Ecuaciones de segundo grado ...

Enunciado:
Resolver la siguiente ecuación polinómica de segundo grado
            $x^2+5\,x+6=0$
sin hacer uso de la fórmula
           
$a\,x^2+b\,x+c=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4\,a\,c}}{2\,a}$

Solución:
    $x^2+5\,x+6=0$
Teniendo en cuenta la identidad notable
      $(p+q)^2=p^2+2\,pq+q^2$
podemos expresar el primer miembro de la ecuación de la forma
        $\bigg(x+\dfrac{5}{2}\bigg)^2 - \dfrac{25}{4}+6$
con lo cual podemos escribirla de la forma

    $\bigg(x+\dfrac{5}{2}\bigg)^2 - \dfrac{25}{4}+6=0$

así, tan sol es necesario deshacer el cuadrado del binomio
      $\bigg(x+\dfrac{5}{2}\bigg)^2=\dfrac{25}{4}-6$
y despejar a continuación la variable
      $x+\dfrac{5}{2}=\sqrt{\dfrac{1}{4}}$

      $x+\dfrac{5}{2}=\pm \dfrac{1}{2}$

      $x=-\dfrac{5}{2}\pm \dfrac{1}{2}$

      $x=\dfrac{-5 \pm 1}{2}$

      $x=\left\{\begin{matrix}\dfrac{-5+1}{2}=-2 \\ \\\dfrac{-5-1}{2}=-3 \\ \end{matrix}\right.$

$\square$

[nota del autor]

Una ecuación de segundo grado ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Una equació de 2n grau té els següents nombres com a solució: $1$ i $-4$. Sabent que el valor del coeficient del terme de 2n grau és igual a $5$, determineu l'expressió general completa: $a\,x^2+b\,x+c=0$.

Solució:
Per la propietat de factorització podem escriure l'equació de la forma:
    $5\,(x-1)\big(x-(-4)\big)=0$
és a dir
    $5\,(x-1)\big(x+4\big)=0$
Multiplicant els binomis obtenim
    $5\,(x^2-x+4\,x-4)=0$
que, simplificada l'expressió del parèntesi, queda
    $5\,(x^2+3\,x-4)=0$
i aplicant la propietat distributiva de la multiplicació respecte la suma per desfer el parèntesi obtenim
    $5\,x^2+15\,x-20=0$
que és l'expressió general d'una equació de 2n grau, amb coeficients: $a=5$, $b=15$ i $c=-20$.
$\square$

[nota del autor]

Si nos da la siguiente información acerca de las raíces de una ecuación de segundo grado ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Sabent que una equació de 2n grau té dos valors diferents com a solució, $r_1$ i $r_2$, que la suma d'aquests dos nombres és igual a $8$, que el seu producte és igual $12$, i que el coeficient del terme de 2n grau és $1$, escriviu l'equació en forma general.

Solució:
Donada l'equació general de 2n grau $a\,x^2+b\,x+c=0$ amb solució
  $x=\left\{\begin{matrix}r_1\\ \text{o bé} \\r_2\end{matrix}\right.$
es compleix que (propietat)
    $r_1+r_2=-b$
i
    $r_{1}\cdot r_{2}=c$
Per tant, com que $b=-8$   i   $c=12$, y tenint en compte que $a=1$, deduïm que l'equació general $a\,x^2+b\,x+c=0$ es concreta així
    $x^2+(-8)\,x+12=0$
és a dir
    $x^2-8\,x+12=0$
$\square$

[nota del autor]

¿ Cuántos números impares consecutivos, a partir de $1$, suman $2916$ ?

Enunciado:
¿ Cuántos números impares consecutivos, a partir de $1$, suman $2916$ ?

Solución:
Los números impares consecutivos forman una sucesión aritmética de diferencia $d=2$. El término general de la sucesión es
    $a_n=1+2\cdot (n-1) \quad n=1,2,3,\ldots$
Por otro lado, sabemos que la suma de los $n$ primeros términos se calcula del siguiente modo
    $s_n=n \cdot \dfrac{a_1+a_n}{2}$
Con lo cual podemos plantear la siguiente ecuación
    $2916=n \cdot \dfrac{1+(2n-1)}{2}$
simplificando,
    $n^2=2916$
y de ahí
    $n=\left| \sqrt{2916}\right| = 54$
esto es, los primeros $54$ números impares consecutivos suman $2916$.
$\square$

[nota del autor]

Resuelva las siguientes ecuaciones ...

Enunciado:
Resuelva las siguientes ecuaciones:

a) $\dfrac{1+x}{2}-\dfrac{1-x}{5}=\dfrac{1+2\,x}{15}$

b) $2\,x^2+5\,x-3=0$

c)
$\left\{\begin{matrix}
2\,x & - &3\, y &=5\\
3\,x & + & 2\,\,y &=1\\
\end{matrix}\right.$

Soluciones:

a) y b)

c)

$\square$

[nota del autor]

Resolver la ecuación: $x^2+8\,x+12=0$

Enunciado:
Resolver la ecuación:
$$x^2+8\,x+12=0$$

Resolución:
Teniendo en cuenta que
$$a\,x^2+b\,x+c=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4\cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}$$
identificando el valor de los coeficientes de la equación: $a=1$, $b=8$ y $c=12$, podemos escribir
$$x^2+8\,x+12=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-(-8)\pm \sqrt{(-8)^2-4\cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}=\left\{\begin{matrix}-2 \\ \\ -6 \end{matrix}\right.$$
$\blacksquare$

[nota del autor]

Ejemplo sencillo de resolución de una ecuación de segundo grado

[Ejemplo]

[nota del autor]