Precisión en los cálculos ...

Mètodes d'arrodoniment Mètode d'arrodoniment simètric Aquest és el mètode més senzill d'arrodoniment. Consisteix a augmentar l'última xifra que conservem en una unitat sempre que la següent xifra sigui un '5' o bé una xifra més gran que '5', per contra, quan aquesta és més petita que '5' és manté l'última xifra conservada tal com està. Exemples d'arrodoniment simètric Si no s'indica el contrari, farem servir sempre aquest mètode. Suposem que volem arrodonir a tres xifres significatives $4,6784539 \approx 4,68$ $3,455 \approx 3,46$ $7,34456345 \approx 7,34$ Si la quantitat a arrodonir és un nombre enter, primer cal arrodonir i, tot seguit, substituir per zeros les xifres que no siguin significatives. $5416433 \approx 5420000$ $5415000 \approx 5420000$ $5413126 \approx 5410000$ Mètode d'arrodoniment asimètric Un altre mètode que en la literatura anglosaxona es coneix amb el nom de round-to-even methode (1940) i que es fa servir força en ciències experimentals consisteix a fer servir un criteri una mica més acurat: Cal augmentar l'última xifra conservada sempre que la següent sigui superior a '5'; o bé, si aquesta és igual a '5', i a la seva dreta no hi cap altra xifra, sempre que l'última xifra a mostrar ocupi un lloc senar. Cal deixar invariant l'última xifra a conservar i menysprear la resta de la part decimal si la primera xifra (d'aquesta part a menysprear) és inferior a '5'; o bé si, sent aquesta justament un '5' i no havent-hi a la seva dreta cap altra xifra, l'última xifra a mostrar ocupi un lloc parell. Exemples d'arrodoniment asimètric Únicament farem servir aquest mètode si se'ns demana expressament. Suposem que volem arrodonir a tres xifres significatives $6,126 \approx 6,13$ $6,105 \approx 6,10$ $6,14500001 \approx 6,14$ En els següents exemples, arrodonirem a quatre xifres significatives: $9,0024 \approx 9,002$ $3,1266 \approx 3,127$ $7,1845 \approx 7,185$ $8,724500001 \approx 8,725$ Si la quantitat a arrodonir és un nombre enter, cal arrodonir i substituir per zeros les xifres que no siguin significatives. En els següents exemples, arrodonirem (de forma asimètrica) quantitats que no tenen part decimal, mostrant-les amb tres xifres significatives: $5416433 \approx 5420000$ $5425000 \approx 5430000$ $5425001 \approx 5430000$ $5413126 \approx 5410000$ Marge d'error màxim que afecta a una quantitat aproximada per arrodoniment Anomenem fita d'error absolut a l'error absolut més gran que es dóna, quan arrodonim una quantitat. Com a valor de la fita d'error absolut en un arrodoniment se sol prendre mitja unitat de l'ordre de l'última xifra de la quantitat arrodonida. Això garanteix que totes les xifres amb què mostrarem el resultat de l'aproximació siguin xifres significatives correctes/fiables 1 Exemples: Com a resultat d'arrodonir el nombre 45,654 a quatre xifres significatives, escriurem $45,65$, y trobem que l'error absolut es $\left| 45,654-45,65 \right| = 0,004 \prec 0,005 $; per tant prenderm com a fita d'error absoluto $\Delta = 0,005$, és a dir, $\Delta=5 \cdot 10^{-3} $, que como es pot veure es mitja unitad de l'ordre de l'última xifra del resultat de l'arrodoniment ( l'ordre de la xifra '5' es $10^{-2}$ ): $\dfrac{1}{2}\cdot 10^{-2}$. Es a dir, si l'aproximació del nombre $45,654$ es, per exemple $45,65\square$, volem dir que per garantir que les cuatre primeres xifres significatives siguin correctes/fiables s'ha de complir que $45,654 = 45,65\square \pm 0,0005$; es a dir, podem afirmar que $45,654 \in ( 45,65\square-0,0005\,,\,45,65\square+0,0005)=(45,648\,\,45,655)$, éssent la cinquena xifra, $\square$, dubtosa; així, per exemple, si $\square=7$, es evident que l'interval d'incertesa es ara $I=(45,652\,,\,45,662)$, i, per tant $45,65 \notin I$, amb la qual cosa '7' ha de ser un xifra no-correcta. Com a resultat d'arrodonir el nombre 567942 a dues xifres significatives escriurem: $570000$. Com que l'error asbsolut comès es $\left| 567942-570000 \right|= 2058 \prec 5000$, prenem com a fita d'error absolut $\Delta = 5\cdot 10^3$, que, com es pot veure es mitja unitat de l'ordre de l'última xifra ( l'ordre de la xifra '7' es $10^4$ ) de la quantitat aproximada: $\dfrac{1}{2} \cdot 10^4$ Expressió del resultat de les operacions d'un càlcul Quan fem operacions aritmètiques a partir d'un conjunt de dades que tenen una precisió limitada, no pas totes les xifres que s'obtenen són significatives; caldrà donar el resultat final del càlcul amb la mateixa precisió que la de la dada que menys menys precisa. Concretament, pel que fa a les operacions bàsiques quan es treballa amb nombres afectats d'errors caldrà tenir en compte que el resultat final l'haurem d'adequar d'acord a les següents normes: Si les operacions són sumes (o restes), el nombre de xifres significatives a la dreta de la coma decimal no pot ser més gran que el del sumand menys precís. Exemples: $78,5 + 1,24 = 79,74 \approx 79,7$ (el sumand menys precís és 78,5 ja que només té una x.s. a la dreta de la coma, per tant el resultat no ha de tenir més d'una xifra significativa a la dreta de la coma decimal) $57643 +2,6 = 57645,6 \approx 57646$ (el sumand menys precís és la quantitat entera, per tant el resultat no pot tenir decimals). Si les operacions són multiplicacions (o bé divisions), la precisió del resultat (el nombre de xifres significatives) no pot superar la del factor menys precís. Exemples: $ 78,5 · 1,24 = 97,34 \approx 79,3$ (1,24 té tres x.s. i 78,5 també en té tres) $764,894/2,6 = 294,19 \approx 290$ (ja que el factor menys precís és 2,6 (2 x.s.) i, doncs, el resultat no en pot tenir més de dues) ---- Una xifra significativa d'una quantitat aproximada o bé d'una quantitat que prové d'una mesura és una xifra significativa correcta si la fita d'error absolut és menor que mitja unitat de l'ordre de la xifra considerada.

[nota del autor]