Càlcul del nombre de peces que compón el joc del dòmino

Tothom hi ha jugat. Abans de pensar a classificar el problema dins d'un tipus combinatori, posem les peces tal com mostra la figura de sota. La suma del nombre de peces fila a fila ens dóna la solució, 28.



És clar que només cal que sumem el nombre de peces que hi ha a cadas fila (suma dels termes de la successió aritmètica {1,2,3,4,5,6,7}:
                1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 7(7+1)/2 = 28 peces. Això no presenta cap dificultat. Si imaginem un dòmino on el nombre més gran que aparegués en alguna de les dues meitats fos 100 hi hauria d'haver
                1+2+3+...+99+100
                100(100+1)/2 = 5050
Adoneu-vos que fem servir el fet que estem sumant una successió aritmètida de diferència igual a 1.

Una observació:
Tots els nombres suma que venen d'una disposició triangular com aquesta s'anomenen precisament nombres triangulars, és a dir, tot nombre triangular t es pot expressar de la forma n(n+1)/2

Mans a l'obra amb les combinacions ! ....
Ara sí, com plategem el problema per la via de la combinatòria ? Identifiquem primer el tipus de problema. Importa l'ordre dels objectes a ordenar ? Aquesta és una pregunta clau ! Què són els objectes i què són els llocs on han d'anar posats ?

Els objectes són cadascuna de les dues meitats de les fitxes, les quals s'han d'escollir per assignar als 7 nombres {0,1,2,3,...,6}, que fan el paper de 'llocs'. És clar que no importa l'ordre, ja que la peça [x|y] és equivalent a la peça [y|x], per tant el problema és de combinacions, no pas de variacions. Ara bé, no és un problema de combinacions ordinàries perquè es poden donar repeticions; així, per exemple, la meitat esquerra la podem escollir repetidamente per a tots i cadascún del nombres. És, doncs, un problema de combinacions amb repetició, de $s$ objectes agafats de $t$ en $t$, que podem expressar de la forma $$CR_{s,t}=\displaystyle \binom{s+t-1}{s}=\binom{s+t-1}{t-1}$$. En aquest cas ( del dòmino ), el nombre d'ordenacions possibles - que ja sabem que ha de ser igual a 28, perquè ho he esbrinat sense emprar càlcul combinatori - es pot calcular, segons el mètode combinatori, fent $$CR_{s=2,t=7}=\displaystyle \binom{7+2-1}{2}= 28$$

Com a cursitat, una cosa més: imaginem un joc de dòmino amb xifres del 0 al 100. ¿ Quàntes peces té ?. Emprant el càlcul combinatori ( amb les noves dades: $s=2$, i $t=101$ ), trobem que aquest nombre es igual $$CR_{s=2,t=101}=\displaystyle \binom{2+101-1}{2}= 5151$$

$\square$