Para enviar una carta ... ( Artículo escrito en catalán ).

Enunciat:
Per enviar una carta es necessiten 90 cèntims d'euro en segells. Si disposem de segells de 50, 20 i 10 cèntims d'euro (els posem empegats en fila) de quantes maneres podem franquejar la carta si: a) no tenim en compte l'ordre en què posem els segells; b) si tenim en compte l'odre del segells.

Solució:
a) Si no és rellevant l'odre en què posem els segells, podem fer el recompte de possibilitats relacionant-les una a una:
Per això, anomenem:
    C als segells de 50 cèntims
    V als segells de 20 cèntims
    D als segells de 10 cèntims
Llavors, podem fer el recompte simplement codificant el nombre de segells de cada tipus, atenent a l'odre arbitrari {C|V|D}. Podem comprovar que hi ha 8 possibilitats:
            {C|V|D}
          ========
      $P_1$: {0|0|9}     ( 9 segells de deu cèntims)
      $P_2$: {0|1|7}     ( 1 segell de vint cèntims i 7 de deu cèntims)
      $P_3$: {0|2|5}     ...
      $P_4$: {0|3|3}     ...
      $P_5$: {0|4|1}     ...
      $P_6$: {1|2|0}     ...
      $P_7$: {1|1|2}     ...
      $P_8$: {1|0|4}     ...

b) Si, ara, cal considerar l'odre en què posem els segells en fila, caldrà que entenguem que cal calcular, grup a grup, el nombre de possibilitats tenint en compte que cal resoldre problemes de permutacions amb elements repetits per a cada $P_i$ (i=1,2,...8); i, finalment, pel principi d'addició, sumarem els resultats obtinguts per reunir totes les possibilitats. Obtenint,

    $1+\dfrac{8!}{7! \cdot 1!}+\dfrac{7!}{5! \cdot 2!}+\dfrac{6!}{3! \cdot 3!}+\dfrac{5!}{4! \cdot 1!}+\dfrac{3!}{2! \cdot 1!}+\dfrac{4!}{2! \cdot 1! \cdot 1!}+\dfrac{5!}{4! \cdot 1!}$

      $=75$ possibilitats

$\square$

[nota del autor]

Queremos formar palabras que tengan una longitud de ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Volem formar paraules que tinguin una longitud de $10$ caracters i, per això, triem, a l'atzar, lletres del conjunt $\{m,n,p\}$.
  a) Quantes paraules diferents podem escriure ?
  b) Quantes paraules diferents podem escriure en les quals aparegui exactament: $5$ vegades la lletra ema, $3$ vegades la lletra ena i $2$ vegades la lletra pè ?
  c) Si del conjunt total de paraules diferents en triem una a l'atzar, quant val la probabilitat que tingui exactament: tres vegades la lletra ema i set vegades la lletra pè ?

Solució:
Cal tenir en compte que aquest és un problema d'ordenacions en què l'ordre és rellevant. Llavors,
  a)
      $\text{VR}(3,10)=3^{10}=59049 \; \text{paraules}$
  b)
      $\text{PR}(10;5,3,2)=\dfrac{10!}{5!\,3!\,2!}=2520 \; \text{paraules}$
  c)
Pel principi de Laplace, la probabilitat demanada és igual a
                        $\dfrac{\;\;\;\big(\dfrac{10!}{3!\,0!\,7!}\big)\;\;\,}{3^{10}}$
i ( Nota: recordem que $0!=1$ ), fent els càlculs, veiem que és igual a
            $=\dfrac{120}{59049}$
i simplificant
            $=\dfrac{40}{19683}$

            $\approx 0,002 = 0,2 \, \%$

$\square$

[nota del autor]

Determinar el valor de $x$ ( número entero positivo ) que cumple, en cada caso independientemente, las siguientes igualdades: (a) $\binom{x}{2}=45$ (b) $V_{x,2}=12$ (c) $x\,(x-1)\cdot \ldots\cdot2 \cdot 1=24$ [d] $8\,PR_{x+1}^{2,4}=P_x$ [e] $3\,V_{x,2}=10\,C_{x-1,2}$

Enunciado:
Determinar el valor de $x$ ( número entero positivo ) que cumple, en cada caso independientemente, las siguientes igualdades:

(a) $\binom{x}{2}=45$

(b) $V_{x,2}=12$

(c) $x\,(x-1)\cdot \ldots\cdot2 \cdot 1=24$

[d] $8\,PR_{x+1}^{2,4}=P_x$

[e] $3\,V_{x,2}=10\,C_{x-1,2}$

Solución:
(a)
$\binom{x}{2}=45$
  $\dfrac{x!}{(x-2)!\,2!}=45$
    $\dfrac{x\,(x-1)\,(x-2)!}{(x-2)!\,2!}=45$
      $\dfrac{x\,(x-1)}{2!}=45$
        $x\,(x-1)=90$
          $x^2-x-90=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-(-1)\pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot (-90) \cdot 1}}{2 \cdot 1}=\left\{\begin{matrix}\dfrac{1+19}{2}=10 \\ \\\dfrac{1-19}{2}=-9 \\ \end{matrix}\right.$
y tomando el valor positivo: $x=10$

(b)
$V_{x,2}=12$
  $x\,(x-1)=12$
    $x^2-x-12=0$
      $x^2-x-12=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-(-1)\pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot (-12) \cdot 1}}{2 \cdot 1}=\left\{\begin{matrix}\dfrac{1+9}{2}=5 \\ \\\dfrac{1-9}{2}=-4 \\ \end{matrix}\right.$
y tomando el valor positivo: $x=5$

(c)
$x\,(x-1)\cdot \ldots\cdot2 \cdot 1=24$
  $x!=24 \Leftrightarrow x=4$ ya que $4\cdot 3\cdot 2 \cdot 1 =24$

[d]
$8\,PR_{x+1}^{2,4}=P_x$
  $8\cdot \dfrac{(x+1)!}{2!\,4!}=x!$
    $8\cdot \dfrac{(x+1)\,x!}{2\cdot 4 \cdot 3!}=x!$
      $\dfrac{(x+1)}{6}=1$
        $x+1=6$
          $x=5$

[e]
$3\,V_{x,2}=10\,C_{x-1,2}$
  $3x(x-1)=10\cdot \dfrac{(x-1)(x-2)(x-3)!}{2(x-3)!}$
    $3x(x-1)=5(x-1)(x-2)$
      $3x=5(x-2)$
      $2x=10$
        $x=5$

$\square$

[nota del autor]