Determinar la ecuación de la recta del plano que pasa por los puntos ... ( Artículo escrito en catalán )

Donats els punts del pla $A(2,5)$ i $B(-1,-2)$, determineu l'equació de la recta que passa per aquests punts:

a) en forma vectorial
b) en forma paramètrica
c) en forma contínua
d) en forma explícita
e) en forma general

a)    
Considerant un punt qualsevol de la recta $r$
$P(x,y)$
on $x$ i $y$ són les variables (independent i dependent, respectivament)
observem que els vectors
$\overrightarrow{OP}$, $\overrightarrow{OA}$ i $\overrightarrow{AP}$
compleixen que
$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP}$
i com que
$\overrightarrow{OP} \propto \overrightarrow{AB}$
podem trobar un nombre real $\lambda$ tal que
$\overrightarrow{AP}=\lambda \, \overrightarrow{AB}$
i, per tant
s'ha de complir que
$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\lambda \, \overrightarrow{AB}$
que s'anomena equació vectorial de la recta

la qual, escrita en components, es pot posar també així
$(x,y)=(2,5)+\lambda \, (-3,-7)$

b)     De l'equació vectorial de l'apartat anterior en surten dues
equacions escalars (les equacions paramètriques, amb paràmetre: $\lambda$):

$\left.\begin{matrix}x=2-3\,\lambda \\y=5-7\,\lambda\\ \end{matrix}\right\}$

c)     Aïllant el paràmetre $\lambda$ de totes dues equacions
$\left.\begin{matrix}\lambda=\dfrac{x-2}{-3} \\ \\ \lambda=\dfrac{y-5}{-7} \\ \end{matrix}\right\}$

i, igualant els segons membres i simplificant, en surt l'equació en forma contínua

$\dfrac{x-2}{3}=\dfrac{y-5}{7}$

d)     De l'equació anterior, fem els passos d'àlgebra per tal de deixar la variable $y$, tota sola, en el primer membre, i trobem l'expressió de la recta en forma explícita

$y=\dfrac{7}{3}\,x+\dfrac{1}{3}$

(el pendent de la recta $m$ és igual a
$\dfrac{7}{3}$
i l'ordenada a l'origen val
$\dfrac{1}{3}$)

d)     Agrupant tots els termes en un mateix membre i reduint a comú denominador arribem a la forma general ($ax+by+c=1$)

$7x-3y+1=0$

(on $a=7$, $b=-3$, i $c=1$)

$\square$

[nota del autor]