Enunciat:
Resoleu les següents equacions:
a) $5\,x^2-320=0$
b) $(6\,x-5)^2-9=0$
c) $(5-2\,x)\cdot(3+4\,x)=0$
d) $4\,x^2+16\,x=0$
e) $x^2+3\,x-10=0$
f) $x^2+1=0$
g) $x^2+x+1=0$
h) $x^2-6\,x+9=0$
i) $x^2=x^2+1$
j) $x^2+2\,x+1=(x+1)^2$
Solució:
a)
$5\,x^2-320=0$
$5\,x^2=320$
$x^2=\dfrac{320}{5}$
$x^2=64$
$x=\sqrt{64}$
$=\pm 8$
b)
$(6\,x-5)^2-9=0$
$(6\,x-5)^2=9$
$(6\,x-5)=\sqrt{9}$
$(6\,x-5)=\pm 3$
$6\,x=\pm 3+5$
$x=\dfrac{\pm 3+5}{6}$
$x=\left\{\begin{matrix}\dfrac{3+5}{6}=\dfrac{4}{3}\\ \vee \\ \dfrac{-3+5}{6}=\dfrac{1}{3}\\ \end{matrix}\right.$
c)
$(5-2\,x)\cdot(3+4\,x)=0$
$(5-2\,x)\cdot(3+4\,x)=0 \Rightarrow \left\{\begin{matrix} 5-2\,x=0 \Rightarrow 5=2\,x \Rightarrow x=\frac{5}{2}\\ \vee \\ 3+4\,x=0 \Rightarrow 3=-4\,x \Rightarrow x=-\frac{3}{4} \end{matrix} \right.$
d)
$4\,x^2+16\,x=0$
$4\,x \cdot \big(x+4\big)=0 \Rightarrow \left\{\begin{matrix} 4\,x=0 \Rightarrow x=0 \\ \vee \\ x+4=0 \Rightarrow x=-4 \end{matrix} \right.$
e)
$x^2+3\,x-10=0$ ( equació polinòmica de 2n grau completa )
coeficients: $a=1$, $b=3$ i $c=-10$
discriminant: $\Delta=b^2-4\,a\,c=49 \succ 0 \Rightarrow$ la solució consta de dos valors diferents:
$x=\dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2\,a}$
$x=\dfrac{-3 \pm 7}{2\,a}$
$x=\left\{\begin{matrix} \dfrac{-3+7}{2}=2 \\ \\ \dfrac{-3-7}{2}=-5\end{matrix} \right.$
f)
$x^2+1=0$
$x^2=-1$
$x=\sqrt{-1} \notin \mathbb{R}$ No hi ha cap nombre real com a solució de l'equació.
g)
$x^2+x+1=0$ ( equació polinòmica de 2n grau completa )
coeficients: $a=1$, $b=1$ i $c=1$
discriminant: $\Delta=b^2-4\,a\,c=-3 \prec 0 \Rightarrow \sqrt{-3} \notin \mathbb{R}$
llavors
$x=\dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2\,a} = \dfrac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2 \cdot 1 } \notin \mathbb{R}$
és a dir, no hi ha cap nombre real com a solució de l'equació.
h)
$x^2-6\,x+9=0$ ( equació polinòmica de 2n grau completa )
coeficients: $a=1$, $b=-6$ i $c=9$
discriminant: $\Delta=b^2-4\,a\,c=0 \Rightarrow$ hi ha un sol valor com a solució, amb multiplicitat igual a $2$.
Aplicant el procediment rutinari,
$x=\dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2\,a}$
$x=\dfrac{-(-6) \pm \sqrt{0}}{2\cdot 1}$
$=\dfrac{-(-6) \pm 0}{2\cdot 1}$
$=\dfrac{6}{2}$
$=3$ ( multiplicitat dos )
i)
Aquesta equació,
$x^2=x^2+1$
és incompatible (no té solució), atès que, cancel·lant els termes de 2n grau d'ambdós membres (simplificant l'equació), arribem a una contradicció
en efecte
$x^2-x^2=x^2-x^2+1$
és a dir
$0=1$
j)
L'equació
$x^2+2\,x+1=(x+1)^2$
és una equació trivial, atès que, si desenvolupem el binomi al quadrat del 2n membre ens trobem amb una expressió idèntica a la del primer membre
$x^2+2\,x+1=x^2+2\,x+1 \quad \quad (1)$
( Comentari: per aquesta raó, aquests tipus d'igualtats algèbriques també s'anomenen identitats )
Simplificant, doncs, els termes semblants de (1), trobem
$0\cdot x^2+0\cdot x + 0 = 0$
per tant, tots els nombres són solució de l'equació.
$\square$
No hay comentarios:
Publicar un comentario
Gracias por tus comentarios