Suma de fracciones algebraicas

ENUNCIADO. Realizar la siguiente operación con fracciones algebraicas $$\dfrac{x}{x^2-1}+\dfrac{1}{x-1}$$

SOLUCIÓN. Para efectuar esta suma de estas fracciones, $\dfrac{x}{x^2-1}$ y $\dfrac{1}{x-1}$, debemos reducirlas a común denominador, y, para ello, calcularemos el mínimo común múltiplo de los polinomios de los denominadores -- hacemos algo análogo cuando sumamos fracciones numéricas --; así que, primero, es necesario descomponer dichos polinomios en factores ( polinómicos ) primos.

Para descomponerlos, hay que calcular sus raíces. Las raíces de $x^2-1$ son $-1$ y $1$, ya que $x^2-1=0 \Leftrightarrow x \in \{-1,+1\}$, luego por el teorema del factor, podemos escribir $x^2-1=(x-1)(x+1)$. Por otra parte, el polinomio del denominador de la segunda fracción, $x-1$, es primo ( no admite descomposición ). Hecho ésto, por la regla de los factores, sabemos que el polinomio mínimo común múltiplo es el producto de los factores de base común y no común ( a cada una de las descomposiciones ), tomando de cada uno de ellos el exponente máximo ( igual que hacemos con los números enteros ). Por todo ello, $$\text{m.c.m.}(x^2-1,x-1)=\text{m.c.m.}\left((x-1)(x+1),x-1\right)=(x-1)(x+1)=x^2-1$$

Reduciendo pues las fracciones a común denominador tenemos que la primera fracción, $\dfrac{x}{x^2-1}$ no requiere ninguna transformación, pues su denominador es el propio mínimo común múltiplo. Y la segunda fracción $\dfrac{1}{x-1}$, es equivalente a $\dfrac{(x+1)}{(x-1)(x+1)}$, esto es, es equivalente a $\dfrac{(x+1)}{x^2-1}$.

Ahora ya podemos proceder a realizar la suma,
$\dfrac{x}{x^2-1}+\dfrac{1}{x-1}=$
  $=\dfrac{x}{x^2-1}+\dfrac{x+1}{x^2-1}$
    $=\dfrac{x+(x+1)}{x^-1}$
      $=\dfrac{2x+1}{x^-1}$
y hemos terminado.
$\square$

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones cuyos coeficientes son fraccionarios ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Resoleu el següent sistema d'equacions
      $\left.\begin{matrix}\dfrac{3}{4}\,x+\dfrac{5}{12}\,y=\dfrac{7}{24} \\ \\\dfrac{5}{4}\,x+\dfrac{2}{15}\,y=\dfrac{3}{10} \\ \end{matrix}\right\}$

Solució:
Multiplicant pel mínim comú múltiple dels denominadors dels coeficients fraccionaris de una i altra equació
      $\left.\begin{matrix}24\cdot\dfrac{3}{4}\,x+24\cdot\dfrac{5}{12}\,y=24\cdot\dfrac{7}{24} \\ \\ 60\cdot\dfrac{5}{4}\,x+60 \cdot \dfrac{2}{15}\,y=60\cdot\dfrac{3}{10} \\ \end{matrix}\right\}$
i, simplificant, podem escriure el següent sistema d'equacions equivalents a l'original:
      $\left.\begin{matrix}18\,x+10\,y=7 \\ \\75\,x+8\,y=18 \\ \end{matrix}\right\}$
Resoldrem aquest sistema fent ús del mètode de reducció; per això, podem fer, per exemple, la següent transformació vàlida (combinació entre equacions) [nota]
    $ -\dfrac{75}{18}\,e_1+e_2 \rightarrow e_2$
el podrem escriure de la forma
      $\left.\begin{matrix}18\,x&+&10\,y&=&7 \\ \\&\,&-\dfrac{101}{3}\,y&=&-\dfrac{67}{6} \\ \end{matrix}\right\}$
Simplificant i aïllant la incògnita $y$ de la segona equació arribem a
    $y=\dfrac{-\frac{\;67\;}{6}}{-\frac{\;101\;}{3}}=\dfrac{67}{202}$
I, finalment, substituint en una de les equacions equivalents on figura la incògnita $x$, trobarem el valor que li correspon
aíxí, per exemple, de
    $18\,x+10\,y=7$
arribem a
    $18\,x+10\cdot \dfrac{67}{202}=7$
i, d'aquí, trobem
    $x=\dfrac{7-10\cdot \dfrac{67}{202}}{18}$
que, operant, porta a
    $x=\dfrac{62}{303}$

Comprovació:   Posant els valors obtinguts en una de les equacions originals cal mirar si es verifica la igualtat entre el primer i el segon membre; per exemple, a partir de la primera equació
    $\dfrac{3}{4}\,x+\dfrac{5}{12}\,y=\dfrac{7}{24}$
veiem que
    $\dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{62}{303}+\dfrac{5}{12}\cdot \dfrac{67}{202}$
      $=\dfrac{31}{202}+\dfrac{335}{2424}$
      $=\ldots=\dfrac{7}{24}$
que, efectivament, coincideix amb el valor del segon membre.
$\square$


Nota:   He fet servir, aquí, el mètode de reducció per la seva eficàcia; no obstant, si ho preferiu, també podeu fer ús dels altres dos mètodes: d'igualació i de substitució, respectivament.

[nota del autor]