Una urna contiene diez bolas numeradas ...

ENUNCIADO
Una urna contiene diez bolas, numeradas del uno al diez. Consideremos el experimento aleatorio de elegir una bola al azar. Sean los sucesos: extraer una bola con número par, y extraer una bola con número mayor que cuatro. ¿ Son dichos sucesos compatibles ? ¿ Cuál es la probabilidad de su unión ?.

SOLUCIÓN
Denominamos $A$ al primer suceso y $B$ al segundo. Desde luego, hay números pares que son mayores que cuatro; por tanto, los sucesos $A$ y $B$ son compatibles. Procedemos, ahora, a calcular la probabilidad de $A \cup B$, que, por el principio de inclusión-exlusión, es igual a $P(A)+P(B)-P(A \cap B)$     (1). Como $A$ y $B$ son compatibles, $A \cap B \neq \varnothing $, por tanto $P(A \cap B) \neq 0$; en efecto, $P(A \cap B )=\text{card}(\{6,8,10\})=3$, con lo cual, por la regla de Laplace, $P(A \cap B)=\dfrac{3}{10}$; por otra parte, $\text{card}(\{2,4,6,8,10\})=5$, luego, por Laplace, $P(A)=\dfrac{5}{10}$; y como $\text{card}(\{5,6,7,8,9,10\})=6$, $P(B)=\dfrac{6}{10}$. Así, pues, de (1), podemos obtener la probabilidad pedida $$P(A \cup B)=\dfrac{5}{10}+\dfrac{6}{10}-\dfrac{3}{10}=\dfrac{8}{10}=\dfrac{4}{5}=80\,\%$$
$\square$

[nota del autor]

Explique los siguientes conceptos sobre probabilidad

Enunciado:

Explique los siguientes conceptos:
  a) sucesos incompatibles
  b) sucesos independientes

Explique qué dice:
  c) el teorema de la probabilidad total
  d) la regla de Laplace

Explique qué entiende por:
  e) espacio muestral
  f) conjunto de las partes del espacio muestral
  g) espacio de probabilidad


Solución:

a)
Dos sucesos $A$ y $B$ decimos que son incompatibles si uno excluye al otro como resultado de la realización de la experiencia aleatoria a la cual están ligados. También puede decirse que dos sucesos $A$ y $B$ son incompatible si y sólo si $A \cap B = \varnothing$.

b)
Dos sucesos $A$ y $B$ son independientes si y sólo si $P(A|B)=P(A)$ y $P(B|A)=P(B)$, esto es, si no hay condicionamiento en el hecho de que se de uno, sabiendo que se ha dado ya el otro.

c)
Sea un conjunto de sucesos $\{A_i\} \quad i=1\,,\ldots\,n$ tales que la unión de todos ellos es el espacio muestral $\Omega$ y de tal modo que la intersección de cada pareja de dichos conjuntos es vacía ( son incompatibles entre sí ); sea $B$ un suceso compuesto, entonces, en estas condiciones se cumple $P(B)=P(B|A_1)\,P(A_1)+ P(B|A_2)\,P(A_2)+\ldots+P(B|A_n)\,P(A_n)$ ( Teorema de la Probabilidad Total )

d)
La regla de Laplace permite asignar probabilidad a partir de la razón entre el número de casos favorables a que se de un cierto evento y el número total de eventos que puedan darse, suponiendo que dichos sucesos sean equiprobables.

e)
Sea una experiencia aleatoria, entendemos el espacio muestral $\Omega$ como un conjunto de sucesos elementales asociados a la misma de tal forma que: i) recubren el espacio de sucesos, y ii) la intersección de todas las parejas formadas por elementos distintos es vacía.

f)
El conjunto de las partes de un espacio muestral $\Omega$ finito, de cardinal $n$ ( número de sucesos elementales de que consta ) es el conjunto de los subconjuntos del mismo, y, por tanto, el número de dichos subconjuntos ( incluyendo el conjunto vació $\varnothing$ ( suceso imposible ) y el propio espacio muestral $\Omega$ ( suceso seguro ) se demuestra que es igual a $2^n$.

g)
Dada una experiencia aleatoria $\mathcal{E}$, el espacio de probabilidad es la terna $(\Omega, \mathcal{A}, P)$, donde: $\Omega$ es el espacio muestral; \mathcal{A} representa el conjunto de sucesos ( ya sean éstos elementales o bien compuestos ) y $P$ es una aplicación de $\mathcal{A}$ en $[0,1]\subset \mathbb{R}$ que llamamos aplicación probabilidad y representa una forma de medir en dicho espacio.

$\square$

[nota del autor]

Enunciado: Consideremos una experiencia aleatoria $\mathcal{E}$ y el espacio de probabilidad dado por la terna $(\Omega, \mathcal{A} \subset \mathcal{P}(\Omega),P)$, donde $\Omega$ es el espacio muestral, $\mathcal{A}$ es una parte del conjunto de las partes $\mathcal{P}(\Omega),P)$ de $\Omega$, y $P$ la aplicación probabilidad, definida de $\mathcal{A}$ en $[0,1] \subset \mathbb{R}$. Sean dos sucesos aleatorios $A$ y $B$, entonces se sabe ( propiedad ) que $P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B ) $. ¿ Cómo podemos escribir esta expresión en los casos que se indican a continuación ?: a) $A$ y $B$ son incompatibles b) $A$ y $B$ son compatibles y dependientes c) $A$ y $B$ son compatibles e independientes

Enunciado:
Consideremos una experiencia aleatoria $\mathcal{E}$ y el espacio de probabilidad dado por la terna $(\Omega, \mathcal{A} \subset \mathcal{P}(\Omega),P)$, donde $\Omega$ es el espacio muestral, $\mathcal{A}$ es una parte del conjunto de las partes $\mathcal{P}(\Omega),P)$ de $\Omega$, y $P$ la aplicación probabilidad, definida de $\mathcal{A}$ en $[0,1] \subset \mathbb{R}$.

Sean dos sucesos aleatorios $A$ y $B$, entonces se sabe ( propiedad que viene del principio de inclusión-exclusión ) que $P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B ) $. ¿ Cómo podemos escribir esta expresión en los casos que se indican a continuación ?:

  a) $A$ y $B$ son incompatibles
  b) $A$ y $B$ son compatibles y dependientes
  c) $A$ y $B$ son compatibles e independientes

Solución:

a)
Si $A$ y $B$ son incompatibles, entonces $A \cap B = \varnothing $ ( suceso imposible ) y, por tanto, $P(A \cap B)=0$; luego, en estas condiciones, $P(A \cup B)=P(A)+P(B)-0 = P(A)+P(B)$

-oOo-
b)
Si $A$ y $B$ son compatibles, entonces $A \cap B \neq \varnothing $ y, por tanto, $P(A \cap B)=P(B \cap B) \succ 0$, siendo $P(A \cap B)=P(A|B)\,P(B)$ y $P(B \cap A)=P(B|A)\,P(A)$; con lo cual, $P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A|B)P(B)=P(A)+P(B)-P(B|A)P(A)$. Y en el caso en que $A$ y $B$ sean dependientes habrá que tener en cuenta que $P(A|B) \neq P(A)$ y $P(B|A) \neq P(B)$.

c)
Si además de ser $A$ y $B$ compatibles son también independientes ( $P(A|B)=P(A)$ y $P(B|A)=P(A)$ ), por lo dicho en el apartado anterior, y en estas condiciones, podremos escribir:
$P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A|B)P(B)$
    $=P(A)+P(B)-P(B)\,P(A)$

$\square$

[nota del autor]