ENUNCIADO. El del ejercicio 8 de la página 299 del libro base ( ligeramente modificado )
Calcula:
a) $V_{8,5}$ ( variaciones ordinarias de 8 objetos tomados en grupos de cinco )
b) $VR_{7,3}$ ( variaciones con repetición de 7 objetos tomados en grupos de tres )
c) $P_6$ ( permutaciones de 6 objetos, esto es, variaciones ordinarias de 6 objetos tomados en grupos de seis )
d) $PC_8$ ( permutaciones circulares de 8 objetos )
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
INDICACIÓN. Lee las páginas 298-299 de la Unidad Didáctica 14 del libro base
SOLUCIÓN.
a) $V_{8,5}=8\cdot 7\cdot 6 \cdot 5 = 1\,680$
b) $VR_{7,3}=7^3= 343$
c) $P_6=6!=6\cdot 5\cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720$
d) $PC_8=(8-1)!=7!=7 \cdot 6\cdot 5\cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 5\,040$
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lunes, 4 de mayo de 2020
jueves, 9 de mayo de 2019
Distribución de un conjunto de lápices de colores entre un conjunto de personas
ENUNCIADO. De cuántas maneras podemos distribuir $5$ lápices ( de distintos colores ) entre $4$ personas
SOLUCIÓN. Denotemos por $P_1,P_2,P_3$ y $P_4$, cada una de las personas entre las que queremos distribuir los lápices $L_1,L_2,L_3,L_4$ y $L_5$. Ello es equivalente a formar "palabras" del tipo:
$\begin{matrix}\ell_1 & \ell_2 & \ell_3 & \ell_4& \ell_5 \\P_1 & P_1 & P_2 & P_4 & P_3\end{matrix}$
cuyo significado es: asignar los lápice $L_1$ y $L_2$ a $P_1$; el lápiz $L_3$ a $P_2$; el lápiz $L_4$ a $P_3$, y el lápiz $L_5$ a $P_4$
$\begin{matrix}\ell_1 & \ell_2 & \ell_3 & \ell_4& \ell_5 \\P_1 & P_1 & P_1 & P_1 & P_4\end{matrix}$
con el siguiente significado: asignar los lápices $L_1$, $L_2$, $L_3$ y $L_4$ a $P_1$, el lápiz $L_5$ a $P_4$ y ningún lápiz ni a $P_2$ ni a $P_3$
... etcétera
Reflexionando sobre ésto, es evidente que importa el orden de asignación (de persona a cada lápiz), luego se trata de un problema de variaciones. Y, al poder repetir la asignación de una misma persona a varios lápices ( dicha persona se queda con tales lápices ), se trata de variaciones con repetición.
Concretamente, tenemos $4$ posibilidades a la hora de elegir la persona que asignaremos al lápiz $L_1$; $4$ posibilidades para asignar una persona al lápiz $L_2$; las mismas para hacer la asignación de persona al lápiz $L_3$, y otras tantas para las asignaciones de persona a los lápices $L_4$ y $L_5$. Por consiguiente, aplicando el principio de independencia de elecciones ( p. multiplicativo ), resulta que el número de maneras de distribuir los lápices es $4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^5$, esto es $VR_{4,5}=4^5=1024$.
NOTA ( Generalización a un número genérico de lápices, $\ell$, y de personas $p$):
$\text{VR}_{p,\ell}=p^{\ell}$ maneras de efectuar la distribución de los $\ell$ lápices entre las $p$ personas.
$\square$
SOLUCIÓN. Denotemos por $P_1,P_2,P_3$ y $P_4$, cada una de las personas entre las que queremos distribuir los lápices $L_1,L_2,L_3,L_4$ y $L_5$. Ello es equivalente a formar "palabras" del tipo:
$\begin{matrix}\ell_1 & \ell_2 & \ell_3 & \ell_4& \ell_5 \\P_1 & P_1 & P_2 & P_4 & P_3\end{matrix}$
cuyo significado es: asignar los lápice $L_1$ y $L_2$ a $P_1$; el lápiz $L_3$ a $P_2$; el lápiz $L_4$ a $P_3$, y el lápiz $L_5$ a $P_4$
$\begin{matrix}\ell_1 & \ell_2 & \ell_3 & \ell_4& \ell_5 \\P_1 & P_1 & P_1 & P_1 & P_4\end{matrix}$
con el siguiente significado: asignar los lápices $L_1$, $L_2$, $L_3$ y $L_4$ a $P_1$, el lápiz $L_5$ a $P_4$ y ningún lápiz ni a $P_2$ ni a $P_3$
... etcétera
Reflexionando sobre ésto, es evidente que importa el orden de asignación (de persona a cada lápiz), luego se trata de un problema de variaciones. Y, al poder repetir la asignación de una misma persona a varios lápices ( dicha persona se queda con tales lápices ), se trata de variaciones con repetición.
Concretamente, tenemos $4$ posibilidades a la hora de elegir la persona que asignaremos al lápiz $L_1$; $4$ posibilidades para asignar una persona al lápiz $L_2$; las mismas para hacer la asignación de persona al lápiz $L_3$, y otras tantas para las asignaciones de persona a los lápices $L_4$ y $L_5$. Por consiguiente, aplicando el principio de independencia de elecciones ( p. multiplicativo ), resulta que el número de maneras de distribuir los lápices es $4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^5$, esto es $VR_{4,5}=4^5=1024$.
NOTA ( Generalización a un número genérico de lápices, $\ell$, y de personas $p$):
$\text{VR}_{p,\ell}=p^{\ell}$ maneras de efectuar la distribución de los $\ell$ lápices entre las $p$ personas.
$\square$
jueves, 8 de junio de 2017
Cálculos rutinarios en combinatoria
ENUNCIADO. Calcular el número entero positivo resultante:\par
a) $C_{12,7}$
b) $VR_{3,4}$
c) $PR_{7}^{2,3,1,1}$ \par
d) $PC_{6}$
e) $P_{6}$
f) $CR_{3,5}$ \par
g) $\binom{8}{7}$
h) $4!$
i) $0!$
SOLUCIÓN.
a) $C_{12,7}=\dfrac{V_{12,7}}{P_7}=\dfrac{12!}{(12-7)!\cdot 7!}=\dfrac{12\cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{6! \cdot 7! }=\dfrac{12\cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 }=792$
b) $VR_{3,4}=3^4=81$
c) $PR_{7}^{2,3,1,1}=\dfrac{7!}{3!\cdot 2! \cdot 1! \cdot 1!}=\dfrac{7\cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3!}{3! \cdot 2 \cdot 1}=\dfrac{7\cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}{2}=420$
d) $PC_{6}=(6-1)!=5!=5\cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$
e) $P_{6}=6!=6 \cdot 5\cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720$
f) $CR_{3,5}=\displaystyle \binom{5+(3-1)}{3-1}=\binom{5+(3-1)}{5}=\binom{7}{5}=\dfrac{7!}{(7-5)!\cdot 5!}=\dfrac{7\cdot 6 \cdot 5!}{2! \cdot 5!}=\dfrac{42}{2}=21$
g) $\displaystyle \binom{8}{7}=\binom{8}{8-7}=\binom{8}{1}=8$
h) $4!=4\cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$
i) $0!=1$
a) $C_{12,7}$
b) $VR_{3,4}$
c) $PR_{7}^{2,3,1,1}$ \par
d) $PC_{6}$
e) $P_{6}$
f) $CR_{3,5}$ \par
g) $\binom{8}{7}$
h) $4!$
i) $0!$
SOLUCIÓN.
a) $C_{12,7}=\dfrac{V_{12,7}}{P_7}=\dfrac{12!}{(12-7)!\cdot 7!}=\dfrac{12\cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{6! \cdot 7! }=\dfrac{12\cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 }=792$
b) $VR_{3,4}=3^4=81$
c) $PR_{7}^{2,3,1,1}=\dfrac{7!}{3!\cdot 2! \cdot 1! \cdot 1!}=\dfrac{7\cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3!}{3! \cdot 2 \cdot 1}=\dfrac{7\cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}{2}=420$
d) $PC_{6}=(6-1)!=5!=5\cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$
e) $P_{6}=6!=6 \cdot 5\cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720$
f) $CR_{3,5}=\displaystyle \binom{5+(3-1)}{3-1}=\binom{5+(3-1)}{5}=\binom{7}{5}=\dfrac{7!}{(7-5)!\cdot 5!}=\dfrac{7\cdot 6 \cdot 5!}{2! \cdot 5!}=\dfrac{42}{2}=21$
g) $\displaystyle \binom{8}{7}=\binom{8}{8-7}=\binom{8}{1}=8$
h) $4!=4\cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$
i) $0!=1$
viernes, 2 de junio de 2017
Distribuyendo lápices
ENUNCIADO.
a) ¿ De cuántas maneras podemos distribuir $5$ lápices distintos ( por ejemplo, cada uno de un color diferente al de los otros ) entre tres personas ( que son perfectamente identificables ) ?
b) Y si los lápices fuesen idénticos, ¿ de cuántas maneras podríamos distribuirlos?
SOLUCIÓN.
a) Si los lápices son distintos es evidente que importa el orden que empleamos al distribuirlos, pues, por ejemplo, no es lo mismo que a Carlos le demos el lápiz ( pongamos que ) rojo y a María el verde, que, a María le demos el rojo y a Carlos el verde; por tanto, se trata de un problema de variaciones. Además, podemos repetir la asignación de persona a la hora de repartir varios lápices; y, en este caso en particular, no hay otro remedio, pues el número de lápices es mayor que el número de personas. Se trata pues de un caso de variaciones con repetición. Supongamos que los colores de los respectivos lápices son: rojo, azul, verde, amarillo y negro. Así, podemos decidir dar el rojo a cualquiera de las tres personas, lo mismo con los otros cuatro lápices, luego por el principio de independencia de elecciones tenemos $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$ posibilidades de reparto, esto es $$VR_{3,5}=3^5=243$$ Podemos decir que -- en general -- de haber $\ell$ lápices distintos, para ser repartidos entre $p$ personas, podríamos llevar a cabo dicho reparto del siguiente números de maneras distintas: $$\displaystyle \text{VR}_{p,\ell}= p^{\ell}$$
b) Si los lápices son idénticos no importa el orden del reparto, con lo cual tendremos un problema de combinaciones ( y no de variaciones ); además, y como en el caso anterior, al poder elegir una misma persona como destinataria de varios lápices ( en el caso que nos ocupa esto es inevitable, pues el número de lápices es mayor que el de personas ), se trata de un problema de combinaciones con repetición $\text{CR}_{3,5}$. Para resolverlo, es muy útil codificar las diversas ordenaciones posibles con los siguientes símbolos: asteriscos '*' para los $5$ lápices y $3-1=2$ barras verticales '|' para separar $3$ compartimentos en los que ubicaremos los asteriscos ( un compartimento para cada persona: A, B y C, y por este orden ). Así, por ejemplo, al escribir $[***|**| ]$ ( los símbolos de los extremos '[' y ']' no tienen ningún papel relevante ) queremos significar que a la persona A le corresponden tres lápices; a la persona B, dos; y, a la persona C, ninguno ( por no haber ningún asterisco en su compartimento ).
De esta forma, para calcular el número de distribuciones/repartos posibles, basta permutar el conjunto de los $5$ asteriscos iguales y las $3-1=2$ barras espaciadoras iguales, lo cual equivale al problema de formar 'palabras' permutando símbolos de dos tipos, de los cuales exactamente $5$ son de un tipo y $3-1=2$ son de otro tipo; obtenemos así $$\dfrac{(5 + (3-1))!}{5!\cdot 3!}=\dfrac{7!}{5!\cdot 2! }=\dfrac{7\cdot 6 }{2}=21 \;\text{posibilidades}$$, lo cual puede expresarse en forma de números combinatorios: $$\displaystyle \binom{5+(3-1)}{3-1}=\binom{5+(3-1)}{5}=21$$ Así, podemos decir que -- en general -- de haber $\ell$ lápices idénticos, para ser repartidos entre $p$ personas, podríamos llevar a cabo dicho reparto del siguiente números de maneras distintas: $$\displaystyle \text{CR}_{p,\ell}=\binom{\ell+(p-1)}{p}=\binom{\ell+(p-1)}{\ell-1}$$, lo cual también puede designarse de la forma $\displaystyle \left(\binom{\ell}{p}\right)$
$\square$
a) ¿ De cuántas maneras podemos distribuir $5$ lápices distintos ( por ejemplo, cada uno de un color diferente al de los otros ) entre tres personas ( que son perfectamente identificables ) ?
b) Y si los lápices fuesen idénticos, ¿ de cuántas maneras podríamos distribuirlos?
SOLUCIÓN.
a) Si los lápices son distintos es evidente que importa el orden que empleamos al distribuirlos, pues, por ejemplo, no es lo mismo que a Carlos le demos el lápiz ( pongamos que ) rojo y a María el verde, que, a María le demos el rojo y a Carlos el verde; por tanto, se trata de un problema de variaciones. Además, podemos repetir la asignación de persona a la hora de repartir varios lápices; y, en este caso en particular, no hay otro remedio, pues el número de lápices es mayor que el número de personas. Se trata pues de un caso de variaciones con repetición. Supongamos que los colores de los respectivos lápices son: rojo, azul, verde, amarillo y negro. Así, podemos decidir dar el rojo a cualquiera de las tres personas, lo mismo con los otros cuatro lápices, luego por el principio de independencia de elecciones tenemos $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$ posibilidades de reparto, esto es $$VR_{3,5}=3^5=243$$ Podemos decir que -- en general -- de haber $\ell$ lápices distintos, para ser repartidos entre $p$ personas, podríamos llevar a cabo dicho reparto del siguiente números de maneras distintas: $$\displaystyle \text{VR}_{p,\ell}= p^{\ell}$$
b) Si los lápices son idénticos no importa el orden del reparto, con lo cual tendremos un problema de combinaciones ( y no de variaciones ); además, y como en el caso anterior, al poder elegir una misma persona como destinataria de varios lápices ( en el caso que nos ocupa esto es inevitable, pues el número de lápices es mayor que el de personas ), se trata de un problema de combinaciones con repetición $\text{CR}_{3,5}$. Para resolverlo, es muy útil codificar las diversas ordenaciones posibles con los siguientes símbolos: asteriscos '*' para los $5$ lápices y $3-1=2$ barras verticales '|' para separar $3$ compartimentos en los que ubicaremos los asteriscos ( un compartimento para cada persona: A, B y C, y por este orden ). Así, por ejemplo, al escribir $[***|**| ]$ ( los símbolos de los extremos '[' y ']' no tienen ningún papel relevante ) queremos significar que a la persona A le corresponden tres lápices; a la persona B, dos; y, a la persona C, ninguno ( por no haber ningún asterisco en su compartimento ).
De esta forma, para calcular el número de distribuciones/repartos posibles, basta permutar el conjunto de los $5$ asteriscos iguales y las $3-1=2$ barras espaciadoras iguales, lo cual equivale al problema de formar 'palabras' permutando símbolos de dos tipos, de los cuales exactamente $5$ son de un tipo y $3-1=2$ son de otro tipo; obtenemos así $$\dfrac{(5 + (3-1))!}{5!\cdot 3!}=\dfrac{7!}{5!\cdot 2! }=\dfrac{7\cdot 6 }{2}=21 \;\text{posibilidades}$$, lo cual puede expresarse en forma de números combinatorios: $$\displaystyle \binom{5+(3-1)}{3-1}=\binom{5+(3-1)}{5}=21$$ Así, podemos decir que -- en general -- de haber $\ell$ lápices idénticos, para ser repartidos entre $p$ personas, podríamos llevar a cabo dicho reparto del siguiente números de maneras distintas: $$\displaystyle \text{CR}_{p,\ell}=\binom{\ell+(p-1)}{p}=\binom{\ell+(p-1)}{\ell-1}$$, lo cual también puede designarse de la forma $\displaystyle \left(\binom{\ell}{p}\right)$
$\square$
martes, 14 de junio de 2016
Ejercicios de combinatoria
ENUNCIADO. De cuántas maneras podemos realizar lo siguiente:
a) Formar una comisión de $4$ personas, elegidas entre un grupo que consta de $6$ personas
b) Sentar a $5$ personas en una fila de $5$ butacas numeradas
c) Elaborar banderas de señales de $3$ franjas verticales con $4$ telas de colores, siendo posible repetir los colores en una bandera
d) Escribir "palabras" con las letras de la palabra ELEMENTAL, de modo que en cada palabra aparezca cada una de las letras y con el mismo número de repeticiones que se dan en la palabra de referencia
e) Distribuir $5$ bolas idénticas entre $4$ urnas
SOLUCIÓN.
a)
En este caso no importa el orden en que elegimos a las personas, luego se trata de un cálculo de combinaciones, y, a no poder repetir la elección de una misma persona ( entre el total de seis personas ) para formar un conjunto ( una comisión ) de cuatro personas es un caso de combinaciones ordinarias de $6$ ( personas ) tomadas en conjuntos de cuatro, luego podemos formar la comisión de $C_{6,4}=\dfrac{V_{6,4}}{P_4}=\displaystyle \binom{6}{4}=15$ maneras distintas.
b)
Importa el orden en que colocamos a las personas, luego se trata de un cálculo de variaciones, y, a no poder repetir la elección de una misma persona para completar la fila es un caso de variaciones ordinarias de $5$ ( personas ) tomadas en conjuntos de cinco, luego se podrán sentar de $V_{5,5}=P_{5}=5!=120$ maneras distintas.
c)
Es evidente que el orden de elección de color al llenar las tres franjas ( pongamos que de izquierda a derecha ) es importante para distinguir una señal de otra, luego se trata de un problema de variaciones; como, además, podemos elegir el mismo color en más de una franja, es un problema de variaciones con repetición de $4$ colores tomados en conjuntos de tres, luego podremos representar $VR_{4,3}=4^3=64$ señales distintas.
d)
Este es un problema en que importa el orden, pues dos palabras con las mismas letras ( y apareciendo cada una el mismo número de veces que en la palabra ELEMENTAL: tres Es, dos Ls, una M, una N, una T y una A ) dispuestas en distinto orden tienen significados distintos, luego es un problema de variaciones. Como, en este caso, deben aparecer todas y cada una de las letras y el mismo número de veces que aparece cada una en la palabra de referencia, se trata de un caso de permutaciones con repetición, esto es, el número de palabras que podemos formar es $PR_{9}^{3,2,1,1,1,1}=\dfrac{9!}{3!\cdot 2! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1!\cdot 1! }=30240$
e)
En esta situación no importa el orden en que escogemos las bolas al ir depositándolas en las urnas, pues no nos importa qué bolas hay en cada urna sino el número de bolas que va a contener cada una de las cuatro urnas, por tanto el problema es de combinaciones; además, podemos poner varias bolas en una misma urna, luego hay que contar con las repeticiones a decidir en qué urnas van las bolas, por lo cual clasificamos el problema como un problema de combinaciones con repetición, en el que se han distribuido $5$ objetos idénticos entre $4$ urnas, luego $\text{CR}_{4,5}:=\displaystyle \binom{5+4-1}{4-1}=\binom{5+4-1}{5}=\dfrac{(5+4-1)!}{5!\cdot (4-1)!} = 56$ maneras distintas de colocar las bolas. Nota: también puede designarse de la forma $\displaystyle \left(\binom{4}{5}\right)$.
$\square$
a) Formar una comisión de $4$ personas, elegidas entre un grupo que consta de $6$ personas
b) Sentar a $5$ personas en una fila de $5$ butacas numeradas
c) Elaborar banderas de señales de $3$ franjas verticales con $4$ telas de colores, siendo posible repetir los colores en una bandera
d) Escribir "palabras" con las letras de la palabra ELEMENTAL, de modo que en cada palabra aparezca cada una de las letras y con el mismo número de repeticiones que se dan en la palabra de referencia
e) Distribuir $5$ bolas idénticas entre $4$ urnas
SOLUCIÓN.
a)
En este caso no importa el orden en que elegimos a las personas, luego se trata de un cálculo de combinaciones, y, a no poder repetir la elección de una misma persona ( entre el total de seis personas ) para formar un conjunto ( una comisión ) de cuatro personas es un caso de combinaciones ordinarias de $6$ ( personas ) tomadas en conjuntos de cuatro, luego podemos formar la comisión de $C_{6,4}=\dfrac{V_{6,4}}{P_4}=\displaystyle \binom{6}{4}=15$ maneras distintas.
b)
Importa el orden en que colocamos a las personas, luego se trata de un cálculo de variaciones, y, a no poder repetir la elección de una misma persona para completar la fila es un caso de variaciones ordinarias de $5$ ( personas ) tomadas en conjuntos de cinco, luego se podrán sentar de $V_{5,5}=P_{5}=5!=120$ maneras distintas.
c)
Es evidente que el orden de elección de color al llenar las tres franjas ( pongamos que de izquierda a derecha ) es importante para distinguir una señal de otra, luego se trata de un problema de variaciones; como, además, podemos elegir el mismo color en más de una franja, es un problema de variaciones con repetición de $4$ colores tomados en conjuntos de tres, luego podremos representar $VR_{4,3}=4^3=64$ señales distintas.
d)
Este es un problema en que importa el orden, pues dos palabras con las mismas letras ( y apareciendo cada una el mismo número de veces que en la palabra ELEMENTAL: tres Es, dos Ls, una M, una N, una T y una A ) dispuestas en distinto orden tienen significados distintos, luego es un problema de variaciones. Como, en este caso, deben aparecer todas y cada una de las letras y el mismo número de veces que aparece cada una en la palabra de referencia, se trata de un caso de permutaciones con repetición, esto es, el número de palabras que podemos formar es $PR_{9}^{3,2,1,1,1,1}=\dfrac{9!}{3!\cdot 2! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1!\cdot 1! }=30240$
e)
En esta situación no importa el orden en que escogemos las bolas al ir depositándolas en las urnas, pues no nos importa qué bolas hay en cada urna sino el número de bolas que va a contener cada una de las cuatro urnas, por tanto el problema es de combinaciones; además, podemos poner varias bolas en una misma urna, luego hay que contar con las repeticiones a decidir en qué urnas van las bolas, por lo cual clasificamos el problema como un problema de combinaciones con repetición, en el que se han distribuido $5$ objetos idénticos entre $4$ urnas, luego $\text{CR}_{4,5}:=\displaystyle \binom{5+4-1}{4-1}=\binom{5+4-1}{5}=\dfrac{(5+4-1)!}{5!\cdot (4-1)!} = 56$ maneras distintas de colocar las bolas. Nota: también puede designarse de la forma $\displaystyle \left(\binom{4}{5}\right)$.
$\square$
miércoles, 6 de mayo de 2015
En un examen de tipo test ... ( Artículo escrito en catalán )
Enunciat:
Un examen tipus test consiteix a respondre 15 qüestions contestant "vertader" o "fals". De quantes maneres es pot contestar ?
Solució:
Es tracta d'un problema en el qual l'ordre amb què anem posant els objectes (les respostes) és, evidentment, rellevant. Llavors, és un problema de variacions. I, atès que, a més a més, els objectes a ordenar (les respostes) es repeteixen en diversos llocs (preguntes), es tracta, concretament, d'un problema de variacions amb repetició. Identificat el tipus de problema, ja podem aplicar el procediment de càlcul que li correspon (tal com s'ha justificat a classe): el nombre de maneres possibles d'emplenar el formulari és igual a
$VR_{2\,,\,15}=2^{15}=32\,768$
$\blacksquare$
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