Un ejercicio de resolución de ecuaciones con radicales

ENUNCIADO. Resuélvase la siguiente ecuación $$\sqrt{x}+2=x$$

SOLUCIÓN. La ecuación tiene un término irracional, pero podemos transformarla en una ecuación polinómica:
$\sqrt{x}+2=x$
  $\sqrt{x}=x-2$
    $\left(x^{\frac{1}{2}}\right)^2=(x-2)^2$
      $x^{\frac{1}{2}\cdot 2}=(x-2)^2$
        $x^{\frac{2}{2}}=(x-2)^2$
          $x^{1}=(x-2)^2$
            $x=(x-2)^2$
              $x=x^2-4x+4$
                $0=x^2-5x+4 \Leftrightarrow x=\dfrac{-(-5)\pm \sqrt{(-5)^2-4\cdot \cdot 4}}{2\cdot 1}=\dfrac{5\pm 3}{2}=\left\{\begin{matrix}4\\\\1\end{matrix}\right.$
$\square$

Resolver las siguientes ecuaciones

ENUNCIADO. Resolver las siguientes ecuaciones:
a) $\sqrt{x-1}+1=x$
b) $x^4-5x^2-36=0$

SOLUCIÓN.
a)
$\sqrt{x-1}+1=x$
  $\sqrt{x-1}=x-1$
    $(\sqrt{x-1} )^2=(x-1)^2$
      $x-1=(x-1)^2$     (1)
        $(x-1)^2-(x-1)=0$
          $(x-1)\left((x-1)-1\right)=0$
            $(x-1)(x-2)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x-1=0 \Leftrightarrow x=1
\\
\text{ó}
\\
x-2=0 \Leftrightarrow x=2
\end{matrix}\right.$

NOTA: Otra forma de proceder, a partir de (1), es la siguiente
      $x-1=(x-1)^2$
        $x-1=x^2-2x+1$
          $0=x^2-2x-x+1+1$
            $0=x^2-3x+2$
              $x=\dfrac{-(-3)\pm \sqrt{(-3)^2-4\cdot 1\cdot 2}}{2 \cdot 1}=\dfrac{3\pm 1}{2}=\left\{\begin{matrix}
2
\\
\text{ó}
\\
1
\end{matrix}\right.$
Concluyendo. La solución de la ecuación pedida es viene dada por el conjunto de números reales $\{1\,,\,2\}$

b)
Como $x^4-5x^2-36=0$ puede escribirse de la forma $(x^2)^2-5x^2-36=0$, llamando $t$ a $x^2$, la ecuación dada se transforma en la ecuación de segundo grado $t^2-5t^2-36=0$; resolviéndola: $$t=\dfrac{-(-5)\pm \sqrt{(-5)^2 -4 \cdot 1 \cdot (-36)}}{2\cdot 1}=\dfrac{5\pm \sqrt{169}}{2}=\dfrac{5\pm 13}{2}=\left\{\begin{matrix}
9
\\
\text{ó}
\\
-4
\end{matrix}\right.$$
Finalmente, por ser $x^2=t$ tenemos que $x=\sqrt{t}$, luego encontramos los valores pedidos de $x$ razonando de la siguiente manera:
    Si $t=9$, $x=\sqrt{9}=\pm 3 $
    Si $t=-4$, $x=\sqrt{-4} \notin \mathbb{R}$
Concluimos, pues, que la solución de la ecuación pedida es viene dada por el conjunto de números reales $\{-3\,,\,3\}$

$\square$