Sea la sucesión ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Considereu la successió
$\{1 \;,\; \dfrac{1}{3} \;,\; \dfrac{1}{9} \;,\; \dfrac{1}{27} \;,\; \dfrac{1}{81} \;,\; \ldots \}$
Quant val la suma dels infinits termes ?

Resolució:

És fàcil veure que es tracta d'una successió geomètrica de raó $r=3^{-1}$ i primer terme $a_1=1$, per tant, la fórmula de la suma dels $n$ primers termes és igual a

$s_{n}=a_{1}\,\dfrac{r^n-1}{r-1}$

que, amb els valors donats, es concreta de la forma

$s_{n}=3\,\cdot\,\dfrac{1-{3}^{-n}}{2}$

Llavors, la suma dels infinits termes vindrà donada per

$\displaystyle s_{\infty}=\lim_{n \rightarrow \infty}\,3\,\cdot \,\dfrac{1-{3}^{-n}}{2}=\dfrac{3}{2} \, \cdot \, \Big(\lim_{n \rightarrow \infty} \big(1-{3}^{-\infty}\big)\Big)=\dfrac{3}{2}\,\cdot\,\big(1-0\big)=\dfrac{3}{2}$

$\square$

[nota del autor]