Resolver el siguiente sistema de ecuaciones cuyos coeficientes son fraccionarios ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Resoleu el següent sistema d'equacions
      $\left.\begin{matrix}\dfrac{3}{4}\,x+\dfrac{5}{12}\,y=\dfrac{7}{24} \\ \\\dfrac{5}{4}\,x+\dfrac{2}{15}\,y=\dfrac{3}{10} \\ \end{matrix}\right\}$

Solució:
Multiplicant pel mínim comú múltiple dels denominadors dels coeficients fraccionaris de una i altra equació
      $\left.\begin{matrix}24\cdot\dfrac{3}{4}\,x+24\cdot\dfrac{5}{12}\,y=24\cdot\dfrac{7}{24} \\ \\ 60\cdot\dfrac{5}{4}\,x+60 \cdot \dfrac{2}{15}\,y=60\cdot\dfrac{3}{10} \\ \end{matrix}\right\}$
i, simplificant, podem escriure el següent sistema d'equacions equivalents a l'original:
      $\left.\begin{matrix}18\,x+10\,y=7 \\ \\75\,x+8\,y=18 \\ \end{matrix}\right\}$
Resoldrem aquest sistema fent ús del mètode de reducció; per això, podem fer, per exemple, la següent transformació vàlida (combinació entre equacions) [nota]
    $-\dfrac{75}{18}\,e_1+e_2 \rightarrow e_2$
el podrem escriure de la forma
      $\left.\begin{matrix}18\,x&+&10\,y&=&7 \\ \\&\,&-\dfrac{101}{3}\,y&=&-\dfrac{67}{6} \\ \end{matrix}\right\}$
Simplificant i aïllant la incògnita $y$ de la segona equació arribem a
    $y=\dfrac{-\frac{\;67\;}{6}}{-\frac{\;101\;}{3}}=\dfrac{67}{202}$
I, finalment, substituint en una de les equacions equivalents on figura la incògnita $x$, trobarem el valor que li correspon
aíxí, per exemple, de
    $18\,x+10\,y=7$
arribem a
    $18\,x+10\cdot \dfrac{67}{202}=7$
i, d'aquí, trobem
    $x=\dfrac{7-10\cdot \dfrac{67}{202}}{18}$
que, operant, porta a
    $x=\dfrac{62}{303}$

Comprovació:   Posant els valors obtinguts en una de les equacions originals cal mirar si es verifica la igualtat entre el primer i el segon membre; per exemple, a partir de la primera equació
    $\dfrac{3}{4}\,x+\dfrac{5}{12}\,y=\dfrac{7}{24}$
veiem que
    $\dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{62}{303}+\dfrac{5}{12}\cdot \dfrac{67}{202}$
      $=\dfrac{31}{202}+\dfrac{335}{2424}$
      $=\ldots=\dfrac{7}{24}$
que, efectivament, coincideix amb el valor del segon membre.
$\square$


Nota:   He fet servir, aquí, el mètode de reducció per la seva eficàcia; no obstant, si ho preferiu, també podeu fer ús dels altres dos mètodes: d'igualació i de substitució, respectivament.

[nota del autor]