Acerca de la deducción de las fórmulas para resolver ecuaciones polinómicas de segundo grado

¿De dónde sale el $\pm$ delante de la raíz cuadrada al despejar la incógnita elevada al cuadrado en una ecuación del tipo $x^2=k$ (siendo, desde luego, $k$ un número real no negativo)?

Vamos a resolver la ecuación y enseguida entenderemos el por qué:
  $x^2=k$
    $x^2-k=0$
      $x^2-(\sqrt{k})^2=0$
        $(x-\sqrt{k})(x+\sqrt{k})=0$, por la identidad notable $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$
Entonces,
        $(x-\sqrt{k})(x+\sqrt{k})=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x-\sqrt{k}=0 \Rightarrow x=\sqrt{k}\\ x+\sqrt{k}=0 \Rightarrow x=-\sqrt{k} \end{matrix}\right.\quad (1)$

--- Nota: Hay que tener en cuenta que la raíz cuadrada de un número no negativo tiene como imagen (por consenso) un número no negativo (si bien es cierto que el cuadrado del opuesto de tal número (que es negativo) también es igual a dicho cuadrado. --- Pues bien, para expresar el resultado de $(2)$ de manera escueta podemos escribir que $$x=\pm\sqrt{k}$$

-oOo-

Comentario: Esto nos lleva a entender perfectamente la razón por la cual aparece ese $\pm$ en la famosa fórmula de las ecuaciones de segundo grado completas, $a\,x^2+b\,x+c=0$, siendo los coeficientes $a$, $b$ y $c$ distintos de cero, esto es, $x=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4\,a\,c}}{2\,a}$. Lo explico a continuación, deduciendo dicha fórmula, paso a paso:
  $a\,x^2+b\,x+c=0$
    $\dfrac{1}{a}\,(a\,x^2+b\,x+c)+\dfrac{1}{a}\cdot 0$
      $\dfrac{1}{a}\cdot a\,x^2+\dfrac{1}{a}\cdot b\,x+\dfrac{1}{a}\cdot c=0$
        $x^2+\dfrac{b}{a}\,x+\dfrac{c}{a}=0$
          $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\left(\dfrac{b}{2\,a}\right)^2+\dfrac{c}{a}=0$, donde hemos tenido en cuenta la identidad $(m+n)^2=m^2+2\,m\,n+n^2$
            $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\left(\left(\dfrac{b}{2\,a}\right)^2-\dfrac{c}{a}\right)=0$
              $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\left(\sqrt{\left(\dfrac{b}{2\,a}\right)^2-\dfrac{c}{a}}\right)^2=0$
                $\left(\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)-\sqrt{\left(\dfrac{b}{2\,a}\right)^2-\dfrac{c}{a}}\right)\,\left(\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)+\sqrt{\left(\dfrac{b}{2\,a}\right)^2-\dfrac{c}{a}}\right)=0 \Leftrightarrow$
                  $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)-\sqrt{\left(\dfrac{b}{2\,a}\right)^2-\dfrac{c}{a}}=0 \Rightarrow x+\dfrac{b}{2a} = \sqrt{\left(\dfrac{b}{2\,a}\right)^2-\dfrac{c}{a}} \\ \left(x+\dfrac{b}{2a}\right)+\sqrt{\left(\dfrac{b}{2\,a}\right)^2-\dfrac{c}{a}}=0 \Rightarrow x+\dfrac{b}{2a} = -\sqrt{\left(\dfrac{b}{2\,a}\right)^2-\dfrac{c}{a}} \end{matrix}\right.$
esto es, $$x+\dfrac{b}{2a} = \pm \sqrt{\left(\dfrac{b}{2\,a}\right)^2-\dfrac{c}{a}}$$ y por tanto,
  $x=-\dfrac{b}{2a} \pm \sqrt{\left(\dfrac{b}{2\,a}\right)^2-\dfrac{c}{a}}=$
    $=-\dfrac{b}{2a} \pm \sqrt{\dfrac{b^2}{(2\,a)^2}-\dfrac{c}{a}}$
      $=-\dfrac{b}{2a} \pm \sqrt{\dfrac{b^2}{2^2\,a^2}-\dfrac{c}{a}}$
        $=-\dfrac{b}{2a} \pm \sqrt{\dfrac{b^2}{4\,a^2}-\dfrac{c}{a}}$
          $=-\dfrac{b}{2a} \pm \sqrt{\dfrac{b^2}{4\,a^2}-\dfrac{4\,a}{4\,a} \cdot \dfrac{c}{a}}$
            $=-\dfrac{b}{2a} \pm \sqrt{\dfrac{b^2}{4\,a^2}-\dfrac{4\,a\,c}{4\,a^2}}$
              $=-\dfrac{b}{2a} \pm \sqrt{\dfrac{b^2-4\,a\,c}{4\,a^2}}$
                $=-\dfrac{b}{2a} \pm \dfrac{\sqrt{b^2-4\,a\,c}}{\sqrt{4\,a^2}}$
                  $=-\dfrac{b}{2a} \pm \dfrac{\sqrt{b^2-4\,a\,c}}{\sqrt{(2\,a)^2}}$
                    $=-\dfrac{b}{2a} \pm \dfrac{\sqrt{b^2-4\,a\,c}}{2\,a}$
                      $=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4\,a\,c}}{2\,a}$

$\diamond$

Peculiaridades de algunas ecuaciones polinómicas de segundo grado

Algunas ecuaciones polinómicas de segundo grado, escritas de la forma $ax^2+b\,x+c=0$, son muy sencillas de resolver, pues fácilmente uno entrevé cómo factoriza el polinomio del primer miembro, y, ya a partir de ahí, se ven cláramente cuáles son las raíces de los binomios de primer grado (factores), que son los valores de la solución; en concreto, me refiero a los casos en los que el término independiente se pueda expresar de la forma $c=p\cdot q$, de tal manera, que $b=p+q$. Veamos el siguiente ejemplo: $x^2+4\,x-21=0$

Podemos escribir la ecuación de la forma $x^2+4x+(-21)=0$, para aclarar que $c=-21$ y $b=4$. Observemos que para esta ecuación se dan las condiciones comentadas: $c=-21=7\cdot (-3)$, y b=4=7+(-3)$.

Entonces,
  $x^2+4x+(-21)=0$
    $x^2+7\,x+(-3)\,x+(-21)=0$
      $x\,(x+7)-3\,(x+7)=0$
        $(x+7)\,(x-3)=0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x+7=0 \\ x-3 =0\end{matrix}\right. \Leftrightarrow x=\left\{\begin{matrix}-7 \\ 3 \end{matrix}\right.$
Así pues, la solución se compone de los siguientes valores: $$\{-7, 3\}$$ $\diamond$

¿Cómo estudiar y resolver ecuaciones polinómicas de segundo grado en las que aparece el valor absoluto de la incógnita en algunos de los términos algebraicos?

Consideremos, por un poner, la siguiente ecuación $$|x|^2+|x|-2=0$$ Veamos cómo podemos estudiarla correctamente, y, si la tuviese, cómo encontrar la solución:

Claramente, $0$ no es solución de la ecuación, pues al sustituir en la ecuación, se tiene que $|0|^2+|0|-2=0$, esto es, $-2\overset{!}{=}0$, que es una contradicción, luego $0$ no es solución de la ecuación. Entonces, el valor de $x$ podrá ser positivo o bien negativo. Pueden haber varios valores en la solución; de hecho los hay, encontraremos dos, como vamos a ver a continuación; incluso, uno puede ser positivo y el otro negativo, tal es el caso:

1. Si $0 \neq x\gt 0$, la ecuación original es equivalente a la propuesta es $x^2+x-2=0$, puesto que la operación valor absoluto sobre un número positivo da como resultado el propio número. Y, resolviéndola: $$0\lt x=\dfrac{-1\pm \sqrt{1^2-4\cdot (-2)\cdot 1}}{2\cdot 1}=\left\{\begin{matrix}1\gt 0 & \text{luego este valor pertenece a la solución}\\ -2\lt 0 & \text{por tanto, este valor no pertenece a la solución}\end{matrix}\right.$$ Por tanto, para valores negativos de $x$ encontramos un valor: $1$. Comprobémoslo (sustituyéndola en lugar de $x$ en la ecuación propuesta) para ver si el valor numérico de las expresiones algebraicas de los dos miembros de la ecuación da el mismo resultado: $$|1|^2+|1|-2=0$$ $$\quad 1+1-2=0$$ $$\quad \quad 0=0$$
2. Si $0 \neq x\lt 0$, entonces $0\neq -x \gt 0$, por lo que podemos sustituir $|x|$ (que da un número positivo) por $-x$ (que corresponde al mismo valor que el del valor absoluto de dicho número negativo) en la ecuación original: $(-x)^2+(-x)-2=0$, esto es, $x^2-x-2=0$. Y, resolviéndola: $$0\gt x=\dfrac{-(-1)\pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot (-2)\cdot 1}}{2\cdot 1}=\left\{\begin{matrix}2\gt 0 & \text{por tanto este, valor no pertenece a la solución}\\ -1\lt 0 & \text{luego este valor sí pertenece a la solución}\end{matrix}\right.$$ Por tanto, para valores negativos de $x$ encontramos un valor: $-1$. Tal como hemos hecho arriba, comprobémoslo (sustituyéndola en lugar de $x$ en la ecuación propuesta) para ver si el valor numérico de las expresiones algebraicas de los dos miembros de la ecuación da el mismo resultado: $$|-1|^2+|-1|-2=0$$ $$\quad 1+1-2=0$$ $$\quad \quad 0=0$$

Resumiendo, la solución de la ecuación propuesta está formada por los números enteros $-1$ y $1$. $\diamond$

Resolver las ecuaciones de segundo grado ...

ENUNCIADO. Resolver las siguientes ecuaciones:
a) $x^2+5x+6=0$
b) $\dfrac{1}{x-1}=x+1$

SOLUCIÓN.

a)
$x^2+5x+6=0$
  $x=\dfrac{-5\pm \sqrt{5^2-4\cdot 1 \cdot 6}}{2\cdot 1}=\dfrac{-5\pm 1}{2}=\left\{\begin{matrix}-2\\ \text{ó}\\-3\end{matrix}\right.$

b)
$\dfrac{1}{x-1}=x+1 \Leftrightarrow 1=(x-1)(x+1) \Leftrightarrow 1=x^2-1^2 \Leftrightarrow x^2=2$, de donde $$x=\sqrt{2}=\left\{\begin{matrix}\sqrt{2}\\\text{ó}\\-\sqrt{2}\end{matrix}\right.$$
$\square$

Resolver las siguientes ecuaciones polinómicas de segundo grado ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Resoleu les següents equacions:
    a)   $5\,x^2-320=0$
    b)   $(6\,x-5)^2-9=0$
    c)   $(5-2\,x)\cdot(3+4\,x)=0$
    d)   $4\,x^2+16\,x=0$
    e)   $x^2+3\,x-10=0$
    f)   $x^2+1=0$
    g)   $x^2+x+1=0$
    h)   $x^2-6\,x+9=0$
    i)   $x^2=x^2+1$
    j)   $x^2+2\,x+1=(x+1)^2$

Solució:

  a)
    $5\,x^2-320=0$
      $5\,x^2=320$
      $x^2=\dfrac{320}{5}$
      $x^2=64$
      $x=\sqrt{64}$
          $=\pm 8$


  b)
    $(6\,x-5)^2-9=0$
      $(6\,x-5)^2=9$
      $(6\,x-5)=\sqrt{9}$
      $(6\,x-5)=\pm 3$
      $6\,x=\pm 3+5$
      $x=\dfrac{\pm 3+5}{6}$
          $x=\left\{\begin{matrix}\dfrac{3+5}{6}=\dfrac{4}{3}\\ \vee \\ \dfrac{-3+5}{6}=\dfrac{1}{3}\\ \end{matrix}\right.$

  c)
    $(5-2\,x)\cdot(3+4\,x)=0$
      $(5-2\,x)\cdot(3+4\,x)=0 \Rightarrow \left\{\begin{matrix} 5-2\,x=0 \Rightarrow 5=2\,x \Rightarrow x=\frac{5}{2}\\ \vee \\ 3+4\,x=0 \Rightarrow 3=-4\,x \Rightarrow x=-\frac{3}{4} \end{matrix} \right.$

  d) 
    $4\,x^2+16\,x=0$
      $4\,x \cdot \big(x+4\big)=0 \Rightarrow \left\{\begin{matrix} 4\,x=0 \Rightarrow x=0 \\ \vee \\ x+4=0 \Rightarrow x=-4 \end{matrix} \right.$

  e)
    $x^2+3\,x-10=0$   ( equació polinòmica de 2n grau completa )
      coeficients: $a=1$, $b=3$ i $c=-10$
      discriminant: $\Delta=b^2-4\,a\,c=49 \succ 0 \Rightarrow$   la solució consta de dos valors diferents:

        $x=\dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2\,a}$

          $x=\dfrac{-3 \pm 7}{2\,a}$

          $x=\left\{\begin{matrix} \dfrac{-3+7}{2}=2 \\ \\ \dfrac{-3-7}{2}=-5\end{matrix} \right.$

  f)
    $x^2+1=0$
        $x^2=-1$
        $x=\sqrt{-1} \notin \mathbb{R}$     No hi ha cap nombre real com a solució de l'equació.

  g)
    $x^2+x+1=0$   ( equació polinòmica de 2n grau completa )
      coeficients: $a=1$, $b=1$ i $c=1$
      discriminant: $\Delta=b^2-4\,a\,c=-3 \prec 0 \Rightarrow \sqrt{-3} \notin \mathbb{R}$
llavors
        $x=\dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2\,a} = \dfrac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2 \cdot 1 } \notin \mathbb{R}$
és a dir, no hi ha cap nombre real com a solució de l'equació.


  h)
    $x^2-6\,x+9=0$   ( equació polinòmica de 2n grau completa )
      coeficients: $a=1$, $b=-6$ i $c=9$
      discriminant: $\Delta=b^2-4\,a\,c=0 \Rightarrow$   hi ha un sol valor com a solució, amb multiplicitat igual a $2$.

Aplicant el procediment rutinari,
        $x=\dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2\,a}$

        $x=\dfrac{-(-6) \pm \sqrt{0}}{2\cdot 1}$

            $=\dfrac{-(-6) \pm 0}{2\cdot 1}$

            $=\dfrac{6}{2}$

            $=3$   ( multiplicitat dos )

  i)
Aquesta equació,
    $x^2=x^2+1$
és incompatible (no té solució), atès que, cancel·lant els termes de 2n grau d'ambdós membres (simplificant l'equació), arribem a una contradicció
en efecte
    $x^2-x^2=x^2-x^2+1$
és a dir
    $0=1$

  j)
L'equació
    $x^2+2\,x+1=(x+1)^2$
és una equació trivial, atès que, si desenvolupem el binomi al quadrat del 2n membre ens trobem amb una expressió idèntica a la del primer membre
    $x^2+2\,x+1=x^2+2\,x+1 \quad \quad (1)$
( Comentari: per aquesta raó, aquests tipus d'igualtats algèbriques també s'anomenen identitats )
Simplificant, doncs, els termes semblants de (1), trobem
$0\cdot x^2+0\cdot x + 0 = 0$
per tant, tots els nombres són solució de l'equació.

$\square$

[nota del autor]

Ecuaciones de segundo grado ...

Enunciado:
Resolver la siguiente ecuación polinómica de segundo grado
            $x^2+5\,x+6=0$
sin hacer uso de la fórmula
           
$a\,x^2+b\,x+c=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4\,a\,c}}{2\,a}$

Solución:
    $x^2+5\,x+6=0$
Teniendo en cuenta la identidad notable
      $(p+q)^2=p^2+2\,pq+q^2$
podemos expresar el primer miembro de la ecuación de la forma
        $\bigg(x+\dfrac{5}{2}\bigg)^2 - \dfrac{25}{4}+6$
con lo cual podemos escribirla de la forma

    $\bigg(x+\dfrac{5}{2}\bigg)^2 - \dfrac{25}{4}+6=0$

así, tan sol es necesario deshacer el cuadrado del binomio
      $\bigg(x+\dfrac{5}{2}\bigg)^2=\dfrac{25}{4}-6$
y despejar a continuación la variable
      $x+\dfrac{5}{2}=\sqrt{\dfrac{1}{4}}$

      $x+\dfrac{5}{2}=\pm \dfrac{1}{2}$

      $x=-\dfrac{5}{2}\pm \dfrac{1}{2}$

      $x=\dfrac{-5 \pm 1}{2}$

      $x=\left\{\begin{matrix}\dfrac{-5+1}{2}=-2 \\ \\\dfrac{-5-1}{2}=-3 \\ \end{matrix}\right.$

$\square$

[nota del autor]

Si nos da la siguiente información acerca de las raíces de una ecuación de segundo grado ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Sabent que una equació de 2n grau té dos valors diferents com a solució, $r_1$ i $r_2$, que la suma d'aquests dos nombres és igual a $8$, que el seu producte és igual $12$, i que el coeficient del terme de 2n grau és $1$, escriviu l'equació en forma general.

Solució:
Donada l'equació general de 2n grau $a\,x^2+b\,x+c=0$ amb solució
  $x=\left\{\begin{matrix}r_1\\ \text{o bé} \\r_2\end{matrix}\right.$
es compleix que (propietat)
    $r_1+r_2=-b$
i
    $r_{1}\cdot r_{2}=c$
Per tant, com que $b=-8$   i   $c=12$, y tenint en compte que $a=1$, deduïm que l'equació general $a\,x^2+b\,x+c=0$ es concreta així
    $x^2+(-8)\,x+12=0$
és a dir
    $x^2-8\,x+12=0$
$\square$

[nota del autor]

Estudiar la siguiente ecuación de segundo grado. ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Sense resoldre l'equació, expliqueu la raó per la qual no és possible trobar cap nombre real que sigui solució de l'equació $x^2+\,x+2=0$.

Solució:
Els valors dels coeficients de l'equació són: $a=1$, $b=1$ i $c=2$. Llavors, el valor del discriminant de l'equació $\Delta=b^2-4ac$ és igual a $1^2-4 \cdot 1 \cdot 2=-7$, que és més petit que zero, per tant $\sqrt{\Delta}$ no és un nombre real, raó per la qual no és possible trobar nombres reals com a solució de l'equació.
$\square$

[nota del autor]