Resolver las siguientes ecuaciones polinómicas de segundo grado ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Resoleu les següents equacions:
    a)   $5\,x^2-320=0$
    b)   $(6\,x-5)^2-9=0$
    c)   $(5-2\,x)\cdot(3+4\,x)=0$
    d)   $4\,x^2+16\,x=0$
    e)   $x^2+3\,x-10=0$
    f)   $x^2+1=0$
    g)   $x^2+x+1=0$
    h)   $x^2-6\,x+9=0$
    i)   $x^2=x^2+1$
    j)   $x^2+2\,x+1=(x+1)^2$

Solució:

  a)
    $5\,x^2-320=0$
      $5\,x^2=320$
      $x^2=\dfrac{320}{5}$
      $x^2=64$
      $x=\sqrt{64}$
          $=\pm 8$


  b)
    $(6\,x-5)^2-9=0$
      $(6\,x-5)^2=9$
      $(6\,x-5)=\sqrt{9}$
      $(6\,x-5)=\pm 3$
      $6\,x=\pm 3+5$
      $x=\dfrac{\pm 3+5}{6}$
          $x=\left\{\begin{matrix}\dfrac{3+5}{6}=\dfrac{4}{3}\\ \vee \\ \dfrac{-3+5}{6}=\dfrac{1}{3}\\ \end{matrix}\right.$

  c)
    $(5-2\,x)\cdot(3+4\,x)=0$
      $(5-2\,x)\cdot(3+4\,x)=0 \Rightarrow \left\{\begin{matrix} 5-2\,x=0 \Rightarrow 5=2\,x \Rightarrow x=\frac{5}{2}\\ \vee \\ 3+4\,x=0 \Rightarrow 3=-4\,x \Rightarrow x=-\frac{3}{4} \end{matrix} \right.$

  d) 
    $4\,x^2+16\,x=0$
      $4\,x \cdot \big(x+4\big)=0 \Rightarrow \left\{\begin{matrix} 4\,x=0 \Rightarrow x=0 \\ \vee \\ x+4=0 \Rightarrow x=-4 \end{matrix} \right.$

  e)
    $x^2+3\,x-10=0$   ( equació polinòmica de 2n grau completa )
      coeficients: $a=1$, $b=3$ i $c=-10$
      discriminant: $\Delta=b^2-4\,a\,c=49 \succ 0 \Rightarrow$   la solució consta de dos valors diferents:

        $x=\dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2\,a}$

          $x=\dfrac{-3 \pm 7}{2\,a}$

          $x=\left\{\begin{matrix} \dfrac{-3+7}{2}=2 \\ \\ \dfrac{-3-7}{2}=-5\end{matrix} \right.$

  f)
    $x^2+1=0$
        $x^2=-1$
        $x=\sqrt{-1} \notin \mathbb{R}$     No hi ha cap nombre real com a solució de l'equació.

  g)
    $x^2+x+1=0$   ( equació polinòmica de 2n grau completa )
      coeficients: $a=1$, $b=1$ i $c=1$
      discriminant: $\Delta=b^2-4\,a\,c=-3 \prec 0 \Rightarrow \sqrt{-3} \notin \mathbb{R}$
llavors
        $x=\dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2\,a} = \dfrac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2 \cdot 1 } \notin \mathbb{R}$
és a dir, no hi ha cap nombre real com a solució de l'equació.


  h)
    $x^2-6\,x+9=0$   ( equació polinòmica de 2n grau completa )
      coeficients: $a=1$, $b=-6$ i $c=9$
      discriminant: $\Delta=b^2-4\,a\,c=0 \Rightarrow$   hi ha un sol valor com a solució, amb multiplicitat igual a $2$.

Aplicant el procediment rutinari,
        $x=\dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2\,a}$

        $x=\dfrac{-(-6) \pm \sqrt{0}}{2\cdot 1}$

            $=\dfrac{-(-6) \pm 0}{2\cdot 1}$

            $=\dfrac{6}{2}$

            $=3$   ( multiplicitat dos )

  i)
Aquesta equació,
    $x^2=x^2+1$
és incompatible (no té solució), atès que, cancel·lant els termes de 2n grau d'ambdós membres (simplificant l'equació), arribem a una contradicció
en efecte
    $x^2-x^2=x^2-x^2+1$
és a dir
    $0=1$

  j)
L'equació
    $x^2+2\,x+1=(x+1)^2$
és una equació trivial, atès que, si desenvolupem el binomi al quadrat del 2n membre ens trobem amb una expressió idèntica a la del primer membre
    $x^2+2\,x+1=x^2+2\,x+1 \quad \quad (1)$
( Comentari: per aquesta raó, aquests tipus d'igualtats algèbriques també s'anomenen identitats )
Simplificant, doncs, els termes semblants de (1), trobem
$0\cdot x^2+0\cdot x + 0 = 0$
per tant, tots els nombres són solució de l'equació.

$\square$

[nota del autor]