Combinacions amb repetició

Considerant un conjunt de n boles idéntiques, que volem distribuir entre $m$ urnes. Com que les boles son indistigibles, no es rellevant l'ordrem amb què es posen. Quàntes ordenaciones són posibles ?. Aquest problema es perfila com un problema de combinaciones amb repetició.

Als llibres de text trobem que el nombre d'agrupacions o ordenacions ve donat per la fórmula

$\binom{n+m-1}{m-1}=\binom{n+m-1}{n}$

Per demostrar aquesta fórmula, procedirem a pensar una situació anàloga que ens porti a veure d'una manera força clara la situació; farem la següent codificació:

Entendrem els m objectes com una mena de boles idéntiques que han d'anar ubicades en els n espais que queden entre n-1 barres separadores. Les ordenacions de boles i barres permeten intepretar el problema com un de permutacions amb elements repetits, per tant

$\frac{(m+(n-1))!}{(n-1)!\,m!}$

que identifiquem amb el valor del nombre combinatori

$\binom{m+(n-1)}{m}$

o, equivalentment,

$\binom{m+(n-1)}{n-1}$

Exemple:
¿ Perqué hi ha un total de $28$ xifres en el joc del dòmino ? Bé, com que es tracta de distribuir dues marques indistingibles ( meitat esquerra i meitat dreta, respectivament ), $n=2$ ) entre els $m=7$ elements del conjunt $\{0,1,2,3,4,5,6\}$, assemblem aquest problema al de les combinacions amb repetició de $n=2$ "boles" indistingibles" ( marques ) a distribuir en $m=7$ llocs. Llavors, el número d'ordenacions possibles ( el nombre de fitxes ) es igual a $\binom{2+7-1}{2}=28$

$\square$