Intervalo de incertidumbre del resultado de un cálculo con datos afectados de error

ENUNCIADO.
Se han realizado las siguientes aproximaciones por redondeo simétrico: $a \approx \bar{a}=2,6\,\text{(2 c.s.)}$ y $a \approx \bar{b}=34,14\,\text{(4 c.s.)}$. Exprésense los resultados de los siguientes cálculos con el número de cifras significativas que corresponda a cada uno y determínese una cota razonable del error absoluto asociado a cada uno de ellos:
(1) $4\,a-3b$
(2) $5\,a \, b$

SOLUCIÓN.
Al aproximar por redondeo simétrico una cierta cantidad, y desconociendo el valor exacto $x$ y, por tanto, el error absoluto $E$, podemos tomar media unidad del orden de magnitud de la última cifra significativa como cota razonable de dicho error absoluto, $\Delta \ge E$, que se produce en dicha aproximación; así, en el caso que nos ocupa, $\Delta_{a}=0,05$ y $\Delta_{b}=0,005$, por lo que podemos escribir que $a=2,6\,\pm\,0,05$ y $b=34,14\,\pm\,0,005$

En esta situación ( de desconocimiento de $x$ y, por consiguiente, de $E$ ), una cota razonable del error relativo, $\varepsilon$, la tomaremos razonando de la siguiente manera: el error relativo, $e$, es tal que $e\overset{\text{Def}}{=}\dfrac{E}{|x|}$ luego $e \prec \dfrac{\Delta}{|\bar{x}|-\Delta}$. Así, con los datos del problema: $\varepsilon_a=\dfrac{0,05}{2,6-0,05} \overset{\text{por exceso}}{\approx} 0,02=2\,\%$, y, por otra parte, $\varepsilon_b=\dfrac{0,005}{34,14-0,005} \overset{\text{por exceso}}{\approx}0,0002=0,02\,\%$

Hemos justificado en clase que en el caso de que las operaciones aritméticas sean sumas ( o restas ), una cota razonable de error absoluto en el resultado del cálculo es igual a la suma de las cotas de error absoluto de los datos. Y, en caso de que entre las operaciones haya productos ( o cocientes ), una cota razonable de error relativo en el resultado del cálculo es igual a la suma de las cotas de error relativo de los datos.

Al realizar los cálculos pedidos y presentar los resultados con las cifras significativas correctas encontramos:   $4\,a-3b \approx -92,02$ ( limitando el número de cifras decimales significativas (c.s.) a dos, puesto, que al realizar sumas/restas, éste es el número de cifras significativas del dato con el menor número de cifras decimales significativas )
  $5\,a\,b = 443,82 \approx 440$ ( limitando el número de cifras significativas (c.s.) a dos, puesto que, al intervenir en el cálculo multiplicaciones/divisiones, éste es el número de cifras significativas del dato con el menor número de c.s. )

Entonces, como en (1) aparecen sumas ( 7 sumas/restas ) con los datos afectados de error, $\Delta_1=4\,\Delta_a+3\,\Delta_b=0,215\overset{\text{por exceso}}{\approx}0,22$; por otra parte, como en la operación (2) aparece un producto ( con datos afectados de error -- el factor '5' es exacto -- ), tenemos que, según lo dicho arriba, $\varepsilon_2=0,02+0,0002=0,02002 \Rightarrow \Delta_2 = (5\cdot 2,6\cdot 34,14) =$
  $=440 \cdot 0,02002\overset{\text{por exceso}}{\approx} 8,8$ ( aproximando a 2 c.s.)


Así pues, la incertidumbre de los resultados de sendos cálculos ( con sus intervalos ) son:
$4\,a-3b \in (-92.02-0.22\,,\,-92.02+0.22)=(-92.24\,,\,-91.80)$, dicho de otro modo: $4\,a-3b=-92,02\,\pm 0.22$
y
$5\,a\,b =\in (440-8.8\,,\,440+8.8)=(431.2\,,\,448.8)$, dicho de otro modo: $5\,a\,b=440\,\pm 8,8$
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Propagación de los errores ( en los datos ) a través de los cálculos. Intervalos de error de los resultados

ENUNCIADO. Un carpintero ha elaborado una tablilla ( de forma rectangular ). Al medir sus lados $x_1$ y $x_2$ con un metro de carpintero ha obtenido las siguientes medidas: $\bar{x}_1=51 \, \text{cm}$ y $\bar{x}_2=12,4 \, \text{cm}$. Escribir el resultado del perímetro $\bar{P}$ ( que es el valor que aproxima a $P$ ) y del área $\bar{A}$ ( que es el valor que aproxima a $A$ ) que resulta de los cálculos oportunos, atendiendo al número de cifras significativas de los datos del problema. Encontrar el intervalo de incertidumbre ( o de error ) para $P$ y para $A$.

SOLUCIÓN.
Observemos que la medida de $x_2$ viene dada con $3$ cifras significativas (c.s.) y que la de $x_1$ viene dada sólo con $2$ (c.s.), quizás debido a que en la zona de medida no se distinguen bien las marcas de los milímetros.

El valor del perímetro $\bar{P}$, calculado a partir del resultado de las medidas de la tablilla, es $2(51 + 12,4)=126,8$, que debemos aproximar a las unidades, pues habiendo realizado una suma ( de los datos ) el número de cifras decimales del resultado no puede superar el número de cifras decimales del dato menos preciso ( que es la longitud del largo de la tablilla y que no tiene ninguna cifra decimal ). Así el resultado del perímetro ( obtenida mediante una suma ) no deberá tener ninguna cifra decimal, por lo que escribiremos $\bar{P}=127\,\text{cm}$

Vamos a encontrar el intervalo de error para $P$, esto es $I_P=(\bar{P}-\Delta_P\,,\,\bar{P}+\Delta_P)$ donde $\Delta_P$ es una cota de error absoluta para $P$, por lo cual, tendremos que calcular dicha cota de error absoluto. Como el cálculo del perímetro viene de una suma $P=x_1+x_1+x_2+x_2$ y por tanto $\bar{P}=\bar{x}_1+\bar{x}_1+\bar{x}_2+\bar{x}_2$ , sabemos que $\Delta_P=\Delta_1+\Delta_1+\Delta_2+\Delta_2$, esto es, $\Delta_P=2\cdot (\Delta_1+\Delta_2)$, donde los sumandos corresponden a las respectivas cotas de error para las longitudes $x_1$ y $x_2$. Éstas vienen dadas por la menor unidad distinguible del aparato de medida que, en el caso de la segunda medida realizada $\bar{x}_2=12,4\,\text{cm}$, corresponde a la los milímetros pues es claro que se aprecia la cifra de las décimas de centímetro y por tanto podemos decir que $\Delta_2=0,1\,\text{cm}$; sin embargo, para la primera medida, $\bar{x}_1=51\,\text{cm}$, en la que no aparece la cifra de las décimas de centímetro, debemos entender que la unidad más pequeña que se ha discriminado ( en esa zona de medición ) es la de los centímetros, luego podemos tomar como cota de error absoluto para $x_1$, $\Delta_1=1\,\text{cm}$. Así pues, $\Delta_P=2\cdot (1+0,1)=2,2 \, \text{cm} \approx 3 \, \text{cm}$ ( aproximando por exceso ) y, por consiguiente, $P = 127\pm 3 \, \text{cm}$, por lo que el intervalo de error pedido para $P$ es $I_P=(127-3\,,\,127+3)=(124\,,\,130)$ ( con los valores expresados en centímetros ).

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El valor del área calculada $\bar{A}$ es $51 \cdot 12,4=632,4$, que debemos aproximar a la cifra de las decenas, pues habiéndose realizado ahora un producto ( con los datos ) el número de cifras significativas del resultado no puede superar el número de cifra significativas del dato menos preciso en ese sentido ( que es la longitud del largo de la tablilla y que tiene sólo dos cifras significativas). Así pues el resultado del área ( obtenida mediante un producto ) sólo puede tener dos cifras significativas, esto es, escribiremos $\bar{A}=630\,\text{cm}^2$

Nos proponemos ahora encontrar el intervalo de error para $A$, esto es $I_A=(\bar{A}-\Delta_A\,,\,\bar{A}+\Delta_A)$ donde $\Delta_A$ es una cota de error absoluta para $A$, por lo cual, tendremos que calcular dicha cota de error absoluto. Como el cálculo del área viene de un producto $A=x_1\cdot x_2$, sabemos que $\varepsilon_A=\varepsilon_1+\varepsilon_1$ y, por otra parte, $\varepsilon_A=\dfrac{\Delta_A}{\bar{A}-\Delta_A} \quad (1)$; así que tendremos que calcular las cotas de error relativo correspondientes a $x_1$ y $x_2$: $\varepsilon_1=\frac{\Delta_1}{\bar{x}_1-\Delta_1}$, luego $\varepsilon_1=\dfrac{1}{51-1}=\dfrac{1}{50}=0,02$ y $\varepsilon_2=\frac{\Delta_2}{\bar{x}_2-\Delta_2}$, luego $\varepsilon_2=\dfrac{0,1}{12,4-0,1}=\dfrac{0,1}{12,3}\approx 0,008$. Entonces, $\varepsilon_A=0,02+0,008=0,028 \approx 0,03$, con lo cual, de (1), vemos que $0,03=\dfrac{\Delta_A}{630-\Delta_A} \approx \dfrac{\Delta_A}{630}$ y por tanto $\Delta_A=630 \cdot 0,03 = 18,9 \approx 19 \, \text{cm}^2$. Conocida una cota de error absoluto podemos escribir que $A = 630 \pm 19 \, \text{cm}^2$, dicho de otra forma, el intervalo de error de $A$ es $I_A=(630-19\,,\,630+19)=(611\,,\,649) \, \text{cm}^2$

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Calcular el error de aproximación

ENUNCIADO. Aproximamos el número $x=\dfrac{13}{7}$ por $\bar{x}=1,86$. Calcular el error absoluto, $E$, y el error relativo, $\epsilon$. Dar una cota del error absoluto, $\Delta$, y una cota del error relativo, $\varepsilon$.

SOLUCIÓN.

$E\overset{\text{def}}{=}|x-\bar{x}|=|\dfrac{13}{7}-1,86|=|\dfrac{13}{7}-\dfrac{93}{50}|=\dfrac{1}{350}\prec \dfrac{1}{349}$, luego $\Delta:=\dfrac{1}{349} \approx 3\cdot 10^{-3}$

$\epsilon\overset{\text{def}}{=}\dfrac{E}{x}=\dfrac{1/350}{13/7}=\dfrac{1}{650}\prec \dfrac{1}{649}$, luego $\varepsilon:=\dfrac{1}{649} \approx 2\cdot 10^{-3}=0,2\,\%$

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[autoría]

Precisión en los cálculos ...

Mètodes d'arrodoniment Mètode d'arrodoniment simètric Aquest és el mètode més senzill d'arrodoniment. Consisteix a augmentar l'última xifra que conservem en una unitat sempre que la següent xifra sigui un '5' o bé una xifra més gran que '5', per contra, quan aquesta és més petita que '5' és manté l'última xifra conservada tal com està. Exemples d'arrodoniment simètric Si no s'indica el contrari, farem servir sempre aquest mètode. Suposem que volem arrodonir a tres xifres significatives $4,6784539 \approx 4,68$ $3,455 \approx 3,46$ $7,34456345 \approx 7,34$ Si la quantitat a arrodonir és un nombre enter, primer cal arrodonir i, tot seguit, substituir per zeros les xifres que no siguin significatives. $5416433 \approx 5420000$ $5415000 \approx 5420000$ $5413126 \approx 5410000$ Mètode d'arrodoniment asimètric Un altre mètode que en la literatura anglosaxona es coneix amb el nom de round-to-even methode (1940) i que es fa servir força en ciències experimentals consisteix a fer servir un criteri una mica més acurat: Cal augmentar l'última xifra conservada sempre que la següent sigui superior a '5'; o bé, si aquesta és igual a '5', i a la seva dreta no hi cap altra xifra, sempre que l'última xifra a mostrar ocupi un lloc senar. Cal deixar invariant l'última xifra a conservar i menysprear la resta de la part decimal si la primera xifra (d'aquesta part a menysprear) és inferior a '5'; o bé si, sent aquesta justament un '5' i no havent-hi a la seva dreta cap altra xifra, l'última xifra a mostrar ocupi un lloc parell. Exemples d'arrodoniment asimètric Únicament farem servir aquest mètode si se'ns demana expressament. Suposem que volem arrodonir a tres xifres significatives $6,126 \approx 6,13$ $6,105 \approx 6,10$ $6,14500001 \approx 6,14$ En els següents exemples, arrodonirem a quatre xifres significatives: $9,0024 \approx 9,002$ $3,1266 \approx 3,127$ $7,1845 \approx 7,185$ $8,724500001 \approx 8,725$ Si la quantitat a arrodonir és un nombre enter, cal arrodonir i substituir per zeros les xifres que no siguin significatives. En els següents exemples, arrodonirem (de forma asimètrica) quantitats que no tenen part decimal, mostrant-les amb tres xifres significatives: $5416433 \approx 5420000$ $5425000 \approx 5430000$ $5425001 \approx 5430000$ $5413126 \approx 5410000$ Marge d'error màxim que afecta a una quantitat aproximada per arrodoniment Anomenem fita d'error absolut a l'error absolut més gran que es dóna, quan arrodonim una quantitat. Com a valor de la fita d'error absolut en un arrodoniment se sol prendre mitja unitat de l'ordre de l'última xifra de la quantitat arrodonida. Això garanteix que totes les xifres amb què mostrarem el resultat de l'aproximació siguin xifres significatives correctes/fiables 1 Exemples: Com a resultat d'arrodonir el nombre 45,654 a quatre xifres significatives, escriurem $45,65$, y trobem que l'error absolut es $\left| 45,654-45,65 \right| = 0,004 \prec 0,005 $; per tant prenderm com a fita d'error absoluto $\Delta = 0,005$, és a dir, $\Delta=5 \cdot 10^{-3} $, que como es pot veure es mitja unitad de l'ordre de l'última xifra del resultat de l'arrodoniment ( l'ordre de la xifra '5' es $10^{-2}$ ): $\dfrac{1}{2}\cdot 10^{-2}$. Es a dir, si l'aproximació del nombre $45,654$ es, per exemple $45,65\square$, volem dir que per garantir que les cuatre primeres xifres significatives siguin correctes/fiables s'ha de complir que $45,654 = 45,65\square \pm 0,0005$; es a dir, podem afirmar que $45,654 \in ( 45,65\square-0,0005\,,\,45,65\square+0,0005)=(45,648\,\,45,655)$, éssent la cinquena xifra, $\square$, dubtosa; així, per exemple, si $\square=7$, es evident que l'interval d'incertesa es ara $I=(45,652\,,\,45,662)$, i, per tant $45,65 \notin I$, amb la qual cosa '7' ha de ser un xifra no-correcta. Com a resultat d'arrodonir el nombre 567942 a dues xifres significatives escriurem: $570000$. Com que l'error asbsolut comès es $\left| 567942-570000 \right|= 2058 \prec 5000$, prenem com a fita d'error absolut $\Delta = 5\cdot 10^3$, que, com es pot veure es mitja unitat de l'ordre de l'última xifra ( l'ordre de la xifra '7' es $10^4$ ) de la quantitat aproximada: $\dfrac{1}{2} \cdot 10^4$ Expressió del resultat de les operacions d'un càlcul Quan fem operacions aritmètiques a partir d'un conjunt de dades que tenen una precisió limitada, no pas totes les xifres que s'obtenen són significatives; caldrà donar el resultat final del càlcul amb la mateixa precisió que la de la dada que menys menys precisa. Concretament, pel que fa a les operacions bàsiques quan es treballa amb nombres afectats d'errors caldrà tenir en compte que el resultat final l'haurem d'adequar d'acord a les següents normes: Si les operacions són sumes (o restes), el nombre de xifres significatives a la dreta de la coma decimal no pot ser més gran que el del sumand menys precís. Exemples: $78,5 + 1,24 = 79,74 \approx 79,7$ (el sumand menys precís és 78,5 ja que només té una x.s. a la dreta de la coma, per tant el resultat no ha de tenir més d'una xifra significativa a la dreta de la coma decimal) $57643 +2,6 = 57645,6 \approx 57646$ (el sumand menys precís és la quantitat entera, per tant el resultat no pot tenir decimals). Si les operacions són multiplicacions (o bé divisions), la precisió del resultat (el nombre de xifres significatives) no pot superar la del factor menys precís. Exemples: $ 78,5 · 1,24 = 97,34 \approx 79,3$ (1,24 té tres x.s. i 78,5 també en té tres) $764,894/2,6 = 294,19 \approx 290$ (ja que el factor menys precís és 2,6 (2 x.s.) i, doncs, el resultat no en pot tenir més de dues) ---- Una xifra significativa d'una quantitat aproximada o bé d'una quantitat que prové d'una mesura és una xifra significativa correcta si la fita d'error absolut és menor que mitja unitat de l'ordre de la xifra considerada.

[nota del autor]