Processing math: 100%

domingo, 26 de abril de 2015

Resolver el siguiente problema, planteando un sistema de ecuaciones ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Dos nombres enters són tals que en multiplicar l'un per l'altre s'obté -22, i, en fer la divisió euclidiana del més gran (en valor absolut) entre el més petit (en valor absolut) s'obté -6 de quocient i 1 de reste. De quins nombres es tracta ?

Solució:
Anomenem m i n als dos nombres enters que, segons l'enunciat, \left|m\right| és més gran que \left|n\right|; llavors, en fer la divisió m \div n tenim que, pel teorema de la divisió euclidiana ( " dividend = divisor x quocient més residu " ), i atenent la informació que se'ns dóna sobre el producte de tots dos, podrem escriure
      \left.\begin{matrix}m=-6\,n+1 \\ \\m\cdot n=-22 \\ \end{matrix}\right\}
Substituint l'expressió de m del segon membre de la primera equació en la segona arribem a una equació amb una sola incògnita:
    n\,(1-6n)=-22
és a dir
    n\,(6n-1)=22
que és equivalent a
    6\,n^2-n-22=0
equació de 2n grau completa que dóna com a solució
    n=\dfrac{-6\pm \left|\sqrt{6^2-4\cdot 6 \cdot 22}\right|}{2\cdot 6}
d'on
    n=\left\{\begin{matrix} -\dfrac{11}{6} & \\ 6 & \end{matrix}\right.
El segon valor és pertinent; el primer, però, no (no és un nombre enter). Llavors,
si n=2, substituint a la primera equació trobem el valor per a l'altre nombre: m=-11
\square

[nota del autor]

No hay comentarios:

Publicar un comentario

Gracias por tus comentarios