Intercalar los cinco términos consecutivos de una sucesión geométrica tal que ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:

Intercaleu els cinc termes consecutius d'una successió geomètrica entre els termes de valors: $2$ i $3$.

Resolució:
El terme general d'una successió geomètrica de raó igual a $r$ s'escriu de la forma
$a_n=a_1 \, r^{n-1}$
Tenint en compte que, comptant el primer i l'últim terme (els que venen donats per l'enunciat), intervenen set termes en total, escriurem
$3=2 \, r^{7-1}$
i, d'aquí, podem deduir el valor de $r$

$r= \sqrt[6]{\dfrac{3}{2}}$

que també es pot escriure en forma de potència d'exponent racional

$r= \big(\dfrac{3}{2}\big)^{\frac{1}{6}}$

Llavors, tenint en compte que $a_1=2$

$a_2=r \cdot a_{1}=\ldots=3^{\frac{1}{6}} \cdot 2^{\frac{5}{6}}$

$a_3=r \cdot a_{2}=\ldots=3^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{2}{3}}$

$a_4=r \cdot a_{3}=\ldots=6^{\frac{1}{2}}$

$a_5=r \cdot a_{4}=\ldots=\ldots=3^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{3}}$

$a_6=r \cdot a_{5}=\ldots=\ldots=3^{\frac{5}{6}} \cdot 2^{\frac{1}{6}}$

Observem que, efectivament, $a_7=3$

$a_7=r \cdot a_{6}=\ldots=\ldots=3$

Observació:
Naturalment, també podem calcular els termes fent
$a_2=a_1 \cdot r$
$a_3=a_1 \cdot r^2$
$a_4=a_1 \cdot r^3$
etcètera
$\square$

[nota del autor]