Resolución de problemas de aritmética mediante el álgebra

ENUNCIADO. Pablo y Marta salen un domingo por la tarde. Entre los dos tienen $24$ euros. Si Marta le diese $2$ euros a Pablo, éste tendría el doble de dinero que Marta. ¿ Qué cantidad de dinero tiene cada uno ?

SOLUCIÓN. Denotemos por $x$ al dinero que inicialmente tiene Marta y por $y$ al dinero que inicialmente tiene Pablo. Entonces podemos escribir: $$x+y=24\quad \quad (1)$$ por otra parte la segunda frase del enunciado se transcribe así $$2\,(x-2) = y+2 \quad \quad (2)$$ Estas dos ecuaciones forman un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas: $$\left\{\begin{matrix}x+y=24 \\ 2\,(x-2)=y+2 \end{matrix}\right.$$ Simplificando la segunda ecuación podemos escribirlo así $$\left\{\begin{matrix}x&+&y&=&24 \\ 2\,x&-&y&=&6 \end{matrix}\right.\overset{e_1+e_2 \, \rightarrow \,e_2}{\sim} \left\{\begin{matrix}x&+&y&=&24 \\ 3\,x&&&=&30 \end{matrix}\right.$$ De la segunda ecuación se obtiene $$x=10\,\text{euros}$$ y sustituyendo este valor en la primera, $$y=24-10=14\,\text{euros}$$ $\square$

Sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas

ENUNCIADO. Resolver el sistema de ecuaciones lineales $$\left\{\begin{matrix}x&-&y&+&z&=&1 \\ x&+&y&+&z&=&2 \\ x&+&y&-&z&=&3 \end{matrix}\right.$$

SOLUCIÓN. Vamos a reducir el sistema, escalonándolo ( método de Gauss ). Hecho ésto, podremos despejar la única incógnita de la tercera ecuación resultante, y, a partir del valor de ésta, calcularemos luego el valor de las otras dos, sustituyendo 'hacia arriba'.

$\left\{\begin{matrix}x&-&y&+&z&=&1 \\ x&+&y&+&z&=&2 \\ x&+&y&-&z&=&3 \end{matrix}\right. \overset{e_2-e_1 \, \rightarrow e_2\,;\,e_3-e_1 \, \rightarrow e_3}{\sim} \left\{\begin{matrix}x&-&y&+&z&=&1 \\ &&2y&&&=&1 \\ &&2y&-&2z&=&2 \end{matrix}\right. \sim $

$\overset{e_2 \, \leftrightarrow e_3}{\sim} \left\{\begin{matrix}x&-&y&+&z&=&1 \\ &&2y&-&2z&=&2\\ &&2y&&&=&1\end{matrix}\right. \overset{xyz \,\rightarrow \, xzy}{\sim} \left\{\begin{matrix}x&+&z&-&y&=&1 \\ &&-2z&+&2y&=&2\\ &&&&2y&=&1\end{matrix}\right.\sim $

$\overset{\frac{1}{2}\,e_2 \, \rightarrow \, e_2}{\sim}\left\{\begin{matrix}x&+&z&-&y&=&1 \\ &&-z&+&y&=&1\\ &&&&2y&=&1\end{matrix}\right.$

Ahora, de la última ecuación, podemos despejar $y$, con lo cual $$y=\dfrac{1}{2}$$ Sustituyendo este valor en la segunda ecuación, encontramos $-z+\dfrac{1}{2}=1$ y despejando $z$, $$z=-\dfrac{1}{2}$$ Y, finalmente, sustituyendo estos dos valores encontrados para $y$ y para $z$ en la primera ecuación, encontramos el valor de $x$ ( despejándola ), $$x=1-(-\dfrac{1}{2})+\dfrac{1}{2}=2$$ $\square$

Resolviendo un sistema de ecuaciones lineales

ENUNCIADO. Resuélvase el siguiente sistema de ecuaciones \emph{lineales} empleando algún método algebraico: $$\left\{\begin{matrix}\dfrac{3}{2}\,x & - & \dfrac{2}{3}\,y & = & \dfrac{5}{12} \\ \\ \dfrac{1}{5}\,x & - & \dfrac{3}{10}\,y & = & \dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.$$

SOLUCIÓN.
Multiplicando por el mínimo común múltiplo de los denominadores en las respectivas ecuaciones, llegaremos a un sistema equivalente con coeficientes enteros:

$\left\{\begin{matrix}\dfrac{3}{2}\,x & - & \dfrac{2}{3}\,y & = & \dfrac{5}{12} \\ \\ \dfrac{1}{5}\,x & - & \dfrac{3}{10}\,y & = & \dfrac{1}{4}\end{matrix}\right. \overset{e_1\cdot \text{m.c.m}(2,3,12)\rightarrow e_1\quad;\quad e_2\cdot \text{m.c.m}(5,10,4)\rightarrow e_2}{\sim}$

$\sim \left\{\begin{matrix}12\cdot \dfrac{3}{2}\,x & - & 12\cdot \dfrac{2}{3}\,y & = & 12\cdot \dfrac{5}{12} \\ \\ 20\cdot\dfrac{1}{5}\,x & - & 20\cdot \dfrac{3}{10}\,y & = & 20\cdot \dfrac{1}{4}\end{matrix}\right. \sim $

Procedemos ahora a reducir el sistema mediante la operación elemental que se indica:

$ \sim \left\{\begin{matrix}6\cdot 3\,x & - & 4\cdot 2 \,y & = & 5 \\ \\ 4\,x & - & 2\cdot 3 \,y & = & 5\end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}18\,x & - & 8\,y & = & 5 \\ \\ 4\,x & - & 6\,y & = & 5\end{matrix}\right. \overset{-2\,e_1+9\,e_2 \;\rightarrow\; e_2}{\sim} $

$ \sim \left\{\begin{matrix}18\,x & - & 8\,y & = & 5 \\ \\ & - & 38\,y & = & 35\end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}18\,x & - & 8\cdot (-\dfrac{35}{38}) & = & 5 \\ \\ & & y & = & -\dfrac{35}{38}\end{matrix}\right. \sim $

$\sim \left\{\begin{matrix}x & & & = & -\dfrac{5}{38} \\ \\ & & y & = & -\dfrac{35}{38}\end{matrix}\right.$
$\square$

Plantear ( mediante el álgebra ) y resolver

ENUNCIADO. El perímetro de un rectángulo mide $14$ metros, y el largo es un metro más largo que el ancho. ¿ Cuánto mide el área de dicho rectángulo ?

SOLUCIÓN. Llamemos $x$ e $y$ al largo y a las longitudes de sendos lados. Entonces, $$\left\{\begin{matrix}x+y=\dfrac{14}{2}\\y=x+1\end{matrix}\right.$$ Sustituyendo la expresión ( en $x$ de $y$ ) de la segunda ecuación en la primera, $$x+x+1=7$$ y resolviendo esta sencilla ecuación obtenemos $$x=3\;\text{m}$$ luego $$y=3+1=4\;\text{m}$$ Por tanto el área pedida es igual a $$\text{Área}=3\cdot 4=12 \; \text{m}^2$$

Resolver el sistema de ecuaciones

ENUNCIADO. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales $$\left\{\begin{matrix}5x&+&2y&=&1\\3x&+&7y&=&3\end{matrix}\right.$$

SOLUCIÓN. La tenéis en el siguiente [ vídeo ]

Resolver el siguiente problema, planteando un sistema de ecuaciones ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Dos nombres enters són tals que en multiplicar l'un per l'altre s'obté $-22$, i, en fer la divisió euclidiana del més gran (en valor absolut) entre el més petit (en valor absolut) s'obté $-6$ de quocient i $1$ de reste. De quins nombres es tracta ?

Solució:
Anomenem $m$ i $n$ als dos nombres enters que, segons l'enunciat, $\left|m\right|$ és més gran que $\left|n\right|$; llavors, en fer la divisió $m \div n$ tenim que, pel teorema de la divisió euclidiana ( " dividend = divisor x quocient més residu " ), i atenent la informació que se'ns dóna sobre el producte de tots dos, podrem escriure
      $\left.\begin{matrix}m=-6\,n+1 \\ \\m\cdot n=-22 \\ \end{matrix}\right\}$
Substituint l'expressió de $m$ del segon membre de la primera equació en la segona arribem a una equació amb una sola incògnita:
    $n\,(1-6n)=-22$
és a dir
    $n\,(6n-1)=22$
que és equivalent a
    $6\,n^2-n-22=0$
equació de 2n grau completa que dóna com a solució
    $n=\dfrac{-6\pm \left|\sqrt{6^2-4\cdot 6 \cdot 22}\right|}{2\cdot 6}$
d'on
    $n=\left\{\begin{matrix}
-\dfrac{11}{6} & \\
6 &
\end{matrix}\right.$
El segon valor és pertinent; el primer, però, no (no és un nombre enter). Llavors,
si $n=2$, substituint a la primera equació trobem el valor per a l'altre nombre: $m=-11$
$\square$

[nota del autor]

Compramos dos objetos ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Una persona ha comprat un objecte A i un objecte B. Els preus d'aquests dos objectes sumen seixanta euros, però li han fet un descompte d'un deu per cent en A i un descompte del vint per cent en B. Per tot, ha pagat cinquanta euros i quinze cèntims. Quin és el preu sense rebaixar de cada objecte ?.

Solució:
Anomenem:
    $a$   al preu sense rebaixar de l'objecte A
    $b$   al preu sense rebaixar de l'objecte B

    $a^{'}$   al preu rebaixat de l'objecte A
    $b^{'}$   al preu rebaixat de l'objecte B

Primer de tot, mirem d'expressar $a^{'}$ en relació a $a$, i $b^{'}$ en relació a $b$. Plantejant les corresponents proporcions:

        $\dfrac{a^{'}}{a}=\dfrac{100-10}{100}$

        $\dfrac{b^{'}}{b}=\dfrac{100-20}{100}$

i, de cada una, trobem (respectivament):

        $a^{'}=\dfrac{90\,a}{100}$

        $b^{'}=\dfrac{80\,b}{100}$

Fet això, traduïrem al llenguatge de l'àlgebra la resta de la informació de l'enunciat, escrivint el següent sistema d'equacions:

        $\left.\begin{matrix}a & + & b&=&60\\ \dfrac{90}{100}\,a & +&\dfrac{80}{100}\,b&=&50,15\\\end{matrix}\right\}$

simplificant ( multiplicant per $100$ ambdós membre de la segona equació),

        $\left.\begin{matrix}a & + & b&=&60\\ 90\,a & +&80\,b&=&5\,015\\\end{matrix}\right\}$

multiplicant per $-90$ els dos membres de la primera equació i sumant amb la segona, substituint aquesta nova segona equació ( que és equivalent a l'original) s'obté el el següent sistema equivalent

        $\left.\begin{matrix}a & + & b&=&60\\ \, & \,&-10\,b&=&-385\\\end{matrix}\right\}$

Simplificant i aïllant $b$ de la segona,
        $b=38,50 \, \text{\euro}$

I, posant aquest resultat a la primera equació, i aïllant $a$
    $a=60-38,50$
        $=21,50 \,\text{euros}$

$\square$

[nota del autor]

Resuelva las siguientes ecuaciones ...

Enunciado:
Resuelva las siguientes ecuaciones:

a) $\dfrac{1+x}{2}-\dfrac{1-x}{5}=\dfrac{1+2\,x}{15}$

b) $2\,x^2+5\,x-3=0$

c)
$\left\{\begin{matrix}
2\,x & - &3\, y &=5\\
3\,x & + & 2\,\,y &=1\\
\end{matrix}\right.$

Soluciones:

a) y b)

c)

$\square$

[nota del autor]

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales (de primer grado) $\left\{\begin{matrix} 2\,x & + & y &=& 1\\ -x & + & 3\,y &=& 2\\ \end{matrix}\right.$

Enunciado:
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales (de primer grado)
$$\left\{\begin{matrix}
2\,x & + & y &=& 1\\
-x & + & 3\,y &=& 2\\
\end{matrix}\right.$$

Resolución:
Procedemos a resolver el sistema por el método de reducción, si bien - por supuesto - podemos resolverlo también por cualquiera de los otros dos métodos ( igualación y sustitución).

Multiplicando ambos miembros de la segunda ecuación por $2$ obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones equivalentes

$$\left\{\begin{matrix}
2\,x & + & y &=& 1\\
-2\,x & + & 6\,y &=& 4\\
\end{matrix}\right.$$

sumando, ahora, la primera y la segunda ecuación ( miembro a miembro ) obtenemos una ecuación equivalente a la segunda, por la que ésta será sustiuida

$$\left\{\begin{matrix}
2\,x & + & y &=& 1\\
& & 7\,y &=& 5\\
\end{matrix}\right.$$

De la segunda ecuación de este sistema ( equivalente al original ) obtenemos: $$y=\dfrac{5}{7}$$ y, sustituyendo dicho valor en la primera ( o en la segunda ) ecuación original, llegamos al valor de la otra incógnita:

$2\,x+\dfrac{5}{7}=1$

  $7\cdot 2\,x+7 \cdot \dfrac{5}{7}=7 \cdot 1$

    $14\,x+5=7$

      $14\,x=7-5$

        $14\,x=2$

          $x=\dfrac{2}{14}=\dfrac{1}{7}$

$\blacksquare$

[nota del autor]