Sean N bolas indistinguibles que queremos ordenar en n urnas ... ( Artículo escrito en catalán )

Aquest és un problema enparentat amb el problema del cambrer del qual vaig parlar fa un parell de dies. Es resol de la mateixa manera. Potser, així, plantejat com un problema de boles idèntiques (indistingibles) a ordenar en un determinat nombre de caixes és com en la literatura apareix amb més freqüència, quan hom es vol referir a aquesta familia de problemes. Enunciat: Donades N boles indistingibles, quantes realitzacions són possibles a l'hora d'ordenar-les en n caixes (N, és clar, ha de ser igual o més gran que n). Resolució: De la mateixa manera que hem fet en el problema del cambrer pensem en una codificació adequada per visualitzar la naturalesa del problema. Imaginem les caixes alineades: ens faran falta n-1 separadors ("|"). Les boles ("x") les posarem en cadascuna de les n caixes, sense cap restricció en el nombres d'ocupació de les caixes, en el sentit que en una mateixa caixa hi podrem posar més d'una bola, o bé, deixar-la buida. Experimentem amb un exemple. Considerem que N=4 i que n=3. Ens fan falta 3-1=2 símbols separadors. Escriuré, unes quantes realitzacions/ordenacins per tal que quedi ben clar el que vull dir:                 x|xx|x     (una bola a la caixa c1, dues a la caixa c2, i una més a c3)                 xxxx||     (totes les boles es troben a c1)                 x|x|xx     (una bola a la caixa c1, una més a la caixa c2, i dues a c3)                 ||xxxx     (totes les boles es troben a c3)                 ... Per saber quantes realitzacions són possibles només cal que ens adonem que es tracta de permutar, amb repetició, 4+(3-1) símbols: les quatre "x" i les dues "|". Hi haurà d'haver, doncs, (4+(3-1))!/ (4! (3-1)!) = 15 realitzacions. Generalitzem: Vist això, i generalitzant a N boles indistingibles i n caixes tindrem (N+(n-1))! / (N! (n-1)! ordenaciones possibles. Aquest problema, en tractarse d'un cas d'ordenació d'objectes que es poden repetir en els llocs on van ubicats, sense que tingui rellevància l'odre, es classifica como un problema combinacions amb repetició.

[nota del autor]