Resolviendo ecuaciones bicuadradas

ENUNCIADO. Resolver la ecuación $$9\,x^4-37\,x^2+4=0$$

SOLUCIÓN. Reconocemos en la ecuación pedida un e. bicuadrada, que puede escribirse de la forma Resolver la ecuación $$9\,(x^2)^2-37\,x^2+4=0$$ lo cual nos lleva a cambiar $$x^2 \quad \text{por}\quad t$$ con la cual la ecuación original se transforma en una ecuación cuadrática, que sabemos resolver $$9\,t^2-37\,t+4=0$$ Así tenemos que
$$t=\dfrac{-(-37)\pm \sqrt{(-37)^2-4\cdot 9 \cdot 4}}{2\cdot 9}=\dfrac{37\pm 35}{18}=\left\{\begin{matrix}4\\ \\ \dfrac{1}{9}\end{matrix}\right.$$ Entonces:
    Si $t=4$, $x^2=4$, luego $x=\sqrt{4}=\pm 2$
    Si $t=\dfrac{1}{9}$, $x^2=\dfrac{1}{9}$, luego $x=\sqrt{\dfrac{1}{9}}=\pm \dfrac{1}{3}$
En resumidas cuentas, la solución viene dada por el conjunto de valores: $$\{-2\,,\,-\dfrac{1}{3}\,,\,\dfrac{1}{3}\,,\,2\}$$
$\square$

Resolviendo ecuaciones bicuadradas

ENUNCIADO. Resolver la ecuación $$x^4-5x^2+4=0$$

SOLUCIÓN. La ecuación pedida es bicuadrada, ya que
podemos escribirla de la forma $$(x^2)^2-5x^2+4=0$$
y, por tanto, podemos transformarla en una ecuación cuadrática realizando el cambio $$t=x^2$$, con lo que nos queda $$t^2-5t+4=0 \Leftrightarrow t=\dfrac{-(-5)\pm \sqrt{(-5)^2-4\cdot 1 \cdot 4}}{2\cdot 1}=\dfrac{5\pm 3}{2}=\left\{\begin{matrix}4\\ \\1\end{matrix}\right.$$ Procedemos ahora a deshacer la transformación realizada. Como $t=x^2$, entonces $x=\sqrt{t}$. Y, por consiguiente, tenemos que de $t=4$ se desprende que $x=\sqrt{4}=\left\{\begin{matrix}-2 \\ \\2\end{matrix}\right.$; y, si $t=1$, $x=\sqrt{1}=\left\{\begin{matrix}-1 \\ \\1\end{matrix}\right.$
Por lo tanto, la solución viene dada por el conjunto $$\{-2,-1,1,2\}$$
$\square$

Resolviendo ecuaciones bicuadradas

ENUNCIADO. Resuélvase la siguiente ecuación polinómica $$x^4-13\,x^2+36=0$$

SOLUCIÓN. A pesar de que el polinomio del primer miembro es de grado $4$, sus términos tienen grados respectivos $4$, $2$ y $0$; y siendo el segundo miembro cero, la ecuación se conoce con el nombre de bicuadrada -- ya que puede expresarse de la siguiente forma $$(x^2)^2-13\,x^2+36=0$$ -- con lo que mediante la transformación $t=x^2$, llegamos a una ecuación cuadrática ( en la variable $t$ ) que sí sabemos resolver. Después de resolverla, y a partir de los valores obtenidos para $t$, tendremos que deshacer la transformación para calcular los valores de $x$ que son solución de la ecuación original.

Así, pues, tenemos que $$t^2-13t+36=0\Leftrightarrow t=\dfrac{-(-13)\pm \sqrt{(-13)^2-4\cdot 1 \cdot 36}}{2\cdot 1}=\sqrt{13 \pm 5}{2}=\left\{\begin{matrix}4\\\\9\end{matrix}\right.$$ Entonces, deshaciendo la transformación, $x=\sqrt{t}$; con lo cual, si $t=4$, $x=\sqrt{4}=\pm 2$. Y si $t=9$, $x=\sqrt{9}=\pm 3$. Por consiguiente, la solución de la ecuación pedida viene dada por el conjunto de valores $$\{-3,-2,2,3\}$$
$\square$

Resolviendo ecuaciones bicuadradas

ENUNCIADO. Resuélvase la siguiente ecuación polinómica $$x^4-13\,x^2+36=0$$

SOLUCIÓN. A pesar de la dificultad que pueda suponer el tener que resolver una ecuación con un polinomio de grado $4$ en el primer miembro y cero en el segundo miembro, sus términos de dicho polinomio tienen grados respectivos $4$, $2$ y $0$ ( la ecuación se conoce con el nombre de bicuadrada ) y el proceso de resolución se torna bastante sencillo tal y como vamos a ver enseguida. En efecto, la ecuación puede expresarse de la siguiente forma $$(x^2)^2-13\,x^2+36=0$$, por lo que, mediante la transformación $t=x^2$, llegamos a una ecuación cuadrática ( en la variable $t$ ) que sí sabemos resolver. Después de resolverla, y a partir de los valores obtenidos para $t$, tendremos que deshacer la transformación para calcular los valores de $x$ que son solución de la ecuación original.

Así, pues, tenemos que $$t^2-13t+36=0\Leftrightarrow t=\dfrac{-(-13)\pm \sqrt{(-13)^2-4\cdot 1 \cdot 36}}{2\cdot 1}=\dfrac{13\pm 5}{2}=\left\{\begin{matrix}9\\\\ 4\end{matrix}\right.$$ Procedemos ahora a deshacer el cambio $t=x^2$. Si $t=9$, entonces $x=\sqrt{9}=\pm 3$; y, si $t=4$, entonces $x=\sqrt{4}=\pm 2$.

Concluimos pues que la solución de la ecuación pedida viene dada por el siguiente conjunto de valores $\{-4,-2,2,4\}$
$\square$

Resolver la siguiente ecuación bicuadrada

ENUNCIADO. Resolver la ecuación $$x^4+3x^2-10=0$$

SOLUCIÓN.

Resolver las siguientes ecuaciones

ENUNCIADO. Resolver las siguientes ecuaciones:
a) $\sqrt{x-1}+1=x$
b) $x^4-5x^2-36=0$

SOLUCIÓN.
a)
$\sqrt{x-1}+1=x$
  $\sqrt{x-1}=x-1$
    $(\sqrt{x-1} )^2=(x-1)^2$
      $x-1=(x-1)^2$     (1)
        $(x-1)^2-(x-1)=0$
          $(x-1)\left((x-1)-1\right)=0$
            $(x-1)(x-2)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x-1=0 \Leftrightarrow x=1
\\
\text{ó}
\\
x-2=0 \Leftrightarrow x=2
\end{matrix}\right.$

NOTA: Otra forma de proceder, a partir de (1), es la siguiente
      $x-1=(x-1)^2$
        $x-1=x^2-2x+1$
          $0=x^2-2x-x+1+1$
            $0=x^2-3x+2$
              $x=\dfrac{-(-3)\pm \sqrt{(-3)^2-4\cdot 1\cdot 2}}{2 \cdot 1}=\dfrac{3\pm 1}{2}=\left\{\begin{matrix}
2
\\
\text{ó}
\\
1
\end{matrix}\right.$
Concluyendo. La solución de la ecuación pedida es viene dada por el conjunto de números reales $\{1\,,\,2\}$

b)
Como $x^4-5x^2-36=0$ puede escribirse de la forma $(x^2)^2-5x^2-36=0$, llamando $t$ a $x^2$, la ecuación dada se transforma en la ecuación de segundo grado $t^2-5t^2-36=0$; resolviéndola: $$t=\dfrac{-(-5)\pm \sqrt{(-5)^2 -4 \cdot 1 \cdot (-36)}}{2\cdot 1}=\dfrac{5\pm \sqrt{169}}{2}=\dfrac{5\pm 13}{2}=\left\{\begin{matrix}
9
\\
\text{ó}
\\
-4
\end{matrix}\right.$$
Finalmente, por ser $x^2=t$ tenemos que $x=\sqrt{t}$, luego encontramos los valores pedidos de $x$ razonando de la siguiente manera:
    Si $t=9$, $x=\sqrt{9}=\pm 3 $
    Si $t=-4$, $x=\sqrt{-4} \notin \mathbb{R}$
Concluimos, pues, que la solución de la ecuación pedida es viene dada por el conjunto de números reales $\{-3\,,\,3\}$

$\square$

Ecuaciones bicuadradas

ENUNCIADO. Resolver la siguiente ecuación $$x^4-5x^2+4=0$$

SOLUCIÓN.
Teniendo en cuenta que $x^4-5x^2+4=0$ puede escribirse de la forma $(x^2)^2-5x^2+4=0$, llamando $t$ a $x^2$, la ecuación dada se transforma en la ecuación de segundo grado $t^2-5t^2+4=0$; resolviéndola: $$t=\dfrac{-(-5)\pm \sqrt{(-5)^2 -4 \cdot 1 \cdot (4)}}{2\cdot 1}=\dfrac{5\pm \sqrt{9}}{2}=\dfrac{5\pm 3}{2}=\left\{\begin{matrix}
4
\\
\text{ó}
\\
1
\end{matrix}\right.$$
Finalmente, por ser $x^2=t$ tenemos que $x=\sqrt{t}$, luego encontramos los valores pedidos de $x$ razonando de la siguiente manera:
    Si $t=4$, $x=\sqrt{4}=\pm 2 $
    Si $t=1$, $x=\sqrt{1}=\pm 1$
Con lo cual, la solución de la ecuación pedida es viene dada por el conjunto de números reales $\{-2\,,\,-1\,,\,1\,,\,2\}$

$\square$