Suma i producte dels $n$ primers termes d'una successió geomètrica

Enunciat:
El segon terme d'una successió geomètrica és igual a $4$ i el sisè terme és igual a $3$
Us demanem:
      a) El valor de la suma dels vint primers termes d'aquesta successió: $a_1+a_2+\ldots+a_{20}$.
      b) El valor del producte dels deu primers termes d'aquesta successió: $a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot \ldots \cdot a_{20}$

Resolució:
a)
Entre el segon i el sisè terme hi ha tres termes; per tant, el sisè terme $a_6$ representa el cinquè terme de la seqüència $\{a_2, a_3, \ldots, a_6 \}$. Llavors
$a_6=a_2 \cdot r^4$
(on $r$ representa la raó de la successió geomètrica)
Tenint en compte els valors donats a l'enunciat
$3=4 \cdot r^4$

d'on obtenim

$r=\bigg(\dfrac{3}{4}\bigg)^{\frac{1}{4}}$

Per calcular la suma dels $n$ primers termes consecutius d'una successió aritmètica de diferència igual a $d$ podem fer ús del resultat

$s_n=a_1 \cdot \dfrac{r^{n}-1}{r-1} \quad \quad (1)$

Veiem, doncs, que cal calcular els valors del primer terme:

El valor del primer és igual a
$a_1=a_2 \cdot \dfrac{1}{r}$
que, tenint en compte els valors de l'enunciat, dóna
$a_1 = \ldots = 4 \cdot 2^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{-\frac{1}{4}} \quad \quad (2)$

Llavors, fent el càlcul indicat (1), el valor de la suma demanada és igual a
$s_{20} \approx 47,2407$

b)
Sabem que el producte $p_n$ dels $n$ primers termes d'una successió geomètrica és igual a

$p_n=\bigg(a_1 \cdot a_n \bigg)^{\frac{n}{2}} \quad \quad (3)$

Ens falta calcular el valor del vintè terme per poder emprar aquest resultat. Calculem-lo a partir de
l'expressió del terme general d'una successió geomètrica i del valor de $a_1$   (2)

$a_n=a_1 \cdot r^{n-1} \quad (n=1,2,3,\ldots)$

$a_{20}=a_1 \cdot r^{19} = \ldots = \dfrac{81 \, \sqrt{3}}{128}$

Llavors, de l'expressió (3) i del valor del primer terme (2), trobem

$p_n = \big(a_1 \cdot a_n \big)^{10} \approx 5386461$

$\square$

Intercalar los cinco términos consecutivos de una sucesión geométrica tal que ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:

Intercaleu els cinc termes consecutius d'una successió geomètrica entre els termes de valors: $2$ i $3$.

Resolució:
El terme general d'una successió geomètrica de raó igual a $r$ s'escriu de la forma
$a_n=a_1 \, r^{n-1}$
Tenint en compte que, comptant el primer i l'últim terme (els que venen donats per l'enunciat), intervenen set termes en total, escriurem
$3=2 \, r^{7-1}$
i, d'aquí, podem deduir el valor de $r$

$r= \sqrt[6]{\dfrac{3}{2}}$

que també es pot escriure en forma de potència d'exponent racional

$r= \big(\dfrac{3}{2}\big)^{\frac{1}{6}}$

Llavors, tenint en compte que $a_1=2$

$a_2=r \cdot a_{1}=\ldots=3^{\frac{1}{6}} \cdot 2^{\frac{5}{6}}$

$a_3=r \cdot a_{2}=\ldots=3^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{2}{3}}$

$a_4=r \cdot a_{3}=\ldots=6^{\frac{1}{2}}$

$a_5=r \cdot a_{4}=\ldots=\ldots=3^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{3}}$

$a_6=r \cdot a_{5}=\ldots=\ldots=3^{\frac{5}{6}} \cdot 2^{\frac{1}{6}}$

Observem que, efectivament, $a_7=3$

$a_7=r \cdot a_{6}=\ldots=\ldots=3$

Observació:
Naturalment, també podem calcular els termes fent
$a_2=a_1 \cdot r$
$a_3=a_1 \cdot r^2$
$a_4=a_1 \cdot r^3$
etcètera
$\square$

[nota del autor]

Determínese el valor de $x$ que cumple la siguiente igualdad ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
(a) Determineu el valor de $x$ que verifica la següent igualtat:
    $1+2+4+8+16\ldots+x=1023$
(b) Calculeu el producte
    $1\cdot 2 \cdot 4\cdot 8\cdot 16\cdot \ldots \cdot x$
on $x$ és l'últim sumand de l'apartat anterior

Solució:
a)
El primer membre correspon a la suma dels $n$ termes de d'una successió geomètrica de raó igual a $2$, amb $x$ com a últim terme de la seqüència, és a dir $x$ és $a_n=a_1\cdot r^{n-1}$. I, donat que $a_1=1$ i $r=2$, s'escriu de la forma $x=2^{n-1} \quad (1)$ on $n$ és el nombre de sumands. Per altra banda, el segon membre és el valor d'aquesta suma. Sabem que la suma de $n$ termes consecutius d'una successió geomètrica es calcula de la forma
    $S_n=a_1\cdot \dfrac{r^n-1}{r-1}$
que, en el nostre cas, és
    $1023=1\cdot \dfrac{2^n-1}{2-1}$
és a dir
    $1023=2^n-1 \quad \quad (2)$

Ara, de les expressió (1) veiem que
    $x=\dfrac{2^n}{2}$
i, per tant,
    $2^n=2\,x \quad \quad (3)$
i, substituint-ho en (2), arribem a
    $1023=2\,x-1$
I, d'aquí, aïllem $x$
    $x=\dfrac{1024}{2}=512$

b)
Sabem que, per la propietat que expressa que el producte dels extrems d'una seqüència de $n$ termes d'una successió geomètrica (s.g.) és constant, el producte $P_n$ de $n$ termes consecutius de la s.g. ve donat per l'expressió
    $P_n = \sqrt[2]{\big(a_{1}\cdot a_{n}\big)^n} \quad \quad (4)$

Aquí, $a_n$ és igual a $x$, i, ja sabem que el seu valor és $512$. Per altra banda, el valor de $n$ el deduïm de l'expressió (3) que hem trobat a l'apartat anterior
    $512=\dfrac{2^n}{2}$
que es pot posar de la forma
    $1024=2^n$
i tenint en compte que $1024 = 2^{10}$
podem escriure l'equació anterior així
    $2^{10}=2^n \Rightarrow n=10$

Llavors, de (4), ja podem calcular el valor del producte demanat
    $P_{10}=\sqrt[2]{\big(1\cdot 512\big)^{10}}$
        $=512^{\frac{10}{2}}$
        $=512^5$
i fent el càlcul amb el programa MAXIMA trobem, concretament, el següent nombre
        $35 \, 184 \, 372 \, 088 \, 832$

$\square$

[nota del autor]

Calcular el valor de la suma del número infinito de términos de una sucesión geométrica ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Quant val la suma del nombre infinit de termes de la successió geomètrica de raó $r=2$ i primer terme igual a $1$ ?

Solució:
Cada terme és més gran que el precedent atès que la raó de la successió és més gran que u, i, doncs, la suma acumulada és va fent cada vegada més gran, sense cap limitació, per tant, el valor de la suma dels infinits termes és igual a $+\infty$

D'una manera més acurada podem dir que, donat que de la fórmula de la suma de $n$ termes consecutius d'una successió geomètrica és
    $S_n=a_{1}\,\dfrac{r^n-1}{r-1}$
sumem infinits termes i $n$ és un nombre tan gran com vulguem ( que representarem per $+\infty$ ), llavors:
    $S_{\text{infinits termes}}=1\cdot \dfrac{2^{+\infty}-1}{2-1}=\dfrac{+\infty-1}{1}=\dfrac{+\infty}{1}=+\infty$

$\square$

[nota del autor]

Dada una sucesión geométrica de la cual conocemos la razón y el valor del primer término ...

Enunciat:
Donada una successió geomètrica de la qual en coneixem la raó $r$ i el valor primer terme $a_1$, determineu:
    a) l'expressió del terme n-èssim
    b) l'expressió de la suma de $n$ primers termes consecutius
    c) l'expressió del producte de $n$ primers termes consecutius

Solució:
a)
Vegem com es van formant els termes:
    $a_1$
    $a_{2}=a_{1}\cdot r$
    $a_{3}=a_{2}\cdot r=a_{1} \cdot r \cdot r = a_{1} \cdot r^2$
    $a_{4}=a_{3}\cdot r=a_{2} \cdot r^2 \cdot r = a_{1} \cdot r^3$
&nbps   $\ldots$
fent-se ja ben clara la regla de formació ( l'exponent de la potència de base $r$ és una unitat menys que el valor de l'índex del terme que hom vol calcular ), és a dir,
    $a_{n} = a_1 \, r^{n-1}$ $\quad \quad \text on \; \; n=1,2,3,\ldots$

b)
Per sumar els $n$ primers termes consecutius
        $S_n = a_1+a_{2}+\ldots+a_{n} \quad \quad (1)$
procedirem de la manera següent:
Multiplicant per la raó $r$ cadascún dels dos membres de la igualtat (1)
        $r\cdot S_n = r\cdot a_1+r\cdot a_{2}+\ldots+r\cdot a_{3}+r\cdot a_{n}$
que és igual a
        $r\cdot S_m = a_{2}+a_{3}+\ldots+a_{n-1}+a_{n} \quad \quad (2)$
Restant, ara, (2) de (1)
        $r\cdot S_n-S_n = -a_{1}+0+\ldots+a_{n}$
i tenint en compte que $a_{n}=a_{1}\,r^n$, es pot posar de la forma
        $r\cdot S_n-S_n = -a_{1}+a_{1}\,r^n$
traient factor comú de $S_n$ en el primer membre i de $a_1$ en el segon, trobem
        $S_m\, (r-1) = a_{1}\,(r^{n}-1)$
i aïllant $S_m$ queda
        $S_n=a_{1}\,\dfrac{r^{n}-1}{r-1}$

c)
El producte dels $n$ primers termes consecutius d'una s.g. és
        $P_m = a_1 \cdot a_{2} \cdot \ldots \cdot a_{n} \quad \quad (3)$
i tenint en compte la propietat del producte dels extrems ( en una s.g. és constant ), és a dir, que
        $a_{1}\cdot a_{n}=a_{2}\cdot a_{n-1}=a_{3}\cdot a_{n-2}=\ldots=\text{constant}$
podem escriure (3) de la forma
        $P_n = \big(a_1 \cdot a_{n}\big)^{\frac{n}{2}}$
                $ = \sqrt[2]{\big(a_1 \cdot a_{n}\big)^n}$

$\diamond$

Consideremos una hoja de papel de $0,01 \, \text{mm}$ de grosor ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Considerem un full de paper de $0,01 \, \text{mm}$ de gruix. Imaginem que el dividim en quatre quadrats iguals més petits i que, successivament, repetim l'operació per a cadascun d'aquests quadrats. Quin gruix tindria la columna de papers que obtindríem si repetíssim l'operació $20$ vegades ?.

Solució:
El nombre de quadrats que formen la columna ve donat pel valor del $20-\text{essim}$ terme de la successió geomètrica de raó, $r=4$ té per terme general
    $a_n=4^{n-1} \quad n=1,2,\ldots$
és a dir
    $a_{20}=4^{20-1}$
            $=4^{19} \; \text{trossets de paper}$
Per tant, el gruix $h$ de la columna formada per aquests trossos de paper és igual a
    $h=4^{19}\cdot 0,01 \, \text{mm}$
        $=4^{17} \, \text{mm}$
        $=4^{14} \, \text{m}$
        $=4^{11} \, \text{km} = 4\,194\,304 \, \text{km}$

Nota:     Si es compara amb el valor del radi de la Terra, que és "només" de $6370 \, \text{km}$ (aproximadament), podem apreciar la magnitud dels nombres que, de seguida, obtenim formant els termes d'una successió geomètrica si el valor de la raó és més gran que la unitat.

$\square$

[nota del autor]

Sucesiones y series geométricas. Fórmulas de cálculo. ( Artículo escrito en catalán ).

Enunciat:
Donada una successió geomètrica de la qual en coneixem la raó $r$ i el valor del terme k-èssim $a_k$ ( $k \ge 1$ ), determineu:
    a) l'expressió del terme n-èssim ( comptant a partir del k-èssim )
    b) l'expressió de la suma de $m$ termes consecutius, a partir d'un terme donat $a_k$ ( $\quad \quad k \ge 1$ )
    c) l'expressió del producte de $n$ termes consecutius

Solució:
a)
Vegem com es van formant els termes:
    $a_k$
    $a_{k+1}=a_{k}\cdot r$
    $a_{k+2}=a_{k+1}\cdot r=a_{k} \cdot r \cdot r = a_{k} \cdot r^2$
    $a_{k+3}=a_{k+2}\cdot r=a_{k} \cdot r^2 \cdot r = a_{k} \cdot r^3$
&nbps   $\ldots$
fent-se ja ben clara la regla de formació ( l'exponent de la potència de base $r$ és una unitat menys que el valor de l'índex del terme que hom vol calcular ), és a dir,
    $a_{k+n} = a_k \, r^{n}$ $\quad \quad \text on \; \; n=1,2,3,\ldots \; \text{amb} \; k \ge 1 \;\text{i}\; n \ge k $

Si $k=1$ ( si comencem pel primer terme, o bé si al terme k-èssim el considerem el primer ) l'expressió queda
    $a_{n+1}=a_1 \, r^{n} \; \text{on} \text n \ge 1$
i, canviant $n+1$ per $n$, s'obté
    $a_{n}=a_1 \, r^{n-1} \; \text{on} \text n \ge 1$
que és l'expressió demanada (terme general de la successió).

b)
Per sumar $m$ termes consecutius a partir d'un terme donat $a_k$, és a dir
        $S_m = a_k+a_{k+1}+\ldots+a_{k+m-1} \quad \quad (1)$
procedirem de la manera següent:
Multiplicant per la raó $r$ cadascún dels dos membres de la igualtat (1)
        $r\cdot S_m = r\cdot a_k+r\cdot a_{k+1}+\ldots+r\cdot a_{k+m-2}+r\cdot a_{k+m-1}$
que és igual a
        $r\cdot S_m = a_{k+1}+a_{k+2}+\ldots+a_{k+m-1}+a_{k+m} \quad \quad (2)$
Restant, ara, (2) de (1)
        $r\cdot S_m-S_m = -a_{k}+0+\ldots+a_{k+m}$
i tenint en compte que $a_{k+m}=a_{k}\,r^m$, es pot posar de la forma
        $r\cdot S_m-S_m = -a_{k}+a_{k}\,r^m$
traient factor comú de $S_n$ en el primer membre i de $a_k$ en el segon, trobem
        $S_m\, (r-1) = a_{k}\,(r^m-1)$
i aïllant $S_m$ queda
        $S_m=a_{k}\,\dfrac{r^m-1}{r-1} \quad \text{on} \quad k \ge 1 \; \text{i} \; m \ge k$

Si $k=1$ ( si comencem pel primer terme, o bé si al terme k-èssim el considerem el primer ) l'expressió queda
    $a_m=a_{1}\,\dfrac{r^m-1}{r-1}$
que és l'expressió del terme general que se'ns demanava.

c)
El producte de $m$ termes consecutius d'una s.g. a partir del terme k-èssim és
        $P_m = a_k \cdot a_{k+1} \cdot \ldots \cdot a_{k+m-1} \quad \quad (3)$
i tenint en compte la propietat del producte dels extrems ( en una s.g. és constant ), és a dir, que
        $a_{k}\cdot a_{k+m-1}=a_{k+1}\cdot a_{k+m-2}=a_{k+2}\cdot a_{k+m-3}=\ldots=\text{constant}$
podem escriure (3) de la forma
        $P_m = \big(a_k \cdot a_{k+m-1}\big)^{\frac{m}{2}}$
                $ = \sqrt[2]{\big(a_k \cdot a_{k+m-1}\big)^m}$

Nota:     Si $k=1$ ( si comencem a multiplicar pel primer terme, o bé si al terme k-èssim el considerem el primer ) l'expressió queda
                $P_m = \sqrt[2]{\big(a_1 \cdot a_{m}\big)^m}$

$\square$

[nota del autor]

Ejercicio con una sucesión geométrica. ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
El valor del tercer terme ( $a_3$ ) d'una successió geomètrica val $4$ i el valor del setè terme ( $a_7$ ) és $64$. Calculeu: a) el valor de la raó ( $r$ ); b) el valor del primer terme ( $a_1$ ); i c) el valor de la suma $s_{30}$ ( suma dels $30$ primers termes d'aquesta successió ).

Solució:
a)
Tenint en compte que
    $a_7=a_{3}\cdot r^{7-3}$
trobem que
    $64=4\cdot r^{4}$
simplificant
    $16=r^{4}$
i descomposant en factors primers el primer membre
    $2^4=r^{4} \Rightarrow r=2$

b)
El valor del primer terme el podem trobar del fet que
    $a_3=a_1 \cdot r^{3-1}$
i posant les dades
    $4=a_1 \cdot r^{2} \Rightarrow a_1=1$


c)
Suma dels trenta primers termes consecutius     $a_1+a_2+\ldots+a_{30}$:

Calcularem el valor de la suma dels $n$ primers termes consecutius d'una successió geomètrica fent ús de la fórmula que es va justificar a classe
    $s_{n}=a_{1}\cdot \dfrac{r^n-1}{r-1}$
i, posant les dades, trobem
    $s_{n}=1\cdot \dfrac{2^{30}-1}{2-1}=2^{30}-1$
        $=1 \,073\, 741\, 823$

$\square$

[nota del autor]

Un problema de sucesiones geométricas con un pastel