Aproximación por intervalos encajados

ENUNCIADO. Aproximar, mediante sucesivos intervalos ( intervalos encajados ), el número $\sqrt{3}$. Primero, hasta las unidades; a continuación, hasta las décimas; después, hasta las centésimas; y, finalmente, hasta las milésimas.

SOLUCIÓN.
Con ayuda de la calculadora vemos que:
Aproximación a las unidades ( por defecto y por exceso ):
$\sqrt{3}\approx 1,73205$, luego $$1 \le \sqrt{3} \le 2 \Rightarrow \sqrt{3} \in I_1=(1\,,\,2)\subset \mathbb{R}$$

Aproximación a las décimas ( por defecto y por exceso ):
$$1'7 \le \sqrt{3} \le 1'8 \Rightarrow \sqrt{3} \in I_2=(1'7\,,\,1'8)\subset (1\,,\,2) \subset \mathbb{R}$$

Aproximación a las centésimas ( por defecto y por exceso ):
$$1'73 \le \sqrt{3} \le 1'74 \Rightarrow \sqrt{3} \in I_3=(1'73\,,\,1'74)\subset (1'7\,,\,1'8) \subset (1\,,\,2) \subset \mathbb{R}$$

Aproximación a las milésimas ( por defecto y por exceso ):
$1'732 \le \sqrt{3} \le 1'733 \Rightarrow \sqrt{3} \in I_4=(1'732\,,\,1'733)\subset (1'73\,,\,1'74) \subset (1'7\,,\,1'8) \subset$
$\subset (1\,,\,2) \subset \mathbb{R}$

$\square$