nombre més gran que aparegués en alguna de les dues meitats fos 100 hi hauria d'haver
                1+2+3+...+99+100
                100(100+1)/2 = 5050
Adoneu-vos que fem servir el fet que estem sumant una successió aritmètida de diferència igual a 1.

Una observació:
Tots els nombres suma que venen d'una disposició triangular com aquesta s'anomenen precisament nombres triangulars, és a dir, tot nombre triangular t es pot expressar de la forma n(n+1)/2

Mans a l'obra amb les combinacions ! ....
Ara sí, com plategem el problema per la via de la combinatòria ? Identifiquem primer el tipus de problema. Importa l'ordre dels objectes a ordenar ? Aquesta és una pregunta clau ! Què són els objectes i què són els llocs on han d'anar posats ?

Els objectes són cadascuna de les dues meitats de les fitxes, les quals s'han d'escollir per assignar als 7 nombres {0,1,2,3,...,6}, que fan el paper de 'llocs'. És clar que no importa l'ordre, ja que la peça [x|y] és equivalent a la peça [y|x], per tant el problema és de combinacions, no pas de variacions. Ara bé, no és un problema de combinacions ordinàries perquè es poden donar repeticions; així, per exemple, la meitat esquerra la podem escollir repetidamente per a tots i cadascún del nombres. És, doncs, un problema de combinacions amb repetició, de $s$ objectes agafats de $t$ en $t$, que podem expressar de la forma $$CR_{s,t}=\displaystyle \binom{s+t-1}{s}=\binom{s+t-1}{t-1}$$. En aquest cas ( del dòmino ), el nombre d'ordenacions possibles - que ja sabem que ha de ser igual a 28, perquè ho he esbrinat sense emprar càlcul combinatori - es pot calcular, segons el mètode combinatori, fent $$CR_{s=2,t=7}=\displaystyle \binom{7+2-1}{2}= 28$$

Com a cursitat, una cosa més: imaginem un joc de dòmino amb xifres del 0 al 100. ¿ Quàntes peces té ?. Emprant el càlcul combinatori ( amb les noves dades: $s=2$, i $t=101$ ), trobem que aquest nombre es igual $$CR_{s=2,t=101}=\displaystyle \binom{2+101-1}{2}= 5151$$

$\square$

Un grupo de personas se sientan en la terraza de un bar ...( Artículo escrito en catalán )

Nou persones estan assegudes en una taula d'una terrassa un capvespre d'estiu. En Jaume, el cambrer se'ls acosta i els demana què prendran. Com que hi ha molta feina, en arribar a la barra només recorda que li han demanat tres tipus de begudes: sucs de taronja, cerveses i cafès amb gel. Naturalment, hi torna i, ara, pren nota en un paper. Jaume és estudiant de Batxillerat i li agraden molt les matemàtiques, treballa a la terrassa del bar per fer uns calerons durant les vancances d'estiu, però en arribar a casa sempre té un moment per pensar, llegir ... Pensant amb el lapsus de memòria que ha tingut es pregunta de quantes maneres nou persones poden haver fet la comanda dels tres tipus de begudes. Vet aquí la solució ...Decideix codificar la situació fent servir dos símbols: "+" i "|". El primer, per a cadascuna de les nou begudes i, el segon, per separar cadascun dels tres grups de begudes (llimonades, cafès, i cerveses). Fan falta, per tant, nou creus i dues barres separadores. Una determinada comanda - pensa en Jaume - es podria així tenir el següent aspecte:                 +++|++++|++ (a) On el primer grup de creus representaria les llimonades; el segon, les cerveses; i el tercer, els cafès. Les creus d'un mateix grup són indistingibles. Ara bé, és important l'ordre com s'alternen les barres separadores i les creus perquè això és clau per distingir entre les diverses comandes possibles. És evident que aquesta (b)                 ++++|+++|++ és diferent de la primera. En (a) s'han demant 3 llimonades, 4 cerveses i dos cafès, mentre que en (b) s'han demanat 4 llimonades, tres cerves i dos cafès. Un altre exemple de possible comanda:                 |||+++++++++ la qual cosa vol dir que tothom ha demanat cafè. En Jaume, ara ja veu força clar què és el que ha de fer per calcular totes les possibilitats, ja que identifica el problema com un un cas de permutacions amb repetició on en totes les disposicions han d'aparèixer 11 símbols: 9 creus i dues barres separadores. Per tant, podrien haver fet             11 ! / (9! 2!) = 55 comandes Observacions: Altres problemes relacionats amb el problema del cambrer: Distribució d'un conjunt de boles indistigibles en un determinat nombre de compartiments Les diverses maneres d'expressar un nombre natural com a suma de n nombres naturals més petits que el donat

[nota del autor]

Sean N bolas indistinguibles que queremos ordenar en n urnas ... ( Artículo escrito en catalán )

Aquest és un problema enparentat amb el problema del cambrer del qual vaig parlar fa un parell de dies. Es resol de la mateixa manera. Potser, així, plantejat com un problema de boles idèntiques (indistingibles) a ordenar en un determinat nombre de caixes és com en la literatura apareix amb més freqüència, quan hom es vol referir a aquesta familia de problemes. Enunciat: Donades N boles indistingibles, quantes realitzacions són possibles a l'hora d'ordenar-les en n caixes (N, és clar, ha de ser igual o més gran que n). Resolució: De la mateixa manera que hem fet en el problema del cambrer pensem en una codificació adequada per visualitzar la naturalesa del problema. Imaginem les caixes alineades: ens faran falta n-1 separadors ("|"). Les boles ("x") les posarem en cadascuna de les n caixes, sense cap restricció en el nombres d'ocupació de les caixes, en el sentit que en una mateixa caixa hi podrem posar més d'una bola, o bé, deixar-la buida. Experimentem amb un exemple. Considerem que N=4 i que n=3. Ens fan falta 3-1=2 símbols separadors. Escriuré, unes quantes realitzacions/ordenacins per tal que quedi ben clar el que vull dir:                 x|xx|x     (una bola a la caixa c1, dues a la caixa c2, i una més a c3)                 xxxx||     (totes les boles es troben a c1)                 x|x|xx     (una bola a la caixa c1, una més a la caixa c2, i dues a c3)                 ||xxxx     (totes les boles es troben a c3)                 ... Per saber quantes realitzacions són possibles només cal que ens adonem que es tracta de permutar, amb repetició, 4+(3-1) símbols: les quatre "x" i les dues "|". Hi haurà d'haver, doncs, (4+(3-1))!/ (4! (3-1)!) = 15 realitzacions. Generalitzem: Vist això, i generalitzant a N boles indistingibles i n caixes tindrem (N+(n-1))! / (N! (n-1)! ordenaciones possibles. Aquest problema, en tractarse d'un cas d'ordenació d'objectes que es poden repetir en els llocs on van ubicats, sense que tingui rellevància l'odre, es classifica como un problema combinacions amb repetició.

[nota del autor]

Determinar la ecuación de la recta del plano que pasa por los puntos ... ( Artículo escrito en catalán )

Donats els punts del pla $A(2,5)$ i $B(-1,-2)$, determineu l'equació de la recta que passa per aquests punts:

a) en forma vectorial
b) en forma paramètrica
c) en forma contínua
d) en forma explícita
e) en forma general

a)    
Considerant un punt qualsevol de la recta $r$
$P(x,y)$
on $x$ i $y$ són les variables (independent i dependent, respectivament)
observem que els vectors
$\overrightarrow{OP}$, $\overrightarrow{OA}$ i $\overrightarrow{AP}$
compleixen que
$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP}$
i com que
$\overrightarrow{OP} \propto \overrightarrow{AB}$
podem trobar un nombre real $\lambda$ tal que
$\overrightarrow{AP}=\lambda \, \overrightarrow{AB}$
i, per tant
s'ha de complir que
$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\lambda \, \overrightarrow{AB}$
que s'anomena equació vectorial de la recta

la qual, escrita en components, es pot posar també així
$(x,y)=(2,5)+\lambda \, (-3,-7)$

b)     De l'equació vectorial de l'apartat anterior en surten dues
equacions escalars (les equacions paramètriques, amb paràmetre: $\lambda$):

$\left.\begin{matrix}x=2-3\,\lambda \\y=5-7\,\lambda\\ \end{matrix}\right\}$

c)     Aïllant el paràmetre $\lambda$ de totes dues equacions
$\left.\begin{matrix}\lambda=\dfrac{x-2}{-3} \\ \\ \lambda=\dfrac{y-5}{-7} \\ \end{matrix}\right\}$

i, igualant els segons membres i simplificant, en surt l'equació en forma contínua

$\dfrac{x-2}{3}=\dfrac{y-5}{7}$

d)     De l'equació anterior, fem els passos d'àlgebra per tal de deixar la variable $y$, tota sola, en el primer membre, i trobem l'expressió de la recta en forma explícita

$y=\dfrac{7}{3}\,x+\dfrac{1}{3}$

(el pendent de la recta $m$ és igual a
$\dfrac{7}{3}$
i l'ordenada a l'origen val
$\dfrac{1}{3}$)

d)     Agrupant tots els termes en un mateix membre i reduint a comú denominador arribem a la forma general ($ax+by+c=1$)

$7x-3y+1=0$

(on $a=7$, $b=-3$, i $c=1$)

$\square$

[nota del autor]

Sea la sucesión ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Considereu la successió
$\{1 \;,\; \dfrac{1}{3} \;,\; \dfrac{1}{9} \;,\; \dfrac{1}{27} \;,\; \dfrac{1}{81} \;,\; \ldots \}$
Quant val la suma dels infinits termes ?

Resolució:

És fàcil veure que es tracta d'una successió geomètrica de raó $r=3^{-1}$ i primer terme $a_1=1$, per tant, la fórmula de la suma dels $n$ primers termes és igual a

$s_{n}=a_{1}\,\dfrac{r^n-1}{r-1}$

que, amb els valors donats, es concreta de la forma

$s_{n}=3\,\cdot\,\dfrac{1-{3}^{-n}}{2}$

Llavors, la suma dels infinits termes vindrà donada per

$\displaystyle s_{\infty}=\lim_{n \rightarrow \infty}\,3\,\cdot \,\dfrac{1-{3}^{-n}}{2}=\dfrac{3}{2} \, \cdot \, \Big(\lim_{n \rightarrow \infty} \big(1-{3}^{-\infty}\big)\Big)=\dfrac{3}{2}\,\cdot\,\big(1-0\big)=\dfrac{3}{2}$

$\square$

[nota del autor]

De cuántas maneras puede formarse ... ( Artículo escrito en catalán )

De quantes maneres es pot escollir una comissió formada per 5 persones d'un grup de 45 persones tenint en compte les següents condicions: a) Pau s'estima més no formar part del comité b) Ni Pau ni Rosa volen formar-ne part c) Teresa, necessàriament, ha de formar part del comité Queda ben clar que no poden repetir-se els objectes a ordenar (les persones) i que no hi fa res l'odre amb què escollim els membres del comité, per tant, identifiquem el problema com un p. de combinacions ordinàries. És fàcil, ara, donar resposta a les preguntes: a) C45-1,5 = ... = 1086008 b) C45-2,5 = ... = 962598 c) C45-1,4 = ... = 135751

[nota del autor]

Significado geométrico de las razones trigonométricas en la circunferencia de referencia

[nota del autor]

¿Cómo leer un reloj con salida binaria?

[nota del autor]

Intercalar los cinco términos consecutivos de una sucesión geométrica tal que ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:

Intercaleu els cinc termes consecutius d'una successió geomètrica entre els termes de valors: $2$ i $3$.

Resolució:
El terme general d'una successió geomètrica de raó igual a $r$ s'escriu de la forma
$a_n=a_1 \, r^{n-1}$
Tenint en compte que, comptant el primer i l'últim terme (els que venen donats per l'enunciat), intervenen set termes en total, escriurem
$3=2 \, r^{7-1}$
i, d'aquí, podem deduir el valor de $r$

$r= \sqrt[6]{\dfrac{3}{2}}$

que també es pot escriure en forma de potència d'exponent racional

$r= \big(\dfrac{3}{2}\big)^{\frac{1}{6}}$

Llavors, tenint en compte que $a_1=2$

$a_2=r \cdot a_{1}=\ldots=3^{\frac{1}{6}} \cdot 2^{\frac{5}{6}}$

$a_3=r \cdot a_{2}=\ldots=3^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{2}{3}}$

$a_4=r \cdot a_{3}=\ldots=6^{\frac{1}{2}}$

$a_5=r \cdot a_{4}=\ldots=\ldots=3^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{3}}$

$a_6=r \cdot a_{5}=\ldots=\ldots=3^{\frac{5}{6}} \cdot 2^{\frac{1}{6}}$

Observem que, efectivament, $a_7=3$

$a_7=r \cdot a_{6}=\ldots=\ldots=3$

Observació:
Naturalment, també podem calcular els termes fent
$a_2=a_1 \cdot r$
$a_3=a_1 \cdot r^2$
$a_4=a_1 \cdot r^3$
etcètera
$\square$

[nota del autor]

Intercalar los cinco términos consecutivos de una sucesión aritmética ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:

Intercalar els cinc termes consecutius d'una successió aritmètica entre els termes de valors: $2$ i $3$.

Resolució:
El terme general d'una successió aritmètica de diferència igual a $d$ s'escriu de la forma
$a_n=a_1+(n-1)\,d$
Tenint en compte que, comptant el primer i l'últim terme (els que venen donats per l'enunciat), intervenen set termes en total, escriurem
$3=2+(7-1)\,d$
i, d'aquí, podem deduir el valor de $d$
$d=1/6$
Llavors
$a_2=a_1+d=2+\dfrac{1}{6}=\dfrac{13}{6}$

$a_3=a_2+d=\dfrac{13}{6}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{7}{3}$

$a_4=a_3+d=\dfrac{7}{3}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{5}{2}$

$a_5=a_3+d=\dfrac{5}{2}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{8}{3}$

$a_6=a_3+d=\dfrac{8}{3}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{17}{6}$

Observem que, efectivament, $a_7=3$

$a_7=a_3+d=\dfrac{17}{6}+\dfrac{1}{6}=3$

Observació:
Naturalment, també podem calcular els termes fent
$a_2=a_1 + d$
$a_3=a_1 + 2d$
$a_4=a_1 + 3d$
etcètera
$\square$

[nota del autor]

Un pájaro, posado en ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Un ocell, posat en A o bé en B, tarda el mateix temps a arribar a la font F, volant a la mateixa velocitat i en línia recta. Tenint en compte les dades que veieu a la figura, calculeu el valor de $x$ (la posició de la font)

Resolució:
Si l'ocell tarda el mateix temps, volant a la mateixa velocitat, tant de A a F com de B a F, les longituds dels segments AF i BF han de ser iguals; per tant, i d'acord amb el teorema de Pitàgores (vegeu els triangles rectangles que es configuren a la figura), podem plantejar la següent equació
$30^2+x^2=40^2+(50-x)^2$
Desenvolupant el binomi al quadrat del segon membre i simplificant, comprovarem que s'anul·len els termes quadràtics i ens queda una senzilla equació de primer grau, la solució de la qual és
$x=32 \, \text{m}$
$\square$

[nota del autor]

Calcular la probabilidad de que un número natural tal que (...), elegido al azar ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Considereu tots els nombres naturals més grans o iguals que $1000$ i més petits o iguals que $9999$. Quant val la probabilitat que, escollint un d'aquests nombres a l'atzar, sigui un nombre capicua.

Resolució:
El nombre de nombres naturals de quatre xifres (la de les unitats ha de ser diferent de zero) és $9000$. El nombre de capicues de quatre xifres és igual a $9 \cdot 10$, és a dir, $90$, atès que, fent ús del principi multiplicatiu, hi ha $9$ maneres d'escollir la xifra de la parella de les xifres de les unitats de miler i de la de les unitats - entre les xifres $\{1,2,\ldots,9\}$ - car ambdues han de ser la mateixa pel fet de tractar-se d'un capicua; i tenim $10$ possibilitats - $\{0,1,2,\ldots,9\}$ - per escollir tant la xifra de les centenes com la de les desenes (han de ser la mateixes).

Per tant, pel principi de Laplace, la probabilitat demanada és igual a
      $\dfrac{90}{9000}$
és a dir, un $1 \, \%$

$\square$

[nota del autor]

Una combinación de la lotería primitiva ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Una combinació de la loteria primitiva està formada per sis nombres naturals diferents escollits entre l'1 i el 49. Quantes combinacions es poden donar ?

Solució:
Es tracta d'un problema en el qual l'ordre dels objectes (els nombres) no és rellevant. Llavors, cal classificar-lo com un problema de combinacions. I, atès que els objectes a ordenar no es poden repetir (a mida que van sortint els nombres, de la sèrie de sis, es van retirant), es tracta d'un problema de combinacions ordinàries. Identificat el tipus de problema, ja podem aplicar el procediment de càlcul que li correspon:

    $C_{49\,,\,6}=\dfrac{49!}{(49-6)!\,3!}=\dfrac{ 49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46\cdot 45 \cdot 44}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 }=\ldots =13\,983\,816$

$\square$

[nota del autor]

Resolver las siguientes ecuaciones polinómicas de segundo grado ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Resoleu les següents equacions:
    a)   $5\,x^2-320=0$
    b)   $(6\,x-5)^2-9=0$
    c)   $(5-2\,x)\cdot(3+4\,x)=0$
    d)   $4\,x^2+16\,x=0$
    e)   $x^2+3\,x-10=0$
    f)   $x^2+1=0$
    g)   $x^2+x+1=0$
    h)   $x^2-6\,x+9=0$
    i)   $x^2=x^2+1$
    j)   $x^2+2\,x+1=(x+1)^2$

Solució:

  a)
    $5\,x^2-320=0$
      $5\,x^2=320$
      $x^2=\dfrac{320}{5}$
      $x^2=64$
      $x=\sqrt{64}$
          $=\pm 8$


  b)
    $(6\,x-5)^2-9=0$
      $(6\,x-5)^2=9$
      $(6\,x-5)=\sqrt{9}$
      $(6\,x-5)=\pm 3$
      $6\,x=\pm 3+5$
      $x=\dfrac{\pm 3+5}{6}$
          $x=\left\{\begin{matrix}\dfrac{3+5}{6}=\dfrac{4}{3}\\ \vee \\ \dfrac{-3+5}{6}=\dfrac{1}{3}\\ \end{matrix}\right.$

  c)
    $(5-2\,x)\cdot(3+4\,x)=0$
      $(5-2\,x)\cdot(3+4\,x)=0 \Rightarrow \left\{\begin{matrix} 5-2\,x=0 \Rightarrow 5=2\,x \Rightarrow x=\frac{5}{2}\\ \vee \\ 3+4\,x=0 \Rightarrow 3=-4\,x \Rightarrow x=-\frac{3}{4} \end{matrix} \right.$

  d) 
    $4\,x^2+16\,x=0$
      $4\,x \cdot \big(x+4\big)=0 \Rightarrow \left\{\begin{matrix} 4\,x=0 \Rightarrow x=0 \\ \vee \\ x+4=0 \Rightarrow x=-4 \end{matrix} \right.$

  e)
    $x^2+3\,x-10=0$   ( equació polinòmica de 2n grau completa )
      coeficients: $a=1$, $b=3$ i $c=-10$
      discriminant: $\Delta=b^2-4\,a\,c=49 \succ 0 \Rightarrow$   la solució consta de dos valors diferents:

        $x=\dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2\,a}$

          $x=\dfrac{-3 \pm 7}{2\,a}$

          $x=\left\{\begin{matrix} \dfrac{-3+7}{2}=2 \\ \\ \dfrac{-3-7}{2}=-5\end{matrix} \right.$

  f)
    $x^2+1=0$
        $x^2=-1$
        $x=\sqrt{-1} \notin \mathbb{R}$     No hi ha cap nombre real com a solució de l'equació.

  g)
    $x^2+x+1=0$   ( equació polinòmica de 2n grau completa )
      coeficients: $a=1$, $b=1$ i $c=1$
      discriminant: $\Delta=b^2-4\,a\,c=-3 \prec 0 \Rightarrow \sqrt{-3} \notin \mathbb{R}$
llavors
        $x=\dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2\,a} = \dfrac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2 \cdot 1 } \notin \mathbb{R}$
és a dir, no hi ha cap nombre real com a solució de l'equació.


  h)
    $x^2-6\,x+9=0$   ( equació polinòmica de 2n grau completa )
      coeficients: $a=1$, $b=-6$ i $c=9$
      discriminant: $\Delta=b^2-4\,a\,c=0 \Rightarrow$   hi ha un sol valor com a solució, amb multiplicitat igual a $2$.

Aplicant el procediment rutinari,
        $x=\dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2\,a}$

        $x=\dfrac{-(-6) \pm \sqrt{0}}{2\cdot 1}$

            $=\dfrac{-(-6) \pm 0}{2\cdot 1}$

            $=\dfrac{6}{2}$

            $=3$   ( multiplicitat dos )

  i)
Aquesta equació,
    $x^2=x^2+1$
és incompatible (no té solució), atès que, cancel·lant els termes de 2n grau d'ambdós membres (simplificant l'equació), arribem a una contradicció
en efecte
    $x^2-x^2=x^2-x^2+1$
és a dir
    $0=1$

  j)
L'equació
    $x^2+2\,x+1=(x+1)^2$
és una equació trivial, atès que, si desenvolupem el binomi al quadrat del 2n membre ens trobem amb una expressió idèntica a la del primer membre
    $x^2+2\,x+1=x^2+2\,x+1 \quad \quad (1)$
( Comentari: per aquesta raó, aquests tipus d'igualtats algèbriques també s'anomenen identitats )
Simplificant, doncs, els termes semblants de (1), trobem
$0\cdot x^2+0\cdot x + 0 = 0$
per tant, tots els nombres són solució de l'equació.

$\square$

[nota del autor]

Uno de los problemas de la matemática griega clásica era el conocido como la cuadratura del círculo ... ( Artículo escrito en catalán )

Un dels grans problemes de la matemàtica grega clàssica era el conegut com la quadratura del cercle, consistent a trobar, amb procediments de regle i compàs, un quadrat que tingués la mateixa àrea que la d'un cercle donat. Dos mil anys més tard, concretament l'any 1882, el matemàtic Ferdinand von Lindemann va poder demostrar que aquest problema no té solució [ Tampoc tenen solució els altres dos problemes emblemàtics de la geometria grega clàssica: la duplicació del cub, i el de la trisecció d'un angle ].

Els antics matemàtics grecs van abordar el problema apropant-se primer al problema més senzill de la quadratura de les lúnules (la figura mostra dues lúnules). El pitagòric Hipòcrates de Quios (470 aC – 400 aC) va poder demostrar la quadratura d'algunes lúnules, no pas de totes. A començament del segle XX es va demostrar també que el problema general de la quadratura de les lúnules tampoc té solució, llevat dels casos particulars de les lúnules d'Hipocràtes de Quios així com d'alguns altres casos particulars exposats per Lenonhard Euler (segle XVIII).

[nota del autor]

En un examen de tipo test ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Un examen tipus test consiteix a respondre 15 qüestions contestant "vertader" o "fals". De quantes maneres es pot contestar ?

Solució:
Es tracta d'un problema en el qual l'ordre amb què anem posant els objectes (les respostes) és, evidentment, rellevant. Llavors, és un problema de variacions. I, atès que, a més a més, els objectes a ordenar (les respostes) es repeteixen en diversos llocs (preguntes), es tracta, concretament, d'un problema de variacions amb repetició. Identificat el tipus de problema, ja podem aplicar el procediment de càlcul que li correspon (tal com s'ha justificat a classe): el nombre de maneres possibles d'emplenar el formulari és igual a

    $VR_{2\,,\,15}=2^{15}=32\,768$

$\blacksquare$

[nota del autor]

Ecuaciones de segundo grado ...

Enunciado:
Resolver la siguiente ecuación polinómica de segundo grado
            $x^2+5\,x+6=0$
sin hacer uso de la fórmula
           
$a\,x^2+b\,x+c=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4\,a\,c}}{2\,a}$

Solución:
    $x^2+5\,x+6=0$
Teniendo en cuenta la identidad notable
      $(p+q)^2=p^2+2\,pq+q^2$
podemos expresar el primer miembro de la ecuación de la forma
        $\bigg(x+\dfrac{5}{2}\bigg)^2 - \dfrac{25}{4}+6$
con lo cual podemos escribirla de la forma

    $\bigg(x+\dfrac{5}{2}\bigg)^2 - \dfrac{25}{4}+6=0$

así, tan sol es necesario deshacer el cuadrado del binomio
      $\bigg(x+\dfrac{5}{2}\bigg)^2=\dfrac{25}{4}-6$
y despejar a continuación la variable
      $x+\dfrac{5}{2}=\sqrt{\dfrac{1}{4}}$

      $x+\dfrac{5}{2}=\pm \dfrac{1}{2}$

      $x=-\dfrac{5}{2}\pm \dfrac{1}{2}$

      $x=\dfrac{-5 \pm 1}{2}$

      $x=\left\{\begin{matrix}\dfrac{-5+1}{2}=-2 \\ \\\dfrac{-5-1}{2}=-3 \\ \end{matrix}\right.$

$\square$

[nota del autor]

Hemos comprado una calculadora científica ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Hem comprat una calculadora científica en un establiment A que l'oferia rebaixat d'un $6\%$ (sobre el preu nominal) i ens ha costat $12,50 \, \text{euros}$. Un amic s'ha comprat la mateixa calculadora en una altra botiga, que venien rebaixada en un $8\%$ (sobre el preu nominal). Quant li ha costat al nostre amic ?

Solució:

Anomenem:
    $x$, al preu nominal de la calculadora
    $y$, a la quantitat que ha pagat el nostre amic

Plantegem les següents proporcions:

    $\dfrac{100}{100-6}=\dfrac{x}{12,50} \quad \quad \quad (1)$


    $\dfrac{100-8}{100}=\dfrac{y}{x} \quad \quad \quad (2)$

Multiplicant, membre a membre, les igualtats (2) i (1), s'obté

    $\dfrac{100}{94}\cdot \dfrac{92}{100}=\dfrac{x}{12,50}\cdot \dfrac{y}{x}$

expressió que, simplificant $x$, queda

    $\dfrac{92}{94}=\dfrac{y}{12,50}$

i, d'aquí, s'ha de complir que

    $12,50 \cdot 92 = 94 \, y$

llavors,

    $y=12,50 \cdot \dfrac{92}{94}$

        $\approx 12,23 \; \text{euros}$   ( aproximant el resultat per arrodoniment amb 4 xifres significatives )

$\square$

[nota del autor]

Para enviar una carta ... ( Artículo escrito en catalán ).

Enunciat:
Per enviar una carta es necessiten 90 cèntims d'euro en segells. Si disposem de segells de 50, 20 i 10 cèntims d'euro (els posem empegats en fila) de quantes maneres podem franquejar la carta si: a) no tenim en compte l'ordre en què posem els segells; b) si tenim en compte l'odre del segells.

Solució:
a) Si no és rellevant l'odre en què posem els segells, podem fer el recompte de possibilitats relacionant-les una a una:
Per això, anomenem:
    C als segells de 50 cèntims
    V als segells de 20 cèntims
    D als segells de 10 cèntims
Llavors, podem fer el recompte simplement codificant el nombre de segells de cada tipus, atenent a l'odre arbitrari {C|V|D}. Podem comprovar que hi ha 8 possibilitats:
            {C|V|D}
          ========
      $P_1$: {0|0|9}     ( 9 segells de deu cèntims)
      $P_2$: {0|1|7}     ( 1 segell de vint cèntims i 7 de deu cèntims)
      $P_3$: {0|2|5}     ...
      $P_4$: {0|3|3}     ...
      $P_5$: {0|4|1}     ...
      $P_6$: {1|2|0}     ...
      $P_7$: {1|1|2}     ...
      $P_8$: {1|0|4}     ...

b) Si, ara, cal considerar l'odre en què posem els segells en fila, caldrà que entenguem que cal calcular, grup a grup, el nombre de possibilitats tenint en compte que cal resoldre problemes de permutacions amb elements repetits per a cada $P_i$ (i=1,2,...8); i, finalment, pel principi d'addició, sumarem els resultats obtinguts per reunir totes les possibilitats. Obtenint,

    $1+\dfrac{8!}{7! \cdot 1!}+\dfrac{7!}{5! \cdot 2!}+\dfrac{6!}{3! \cdot 3!}+\dfrac{5!}{4! \cdot 1!}+\dfrac{3!}{2! \cdot 1!}+\dfrac{4!}{2! \cdot 1! \cdot 1!}+\dfrac{5!}{4! \cdot 1!}$

      $=75$ possibilitats

$\square$

[nota del autor]

Una ecuación de segundo grado ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Una equació de 2n grau té els següents nombres com a solució: $1$ i $-4$. Sabent que el valor del coeficient del terme de 2n grau és igual a $5$, determineu l'expressió general completa: $a\,x^2+b\,x+c=0$.

Solució:
Per la propietat de factorització podem escriure l'equació de la forma:
    $5\,(x-1)\big(x-(-4)\big)=0$
és a dir
    $5\,(x-1)\big(x+4\big)=0$
Multiplicant els binomis obtenim
    $5\,(x^2-x+4\,x-4)=0$
que, simplificada l'expressió del parèntesi, queda
    $5\,(x^2+3\,x-4)=0$
i aplicant la propietat distributiva de la multiplicació respecte la suma per desfer el parèntesi obtenim
    $5\,x^2+15\,x-20=0$
que és l'expressió general d'una equació de 2n grau, amb coeficients: $a=5$, $b=15$ i $c=-20$.
$\square$

[nota del autor]

Si nos da la siguiente información acerca de las raíces de una ecuación de segundo grado ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Sabent que una equació de 2n grau té dos valors diferents com a solució, $r_1$ i $r_2$, que la suma d'aquests dos nombres és igual a $8$, que el seu producte és igual $12$, i que el coeficient del terme de 2n grau és $1$, escriviu l'equació en forma general.

Solució:
Donada l'equació general de 2n grau $a\,x^2+b\,x+c=0$ amb solució
  $x=\left\{\begin{matrix}r_1\\ \text{o bé} \\r_2\end{matrix}\right.$
es compleix que (propietat)
    $r_1+r_2=-b$
i
    $r_{1}\cdot r_{2}=c$
Per tant, com que $b=-8$   i   $c=12$, y tenint en compte que $a=1$, deduïm que l'equació general $a\,x^2+b\,x+c=0$ es concreta així
    $x^2+(-8)\,x+12=0$
és a dir
    $x^2-8\,x+12=0$
$\square$

[nota del autor]

Resolver la siguiente cuestión ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Cap nombre positiu pot ser la solució de l'equació $x^2+6\,x+5=0$. Expliqueu-ne la raó sense resoldre l'equació.

Solució:
Els coeficients de l'equació ( $1$, $6$ i $5$ ) són tots tres positius i, per tant, no és possible que un valor positiu de $x$ anul·li el primer membre de la igualtat; en efecte, el valor de tots tres termes és, en aquest cas, més gran que zero i, doncs, la suma dels tres termes també ho és.
$\square$

[nota del autor]

Estudiar la siguiente ecuación de segundo grado. ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Sense resoldre l'equació, expliqueu la raó per la qual no és possible trobar cap nombre real que sigui solució de l'equació $x^2+\,x+2=0$.

Solució:
Els valors dels coeficients de l'equació són: $a=1$, $b=1$ i $c=2$. Llavors, el valor del discriminant de l'equació $\Delta=b^2-4ac$ és igual a $1^2-4 \cdot 1 \cdot 2=-7$, que és més petit que zero, per tant $\sqrt{\Delta}$ no és un nombre real, raó per la qual no és possible trobar nombres reals com a solució de l'equació.
$\square$

[nota del autor]

Estudiar y resolver la ecuación ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Estudieu l'equació
      $x^2+2\,x=(x+1)^2-1$

Solució:
      $x^2+2\,x=(x+1)^2-1$
Expandint el binomi al quadrat del segon membre
      $x^2+2\,x=x^2+2\,x+1-1$
i simplificant
      $x^2+2\,x=x^2+2\,x$
veiem que és una equació trivial ( una identitat )
en altre paraules, agrupant termes semblants arribem a
      $x^2-x^2+2\,x-2\,x=0$
      $0 \cdot x^2+0 \cdot x=0$
obtenint un resultat trivial
      $0=0$
que ens diu que l'equació és compatible perquè té solució, però compatible indeterminada, atès que tots els nombres són solució de l'equació.
$\square$

[nota del autor]

Resolver el siguiente problema, planteando un sistema de ecuaciones ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Dos nombres enters són tals que en multiplicar l'un per l'altre s'obté $-22$, i, en fer la divisió euclidiana del més gran (en valor absolut) entre el més petit (en valor absolut) s'obté $-6$ de quocient i $1$ de reste. De quins nombres es tracta ?

Solució:
Anomenem $m$ i $n$ als dos nombres enters que, segons l'enunciat, $\left|m\right|$ és més gran que $\left|n\right|$; llavors, en fer la divisió $m \div n$ tenim que, pel teorema de la divisió euclidiana ( " dividend = divisor x quocient més residu " ), i atenent la informació que se'ns dóna sobre el producte de tots dos, podrem escriure
      $\left.\begin{matrix}m=-6\,n+1 \\ \\m\cdot n=-22 \\ \end{matrix}\right\}$
Substituint l'expressió de $m$ del segon membre de la primera equació en la segona arribem a una equació amb una sola incògnita:
    $n\,(1-6n)=-22$
és a dir
    $n\,(6n-1)=22$
que és equivalent a
    $6\,n^2-n-22=0$
equació de 2n grau completa que dóna com a solució
    $n=\dfrac{-6\pm \left|\sqrt{6^2-4\cdot 6 \cdot 22}\right|}{2\cdot 6}$
d'on
    $n=\left\{\begin{matrix}
-\dfrac{11}{6} & \\
6 &
\end{matrix}\right.$
El segon valor és pertinent; el primer, però, no (no és un nombre enter). Llavors,
si $n=2$, substituint a la primera equació trobem el valor per a l'altre nombre: $m=-11$
$\square$

[nota del autor]

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones cuyos coeficientes son fraccionarios ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Resoleu el següent sistema d'equacions
      $\left.\begin{matrix}\dfrac{3}{4}\,x+\dfrac{5}{12}\,y=\dfrac{7}{24} \\ \\\dfrac{5}{4}\,x+\dfrac{2}{15}\,y=\dfrac{3}{10} \\ \end{matrix}\right\}$

Solució:
Multiplicant pel mínim comú múltiple dels denominadors dels coeficients fraccionaris de una i altra equació
      $\left.\begin{matrix}24\cdot\dfrac{3}{4}\,x+24\cdot\dfrac{5}{12}\,y=24\cdot\dfrac{7}{24} \\ \\ 60\cdot\dfrac{5}{4}\,x+60 \cdot \dfrac{2}{15}\,y=60\cdot\dfrac{3}{10} \\ \end{matrix}\right\}$
i, simplificant, podem escriure el següent sistema d'equacions equivalents a l'original:
      $\left.\begin{matrix}18\,x+10\,y=7 \\ \\75\,x+8\,y=18 \\ \end{matrix}\right\}$
Resoldrem aquest sistema fent ús del mètode de reducció; per això, podem fer, per exemple, la següent transformació vàlida (combinació entre equacions) [nota]
    $ -\dfrac{75}{18}\,e_1+e_2 \rightarrow e_2$
el podrem escriure de la forma
      $\left.\begin{matrix}18\,x&+&10\,y&=&7 \\ \\&\,&-\dfrac{101}{3}\,y&=&-\dfrac{67}{6} \\ \end{matrix}\right\}$
Simplificant i aïllant la incògnita $y$ de la segona equació arribem a
    $y=\dfrac{-\frac{\;67\;}{6}}{-\frac{\;101\;}{3}}=\dfrac{67}{202}$
I, finalment, substituint en una de les equacions equivalents on figura la incògnita $x$, trobarem el valor que li correspon
aíxí, per exemple, de
    $18\,x+10\,y=7$
arribem a
    $18\,x+10\cdot \dfrac{67}{202}=7$
i, d'aquí, trobem
    $x=\dfrac{7-10\cdot \dfrac{67}{202}}{18}$
que, operant, porta a
    $x=\dfrac{62}{303}$

Comprovació:   Posant els valors obtinguts en una de les equacions originals cal mirar si es verifica la igualtat entre el primer i el segon membre; per exemple, a partir de la primera equació
    $\dfrac{3}{4}\,x+\dfrac{5}{12}\,y=\dfrac{7}{24}$
veiem que
    $\dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{62}{303}+\dfrac{5}{12}\cdot \dfrac{67}{202}$
      $=\dfrac{31}{202}+\dfrac{335}{2424}$
      $=\ldots=\dfrac{7}{24}$
que, efectivament, coincideix amb el valor del segon membre.
$\square$


Nota:   He fet servir, aquí, el mètode de reducció per la seva eficàcia; no obstant, si ho preferiu, també podeu fer ús dels altres dos mètodes: d'igualació i de substitució, respectivament.

[nota del autor]

Queremos formar palabras que tengan una longitud de ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Volem formar paraules que tinguin una longitud de $10$ caracters i, per això, triem, a l'atzar, lletres del conjunt $\{m,n,p\}$.
  a) Quantes paraules diferents podem escriure ?
  b) Quantes paraules diferents podem escriure en les quals aparegui exactament: $5$ vegades la lletra ema, $3$ vegades la lletra ena i $2$ vegades la lletra pè ?
  c) Si del conjunt total de paraules diferents en triem una a l'atzar, quant val la probabilitat que tingui exactament: tres vegades la lletra ema i set vegades la lletra pè ?

Solució:
Cal tenir en compte que aquest és un problema d'ordenacions en què l'ordre és rellevant. Llavors,
  a)
      $\text{VR}(3,10)=3^{10}=59049 \; \text{paraules}$
  b)
      $\text{PR}(10;5,3,2)=\dfrac{10!}{5!\,3!\,2!}=2520 \; \text{paraules}$
  c)
Pel principi de Laplace, la probabilitat demanada és igual a
                        $\dfrac{\;\;\;\big(\dfrac{10!}{3!\,0!\,7!}\big)\;\;\,}{3^{10}}$
i ( Nota: recordem que $0!=1$ ), fent els càlculs, veiem que és igual a
            $=\dfrac{120}{59049}$
i simplificant
            $=\dfrac{40}{19683}$

            $\approx 0,002 = 0,2 \, \%$

$\square$

[nota del autor]

Compramos dos objetos ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Una persona ha comprat un objecte A i un objecte B. Els preus d'aquests dos objectes sumen seixanta euros, però li han fet un descompte d'un deu per cent en A i un descompte del vint per cent en B. Per tot, ha pagat cinquanta euros i quinze cèntims. Quin és el preu sense rebaixar de cada objecte ?.

Solució:
Anomenem:
    $a$   al preu sense rebaixar de l'objecte A
    $b$   al preu sense rebaixar de l'objecte B

    $a^{'}$   al preu rebaixat de l'objecte A
    $b^{'}$   al preu rebaixat de l'objecte B

Primer de tot, mirem d'expressar $a^{'}$ en relació a $a$, i $b^{'}$ en relació a $b$. Plantejant les corresponents proporcions:

        $\dfrac{a^{'}}{a}=\dfrac{100-10}{100}$

        $\dfrac{b^{'}}{b}=\dfrac{100-20}{100}$

i, de cada una, trobem (respectivament):

        $a^{'}=\dfrac{90\,a}{100}$

        $b^{'}=\dfrac{80\,b}{100}$

Fet això, traduïrem al llenguatge de l'àlgebra la resta de la informació de l'enunciat, escrivint el següent sistema d'equacions:

        $\left.\begin{matrix}a & + & b&=&60\\ \dfrac{90}{100}\,a & +&\dfrac{80}{100}\,b&=&50,15\\\end{matrix}\right\}$

simplificant ( multiplicant per $100$ ambdós membre de la segona equació),

        $\left.\begin{matrix}a & + & b&=&60\\ 90\,a & +&80\,b&=&5\,015\\\end{matrix}\right\}$

multiplicant per $-90$ els dos membres de la primera equació i sumant amb la segona, substituint aquesta nova segona equació ( que és equivalent a l'original) s'obté el el següent sistema equivalent

        $\left.\begin{matrix}a & + & b&=&60\\ \, & \,&-10\,b&=&-385\\\end{matrix}\right\}$

Simplificant i aïllant $b$ de la segona,
        $b=38,50 \, \text{\euro}$

I, posant aquest resultat a la primera equació, i aïllant $a$
    $a=60-38,50$
        $=21,50 \,\text{euros}$

$\square$

[nota del autor]