(a) Ingresamos $6000$ euros en un depósito bancario durante $10$ años, a interés compuesto. La tasa de interés anual es de un $3\,\%$. Los intereses se hacen efectivos al final de cada año. Calcule el valor del capital final. (b) Si el Banco le diera a elegir la frecuencia anual de capitalización de los intereses, ¿ qué elegiría, hacer efectivos ( acumular ) los intereses al final de cada año o bien cada mes dentro de un mismo año ? Razone la respuesta.

Enunciado:
(a) Ingresamos $6000$ euros en un depósito bancario durante $10$ años, a interés compuesto. La tasa de interés anual es de un $3\,\%$. Los intereses se hacen efectivos al final de cada año. Calcule el valor del capital final.
(b) Si el Banco le diera a elegir la frecuencia de capitalización de los intereses, ¿ qué elegiría, hacer efectivos los intereses ( acumulándolos al capital actual ) al final de cada año o bien cada mes dentro de un mismo año ? Razone la respuesta.


Solución:

a)

b)

$\square$

[nota del autor]

(a) Calcule el volumen y el área lateral de un cilindro cuya altura mide $4\,\text{dm}$ y cuya base tiene un área de $4\,\text{dm}^2$ (b) Calcule la longitud de la diagonal de un cubo cuyas aristas tienen una longitud de $3\,\text{dm}$

Enunciado:
(a) Calcule el volumen y el área lateral de un cilindro cuya altura mide $4\,\text{dm}$ y cuya base tiene un área de $4\,\text{dm}^2$
(b) Calcule la longitud de la diagonal de un cubo cuyas aristas tienen una longitud de $3\,\text{dm}$

Solución:

$\square$

[nota del autor]

Sean los puntos del plano $A(1,0)$ y $B(4,3)$. Encuentre una ecuación de la recta que pasa por dichos puntos ¿ Cuál es el valor de la pendiente ? ¿ Cuál es el valor de la ordenada en el origen ?.

Enunciado:
Sean los puntos del plano $A(1,0)$ y $B(4,3)$. Encuentre una ecuación de la recta que pasa por dichos puntos ¿ Cuál es el valor de la pendiente ? ¿ Cuál es el valor de la ordenada en el origen ?.

Solución:

$\square$

[nota del autor]

En una urna hay $1$ bola negra y $2$ bolas blancas. Se extraen dos bolas al azar; una después de la otra, sin devolver a la urna la primera bola extraída antes de extraer la segunda. Se pide: a) Dibuje el diagrama de árbol y diga cuáles son los sucesos que se pueden dar en la realización de dicha experiencia aleatoria. b) Calcule la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean del mismo color c) Calcule la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean de distinto color

Enunciado:
En una urna hay $1$ bola negra y $2$ bolas blancas. Se extraen dos bolas al azar; una después de la otra, sin devolver a la urna la primera bola extraída antes de extraer la segunda. Se pide:
a) Dibuje el diagrama de árbol y diga cuáles son los sucesos que se pueden dar en la realización de dicha experiencia aleatoria.
b) Calcule la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean del mismo color
c) Calcule la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean de distinto color

Solucioón:

a)

b) y c)

$\square$

[nota del autor]

En un estudio estadístico, el número de valores recogidos/medidos de una variable estadística, $X$, es $n=200$. Al dibujar el histograma de frecuencias absolutas acumuladas y trazar la poligonal de frecuencias, observamos que la mediana se encuentra en el intervalo $[30,40)$, cuya frecuencia acumulada es $110$; además, observamos que al intervalo $[20,30)$ le corresponde una frecuencia acumulada igual a $90$.

Enunciado:
En un estudio estadístico, el número de valores recogidos/medidos de una variable estadística, $X$, es $n=200$. Al dibujar el histograma de frecuencias absolutas acumuladas y trazar la poligonal de frecuencias, observamos que la mediana se encuentra en el intervalo $[30,40)$, cuya frecuencia acumulada es $110$; además, observamos que al intervalo $[20,30)$ le corresponde una frecuencia acumulada igual a $90$.

Solución:

$\square$

Calcúlese el valor de la mediana a partir de la configuración de triángulos semejantes que se obtiene al dibujar la poligonal de frecuencias en esta parte del histograma de frecuencias acumuladas.

[nota del autor]

Calcule: a) $V_{7,4}$ b) $VR_{2,6}$ c) $PR_{10}^{4,3,2,1}$ d) $P_{6}$ e) $C_{4,3}$ f) $C_{5,0}+C_{5,1}+C_{5,2}+C_{5,3}+C_{5,4}+C_{5,5}$

Enunciado:
Calcule:
a) $V_{7,4}$
b) $VR_{2,6}$
c) $PR_{10}^{4,3,2,1}$
d) $P_{6}$
e) $C_{4,3}$
f) $C_{5,0}+C_{5,1}+C_{5,2}+C_{5,3}+C_{5,4}+C_{5,5}$

Soluciones:

$\square$

[nota del autor]

Resuelva las siguientes ecuaciones ...

Enunciado:
Resuelva las siguientes ecuaciones:

a) $\dfrac{1+x}{2}-\dfrac{1-x}{5}=\dfrac{1+2\,x}{15}$

b) $2\,x^2+5\,x-3=0$

c)
$\left\{\begin{matrix}
2\,x & - &3\, y &=5\\
3\,x & + & 2\,\,y &=1\\
\end{matrix}\right.$

Soluciones:

a) y b)

c)

$\square$

[nota del autor]

Sea un número entero positivo $m$, ¿ de cuántas maneras podremos escribirlo como suma de $n$ números enteros (no negativos) menores que $m$, esto es, de la forma $m=c_1+c_2+\ldots+c_n$ donde $n \le m$ ?.

Enunciado:
Sea un número entero positivo $m$, ¿ de cuántas maneras podremos escribirlo como suma de $n$ números enteros (no negativos) menores que $m$, esto es, de la forma $m=c_1+c_2+\ldots+c_n$ donde $n \le m$ ?.

Solución:
Este problema no es sencillo y requiere que investiguemos un poco.

De la misma manera que hemos hecho en el problema de colocar $m$ bolas indistinguibles en un conjunto de $n$ cajas, escogemos un código adecuado que permita representar la naturaleza esencial del problema con el fin de poder aprovechar ideas que ya han funcionado en problemas similares. Imaginemos que los $n$ sumandos son "las cajas", separadas por $n-1$ "tabiques", que representaremos mediante los símbolos separadores ("|"). Las cifras (las "bolas"), las representaremos con el símbolo "x" y deben ubicarse en el conjunto de las $n$ "cajas", sin que haya ninguna restricción en el números de ocupación de las cajas ( algunas pueden quedar sin ocupación). Hagamos algunas simulaciones sencillas con lapiz y papel:

Consideremos, por ejemplo, el caso que el número a descomponer sea $m$=4, y que el número de sumandos ("cajas" ) sea $n=3$; entonces, necesitamos $3-1=2$ "tabiques" o símbols separadores. Éstas son algunas ordenaciones posibles:

a)         x|xx|x     ( lo cual significa escribir el número $4$ de la forma $4=1+2+1$ )
b)         xxxx||     ( lo cual significa escribir el número $4$ de la forma $4=4+0+0$ )
c)         x|x|xx     ( lo cual significa escribir el número $4$ de la forma $4=1+1+2$ )
d)         ||xxxx     ( lo cual significa escribir el número $4$ de la forma $4=0+0+4$ )
e)         x|xxx|     ( lo cual significa escribir el número $4$ de la forma $4=1+3+0$ )
                ...


Por supuesto, se pueden escribir muchas más, pero con estas cinco, es fácil darse cuenta de que aparecen $\dfrac{4+3-1}{4!\,(3-1)!}=15$ posibilidades.

$\square$

[nota del autor]

Evalue la siguiente expresión, dando el resultado con el número de cifras significativas convenientes ...

Enunciado:
Evalue la siguiente expresión, dando el resultado con el número de cifras significativas convenientes, teniendo en cuenta que los valores que se dan corresponden a los de medidas de ciertas magnitudes y, por tanto, no se refieren a cantidades exactas sino a aproximaciones de dichas cantidades ideales:
$$(5,6 \times 10^{-5})(0,0000075)/(2,4 \times 10^{-12})$$

Solución:
Haciendo el cálculo con la ayuda de la calculadora científica, leemos en la pantalla, como resultado, "175", sin embargo, el número de cifras significativas del factor de la operación que tiene menor precisión ( todos tienen la misma ) es $2$, luego -- habiendo multiplicaciones/divisiones en la operación combinada -- debemos adecuar ( aproximar ) el resultado a dos cifras significativas, esto es, a 180, o lo que es lo mismo, el resultado que debemos dar atendiendo esta condición es $1,8 \times 10^2$

$\square$

[nota del autor]

Explique los siguientes conceptos sobre probabilidad

Enunciado:

Explique los siguientes conceptos:
  a) sucesos incompatibles
  b) sucesos independientes

Explique qué dice:
  c) el teorema de la probabilidad total
  d) la regla de Laplace

Explique qué entiende por:
  e) espacio muestral
  f) conjunto de las partes del espacio muestral
  g) espacio de probabilidad


Solución:

a)
Dos sucesos $A$ y $B$ decimos que son incompatibles si uno excluye al otro como resultado de la realización de la experiencia aleatoria a la cual están ligados. También puede decirse que dos sucesos $A$ y $B$ son incompatible si y sólo si $A \cap B = \varnothing$.

b)
Dos sucesos $A$ y $B$ son independientes si y sólo si $P(A|B)=P(A)$ y $P(B|A)=P(B)$, esto es, si no hay condicionamiento en el hecho de que se de uno, sabiendo que se ha dado ya el otro.

c)
Sea un conjunto de sucesos $\{A_i\} \quad i=1\,,\ldots\,n$ tales que la unión de todos ellos es el espacio muestral $\Omega$ y de tal modo que la intersección de cada pareja de dichos conjuntos es vacía ( son incompatibles entre sí ); sea $B$ un suceso compuesto, entonces, en estas condiciones se cumple $P(B)=P(B|A_1)\,P(A_1)+ P(B|A_2)\,P(A_2)+\ldots+P(B|A_n)\,P(A_n)$ ( Teorema de la Probabilidad Total )

d)
La regla de Laplace permite asignar probabilidad a partir de la razón entre el número de casos favorables a que se de un cierto evento y el número total de eventos que puedan darse, suponiendo que dichos sucesos sean equiprobables.

e)
Sea una experiencia aleatoria, entendemos el espacio muestral $\Omega$ como un conjunto de sucesos elementales asociados a la misma de tal forma que: i) recubren el espacio de sucesos, y ii) la intersección de todas las parejas formadas por elementos distintos es vacía.

f)
El conjunto de las partes de un espacio muestral $\Omega$ finito, de cardinal $n$ ( número de sucesos elementales de que consta ) es el conjunto de los subconjuntos del mismo, y, por tanto, el número de dichos subconjuntos ( incluyendo el conjunto vació $\varnothing$ ( suceso imposible ) y el propio espacio muestral $\Omega$ ( suceso seguro ) se demuestra que es igual a $2^n$.

g)
Dada una experiencia aleatoria $\mathcal{E}$, el espacio de probabilidad es la terna $(\Omega, \mathcal{A}, P)$, donde: $\Omega$ es el espacio muestral; \mathcal{A} representa el conjunto de sucesos ( ya sean éstos elementales o bien compuestos ) y $P$ es una aplicación de $\mathcal{A}$ en $[0,1]\subset \mathbb{R}$ que llamamos aplicación probabilidad y representa una forma de medir en dicho espacio.

$\square$

[nota del autor]

Elegimos al azar una carta de una baraja española ( 48 cartas ). Si dicha carta resulta ser una figura ( sota, caballo o bien rey ) extraemos una bola de una urna $U_1$ que contiene $4$ bolas blancas y $3$ bolas negras; si la carta extraída no es figura, extraemos una bola de una urna $U_2$ que contiene $1$ bola blanca y $2$ bolas negras. Calcular la probabilidad de que la bola extraída sea blanca.

Enunciado:
Elegimos al azar una carta de una baraja española ( 48 cartas ). Si dicha carta resulta ser una figura ( sota, caballo o bien rey ) extraemos una bola de una urna $U_1$ que contiene $4$ bolas blancas y $3$ bolas negras; si la carta extraída no es figura, extraemos una bola de una urna $U_2$ que contiene $1$ bola blanca y $2$ bolas negras. Calcular la probabilidad de que la bola extraída sea blanca.

Solución:
Denotemos por $F$ al suceso extraer una carta que sea figura; $\bar{F}$, al suceso extraer una carta que no sea figura, y $B$, extraer bola blanca. Entonces, por el Teorema de la probabilidad Total se cumple $P(B)=P(B|F)\,P(F)+P(B|\bar{F})\,P(\bar{F})$   (1), y teniendo en cuenta que $P(F)=\dfrac{12}{48}=\dfrac{1}{4}$; $P(\bar{F})=1-P(F)=\dfrac{3}{4}$ ( por la propiedad del contrario ); $P(B|F)=\dfrac{4}{7}$ ( por la regla de Laplace, en la primera urna ), y $P(B|\bar{F})=\dfrac{1}{3}$ ( por la regla de Laplace, en la segunda urna ). Luego, de (1), $P(B)=\dfrac{4}{7}\cdot \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{3}{4}=\dfrac{11}{28}$

$\square$

[nota del autor]

Calcular: a) $V_{6,3}$ b) $VR_{3,4}$ c) $PR_{10}^{4,3,2,1}$ d) $P_{8}$ e) $C_{7,2}$ f) $CR_{5,3}$ g) $C_{3,0}+C_{3,1}+C_{3,2}+C_{3,3}$

Enunciado:
Calcular:
  a) $V_{6,3}$
  b) $VR_{3,4}$
  c) $PR_{10}^{4,3,2,1}$
  d) $P_{8}$
  e) $C_{7,2}$
  f) $CR_{5,3}$
  g) $C_{3,0}+C_{3,1}+C_{3,2}+C_{3,3}$

[nota del autor]

Al realizar un estudio estadístico se han encontrado los siguientes valores del mínimo y del máximo, y de los cuartiles: $x_{mín}=2$, $C_1=4$, $C_2=10$, $C_3=20$ y $x_{máx}=30$.

Enunciado:
Al realizar un estudio estadístico se han encontrado los siguientes valores del mínimo y del máximo, y de los cuartiles: $x_{mín}=2$, $C_1=4$, $C_2=10$, $C_3=20$ y $x_{máx}=30$.

Se pide:
  a) Dibujar el diagrama de caja y bigotes
  b) Comentar cómo se distribuyen los valores de la variable estadística

Solución:

a) y b)

[nota del autor]

Considérense los valores de una variable estadística agrupados en intervalos. El intervalo con mayor frecuencia es $[50,60)$ y tiene frecuencia $f=140$, y los intervalos vecinos $[40,50)$ y $[60,70)$ tienen frecuencias respectivas $100$ y $110$. Calcular el valor de la moda mediante el cálculo de proporcionalidad que se puede plantear a partir de la configuración geométrica que se desprende al dibujar esta parte del histograma.

Enunciado:
Considérense los valores de una variable estadística agrupados en intervalos. El intervalo con mayor frecuencia es $[50,60)$ y tiene frecuencia $f=140$, y los intervalos vecinos $[40,50)$ y $[60,70)$ tienen frecuencias respectivas $100$ y $110$. Calcular el valor de la moda mediante el cálculo de proporcionalidad que se puede plantear a partir de la configuración geométrica que se desprende al dibujar esta parte del histograma.

Solución:

$\square$

[nota del autor]

Sean los siguientes valores de una variable estadística $X$: $$\{2,3,4,1,2,3,5,2,3,3,4\}$$ Calcúlese: a) la mediana, la moda y la media aritmética b) la varianza, la desviación estándar y el coeficiente de variación de Pearson

Enunciado:
Sean los siguientes valores de una variable estadística $X$: $$\{2,3,4,1,2,3,5,2,3,3,4\}$$ Calcúlese:
  a) la mediana, la moda y la media aritmética
  b) la varianza, la desviación estándar y el coeficiente de variación de Pearson

Solución:

a)

b)

$\square$

[nota del autor]

Enunciado: Consideremos una experiencia aleatoria $\mathcal{E}$ y el espacio de probabilidad dado por la terna $(\Omega, \mathcal{A} \subset \mathcal{P}(\Omega),P)$, donde $\Omega$ es el espacio muestral, $\mathcal{A}$ es una parte del conjunto de las partes $\mathcal{P}(\Omega),P)$ de $\Omega$, y $P$ la aplicación probabilidad, definida de $\mathcal{A}$ en $[0,1] \subset \mathbb{R}$. Sean dos sucesos aleatorios $A$ y $B$, entonces se sabe ( propiedad ) que $P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B ) $. ¿ Cómo podemos escribir esta expresión en los casos que se indican a continuación ?: a) $A$ y $B$ son incompatibles b) $A$ y $B$ son compatibles y dependientes c) $A$ y $B$ son compatibles e independientes

Enunciado:
Consideremos una experiencia aleatoria $\mathcal{E}$ y el espacio de probabilidad dado por la terna $(\Omega, \mathcal{A} \subset \mathcal{P}(\Omega),P)$, donde $\Omega$ es el espacio muestral, $\mathcal{A}$ es una parte del conjunto de las partes $\mathcal{P}(\Omega),P)$ de $\Omega$, y $P$ la aplicación probabilidad, definida de $\mathcal{A}$ en $[0,1] \subset \mathbb{R}$.

Sean dos sucesos aleatorios $A$ y $B$, entonces se sabe ( propiedad que viene del principio de inclusión-exclusión ) que $P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B ) $. ¿ Cómo podemos escribir esta expresión en los casos que se indican a continuación ?:

  a) $A$ y $B$ son incompatibles
  b) $A$ y $B$ son compatibles y dependientes
  c) $A$ y $B$ son compatibles e independientes

Solución:

a)
Si $A$ y $B$ son incompatibles, entonces $A \cap B = \varnothing $ ( suceso imposible ) y, por tanto, $P(A \cap B)=0$; luego, en estas condiciones, $P(A \cup B)=P(A)+P(B)-0 = P(A)+P(B)$

-oOo-
b)
Si $A$ y $B$ son compatibles, entonces $A \cap B \neq \varnothing $ y, por tanto, $P(A \cap B)=P(B \cap B) \succ 0$, siendo $P(A \cap B)=P(A|B)\,P(B)$ y $P(B \cap A)=P(B|A)\,P(A)$; con lo cual, $P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A|B)P(B)=P(A)+P(B)-P(B|A)P(A)$. Y en el caso en que $A$ y $B$ sean dependientes habrá que tener en cuenta que $P(A|B) \neq P(A)$ y $P(B|A) \neq P(B)$.

c)
Si además de ser $A$ y $B$ compatibles son también independientes ( $P(A|B)=P(A)$ y $P(B|A)=P(A)$ ), por lo dicho en el apartado anterior, y en estas condiciones, podremos escribir:
$P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A|B)P(B)$
    $=P(A)+P(B)-P(B)\,P(A)$

$\square$

[nota del autor]

Midiendo los valores de una cierta característica $X$ ( variable estadística ) en una población se ha recogido la siguiente información: $20$ valores en el intervalo $[0\,,\,10)$; $50$ valores en el intervalo $[10\,,\,20)$; $80$ valores en el intervalo $[20\,,\,30)$; $40$ valores en el intervalo $[30\,,\,40)$, y $30$ valores en el intervalo $[40\,,\,50]$. Se pide ...

Enunciado:
Midiendo los valores de una cierta característica $X$ ( variable estadística ) en una población se ha recogido la siguiente información:
$20$ valores en el intervalo $[0\,,\,10)$; $50$ valores en el intervalo $[10\,,\,20)$; $80$ valores en el intervalo $[20\,,\,30)$; $40$ valores en el intervalo $[30\,,\,40)$, y $30$ valores en el intervalo $[40\,,\,50]$. Se pide:

a) Realizar una tabla para ordenar la información que incluya columnas para: las marcas de clase, las frecuencias absolutas del recuento; las frecuencias absolutas acumuladas del recuento; una columna para facilitar el cálculo de la media aritmética, y una última columna para facilitar el cálculo de la varianza.

b) Representar los histogramas: (1) el histograma de frecuencias absolutas del recuento, incluyendo la poligonal de frecuencias; (2) el histograma de frecuencias absolutas acumuladas, incluyendo la correspondiente poligonal de frecuencias.

c) Determinar la moda. ¿ Qué información aporta dicho parámetro estadístico ?

d) Calcular la media aritmética. ¿ Qué información aporta dicho parámetro estadístico ?

e) Calcular la varianza. ¿ Qué información aporta dicho parámetro estadístico ?

f) Calcular la desviación estándar. ¿ Qué información aporta dicho parámetro estadístico ?

g) Calcular el coeficiente de variación de Pearson. ¿ Qué información aporta dicho coeficiente ?.

h) Determinar el valor de los cuartiles y representar el diagrma de caja y bigotes. ¿ Qué información aportan los cuartiles y dicho diagrama ?.

i) Determinar el tanto por ciento de valores cumplen la siguiente condición: ser mayores o iguales que $20$ y menores o iguales que $40$

[j] ¿ Qué es un percentil ?

Solución:

apartados a), c) y e) ( la media aritmética es uno de los parámetros de situación y la varianza lo es de dispersión )

apartados b) y primera parte de h)

f)
La desviación estándar ( uno de los parámetros de dispersión, cuya dimensionalidad coincide con la de la característica en estudio $X$ ) se define como la raiz cuadrada de la varianza $s=\sqrt{s^2} \approx 11$

g)
El coeficiente de variación de Pearson ( que expresa la dispersión relativa a la media ) se define como CVP=$\dfrac{s}{\bar{x}}=\dfrac{11}{25,5} \approx 43\,\%$. El coeficiente de variación de Pearson se utiliza para comparar la dispersión de varios conjuntos de valores de la misma característica.

h)
Hemos determinado ya los cuartiles al dibujar, arriba, el histograma de frecuencias acumuladas con la poligonal de frecuencias y mostrando los resultados en el diagrama de caja, de forma gráfica. Vamos ahora a precisar su valor, también a partir del histograma, pero precisando un poco más: a partir del uso de la semejanza de triángulos que se configuran al trazar la poligonal de frecuencias en el histograma de frecuencias acumuladas:

i)
El número de valores que cumplen la condición del enunciado lo encontramos restando el número de valores menores o iguales que $20$, que es igual a $70$, del número de valores menores o iguales que $70$, que es $190$ [ esta informaicón la encontramos en la la tabla de frecuencias ( columna de las frecuencias acumuladas ) o, también, consultando el histograma de f. acumuladas ]; por tanto el número de valores pedido es $190-70=120$, que de un total de $220$ supone un $55\,\%$ ( redondeando a las unidades ).

[j]
Llamamos percentil o $p$-percentil ( expresado en tanto por ciento ) al valor de la variable estadística tal que la frecuencia relativa acumulada de los valores de $X$ que son menores o iguales que dicho valor es igual a $p\,\%$; ejemplos de percentiles son los cuartiles ( $C_1$, $C_2$ y $C_3$ ) los cuales corresponden a los siguientes $p$-percentiles: $25\,\%$, $50\,\%$ ( por tanto $C_2$ se denomina, también, mediana ) y $75\,\%$, respectivamente ( véase el diagrama de caja y bigotes ).


$\square$

[nota del autor]

Determinar el valor de $x$ ( número entero positivo ) que cumple, en cada caso independientemente, las siguientes igualdades: (a) $\binom{x}{2}=45$ (b) $V_{x,2}=12$ (c) $x\,(x-1)\cdot \ldots\cdot2 \cdot 1=24$ [d] $8\,PR_{x+1}^{2,4}=P_x$ [e] $3\,V_{x,2}=10\,C_{x-1,2}$

Enunciado:
Determinar el valor de $x$ ( número entero positivo ) que cumple, en cada caso independientemente, las siguientes igualdades:

(a) $\binom{x}{2}=45$

(b) $V_{x,2}=12$

(c) $x\,(x-1)\cdot \ldots\cdot2 \cdot 1=24$

[d] $8\,PR_{x+1}^{2,4}=P_x$

[e] $3\,V_{x,2}=10\,C_{x-1,2}$

Solución:
(a)
$\binom{x}{2}=45$
  $\dfrac{x!}{(x-2)!\,2!}=45$
    $\dfrac{x\,(x-1)\,(x-2)!}{(x-2)!\,2!}=45$
      $\dfrac{x\,(x-1)}{2!}=45$
        $x\,(x-1)=90$
          $x^2-x-90=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-(-1)\pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot (-90) \cdot 1}}{2 \cdot 1}=\left\{\begin{matrix}\dfrac{1+19}{2}=10 \\ \\\dfrac{1-19}{2}=-9 \\ \end{matrix}\right.$
y tomando el valor positivo: $x=10$

(b)
$V_{x,2}=12$
  $x\,(x-1)=12$
    $x^2-x-12=0$
      $x^2-x-12=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-(-1)\pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot (-12) \cdot 1}}{2 \cdot 1}=\left\{\begin{matrix}\dfrac{1+9}{2}=5 \\ \\\dfrac{1-9}{2}=-4 \\ \end{matrix}\right.$
y tomando el valor positivo: $x=5$

(c)
$x\,(x-1)\cdot \ldots\cdot2 \cdot 1=24$
  $x!=24 \Leftrightarrow x=4$ ya que $4\cdot 3\cdot 2 \cdot 1 =24$

[d]
$8\,PR_{x+1}^{2,4}=P_x$
  $8\cdot \dfrac{(x+1)!}{2!\,4!}=x!$
    $8\cdot \dfrac{(x+1)\,x!}{2\cdot 4 \cdot 3!}=x!$
      $\dfrac{(x+1)}{6}=1$
        $x+1=6$
          $x=5$

[e]
$3\,V_{x,2}=10\,C_{x-1,2}$
  $3x(x-1)=10\cdot \dfrac{(x-1)(x-2)(x-3)!}{2(x-3)!}$
    $3x(x-1)=5(x-1)(x-2)$
      $3x=5(x-2)$
      $2x=10$
        $x=5$

$\square$

[nota del autor]

Una urna contiene $3$ bolas blancas y $4$ bolas negras. Realizamos la extracción, al azar, de tres bolas, de forma sucesiva, sin reemplazar las bola precedente al extraer la siguiente. (a) Calcular la probabilidad de que las tres bolas no sean del mismo color (b) A partir de este experimento aleatorio, se plantea el siguiente juego de apuestas: En caso de que las bolas extraídas sean del mismo color, se obtiene una puntuación de $+2$ puntos, y, de no ser así, se obtiene una puntuación de $-1$ puntos. ¿ Cuál es el valor esperado de la ganancia de puntos ? ¿ Qué podríamos aconsejar a una persona que se plantea la posibilidad de aceptar ese juego de apuestas ?.

Enunciado:
Una urna contiene $3$ bolas blancas y $4$ bolas negras. Realizamos la extracción, al azar, de tres bolas, de forma sucesiva, sin reemplazar las bola precedente al extraer la siguiente.

(a) Calcular la probabilidad de que las tres bolas no sean del mismo color

(b) A partir de este experimento aleatorio, se plantea el siguiente juego de apuestas: En caso de que las bolas extraídas sean del mismo color, se obtiene una puntuación de $+2$ puntos, y, de no ser así, se obtiene una puntuación de $-1$ puntos. ¿ Cuál es el valor esperado de la ganancia de puntos ? ¿ Qué podríamos aconsejar a una persona que se plantea la posibilidad de aceptar ese juego de apuestas ?.

Solución:

a)
La probabilidad de que las tres bolas sean del mismo color es
$P\big((B_1 \cap B_2 \cap B_3) \cup (N_1 \cap N_2 \cap N_3)\big)$
y por ser $B_1 \cap B_2 \cap B_3$ y $N_1 \cap N_2 \cap N_3$ sucesos incompatibles, dicha probabilidad es igual a
$P\big(B_1 \cap B_2 \cap B_3\big) + P\big(N_1 \cap N_2 \cap N_3\big)$
y por el condicionamiento de sucesos ( ver figura ), siguiendo las aristas del árbol y aplicando el principio de multiplicación podemos escribir lo anterior de la forma
$P(B_1)\,P(B_2|B_1)\,P(B_3 | B_1 \cap B_2)+P(N_1)\,P(N_2|N_1)\,P(N_3 | N_1 \cap N_2)$
    $=\dfrac{3}{7} \cdot \dfrac{2}{6} \cdot \dfrac{1}{5} + \dfrac{4}{7} \cdot \dfrac{3}{6} \cdot \dfrac{2}{5}=\dfrac{1}{7}$

( Figura: Dibujando el diagrama de árbol podemos esclarecer el cálculo, que se basa en la aplicación de los principios de suma y multiplicación, siguiendo los caminos indicados que llevan a los dos sucesos que aportan probabilidad a la situación planteada. De este modo, incluso podemos hacer el cálculo prescindiendo del formalismo utilizado arriba, si bien dicho formalismo es necesario a estas alturas del curso, en el que las nociones de sucesos compatibles/incompatibles y dependientes/independientes ya han sido estudiados con suficiente detalle. )

Así, pues, la probabilidad de que las tres bolas no sean del mismo color es $1-\dfrac{1}{7}=\dfrac{6}{7}$ ( por la propiedad del suceso contrario )

b)
Calculando la esperanza matemática vemos que la ganancia de puntos esperada es
  $(+2)\cdot \dfrac{1}{7}+(-1)\cdot \dfrac{6}{7}=-\dfrac{6}{7}$, por lo que, al ser negativa, debemos aconsejar a quien se le propone el juego que no juegue, pues de hacerlo de manera continuada, a pesar de poder ganar alguna vez, perdería la mayor parte de las veces y, por tanto, se arruinaría.

$\square$

[nota del autor]

Calcúlese de cuántas maneras distintas ...

Enunciado:
Calcúlese de cuántas maneras distintas podemos realizar lo siguiente:

[a] Formar números enteros positivos mayores que $999$ y menores que $2001$ que sean múltiplos de $5$
    Ayuda:   Un número entero es múltiplo de $5$ si la cifra de las unidades de dicho número es o bien $0$ o bien $5$

(b) Formar números enteros positivos mayores que $999$ y menores que $2001$ que sean múltiplos de $4$
    Ayuda:   Un número entero es múltiplo de $4$ si el número formado por sus dos últimas cifras ( de izquierda a derecha ) es un múltiplo de $4$

(c) Formar "palabras" de $10$ bits
    Ayuda:   Un bit es la unidad matemática de información y consiste en tener una celda ocupada con un $1$ o bien con un $0$

(d) Elegir una comisión formada por $3$ representantes, siendo éstos elegidos de entre un grupo de $20$ personas

(e) Construir "palabras" formadas por $4$ caracteres elegidos entre los elementos del siguiente conjunto: $\{\text{a,e,i,o,u};0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$

(f) Vestirnos eligiendo un par de zapatos una camiseta y unos vaqueros de entre: tres pares de zapatos, dos vaqueros, y cinco camisetas

(g) Distribuir $4$ bolas indistiguibles en $3$ cajas

[h] Formar banderas de señales que tengan tres franjas verticales coloreadas o bien de negro o bien de blanco.

[i] Formar "palabras" distintas de nueve letras, cada una de las cuales tenga exactamente: $3$ A's, $4$ B's y $2$ C's.

[j] Ordenar $4$ libros ( distintos ) en un estante en el que solamente caben estos cuatro libros.

Solución:
[a]
Debemos elegir las cifras del "alfabeto" decimal para ocupar las celdas $\square \square \square \square$ del número en cuestión teniendo en cuenta que la cifra de las unidades de millar no puede ser otra que un '1' y que la de las unidades puede ser o bien '0' o bien '5' ( por la condición de múltiplo de cinco ).

Como podemos elegir la cifra de las unidades de una sóla manera ( con un '1'); la de las centenas de diez ( se supone que podemos repetir cifras ya utilizadas ); la de las decenas de diez maneras distintas, y la de las unidades de dos, por el principio de multiplicación: $n=1 \cdot 10 \cdot 10 * 2= 200$ números distintos.

Nota:   Es claro que podemos hacer el recuento de una manera alternativa: como el primer número mayor que $999$ y múltiplo de $5$ es $1000$ y el último múltiplo de cinco menor que $2001$ es $2000$, el número de múltiplos que hay en este rango es $n=$ ((último múltiplo de cinco) - ( primer múltiplo de cinco))/5, esto es $n= (2000-1000 ) \div 5 = 1000 \div 5 = 200$

(b)
Debemos elegir las cifras del "alfabeto" decimal para ocupar las celdas $\square \square \square \square$ del número en cuestión teniendo en cuenta que la cifra de las unidades de millar no puede ser otra que un '1'; por otra parte, las dos últimas cifras del ( la de las unidades y la de las decenas ) deben formar números múltiplos de cuatro, entonces, como el primer número múltiplo de cuatro es (0)$4$ y el último $96$, el número de múltiplos de cuatro que forman dichas dos últimas cifras es $(96-4)\div 4=23$. Por otra parte, la cifra de las centenas se puede elegir de $10$ maneras distintas, pues podemos repetir cifras y por tanto se puede escoger cualquier cifra de del conjunto $\{0,1,2,\ldots,9\}$. Entonces, por el principio multiplicativo, el número de múltiplos de $4$ mayores que $999$ y menores que $2001$ es $n=1\cdot 10 \cdot 23 = 230$.

(c)
Como importa el orden en que se ubican los '0's y los '1's en el conjunto de celdas $\square \square \square \square \square \square \square \square \square \square $, por el principio de multiplicación, $VR_{2,10}=2^{10}=1024$ "palabras".

(d)
En este caso no importa el orden en que se ubican los elementos en la comisión, luego se trata de un problema de combinaciones; además, hay que tener en cuenta que, lógicamente, no se pueden repetir los elementos ( no se puede repetir una persona ), por tanto $C_{30,3}=\binom{30}{3}=\dfrac{30!}{(30-3)!\,3!}=1140$

(e)
Como importa el orden de ubicación de los $15$ elementos en los cuatro sitios $\square \square \square \square$, el problema de de variaciones, y, al no haber elementos repetidos, de v. ordinarias, luego el número de manera pedido es $V_{15,4}=15\cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 = 32760$

(f)
Por el principio de multiplicación y no habiendo restricciones, el número máximo de maneras de vestirnos ( con la condición de que siempre llevamos exactamente: unos zapatos del mismo par, una camiseta y un vaquero ) es $n=3\cdot 2 \cdot 5 = 30$

(g)
Éste es un problema de combinaciones con repetición, de $4$ objetos ( bolas ) idénticos en $3$ cajas perfectamente identificables, luego el número de ordenaciones posibles es $$\displaystyle \binom{4+3-1}{3-1}=\binom{4+3-1}{4}=\binom{6}{4}=15$$


[h]
Teniendo en cuenta que importa el orden en que ponemos los colores en las tres franjas verticales y que podemos repetir colores, el problema es de variaciones con repetición, luego la solución pedida es $VR_{2,3}=2^3=8$ banderas distintas.

[i]
Éste es otro caso de permutaciones con elemenotos repetidos; tal y como leemos en el enunciado, en cada ordenación deben aparecer exactamente $3$ A's, $4$ B's y $2$ C's, luego $$PR_{4+3+2}^{4,3,2}=\dfrac{9!}{4!\,3!\,2!}=\dfrac{9\cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{2!\,3!\,4!}=\dfrac{9\cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{6 \cdot 2}=9\cdot 4 \cdot 7 \cdot 5 = 1260$$

[j]
Teniendo en cuenta que el orden de colocación de los libros es relevante, el problema planteado es de variaciones ordinarias, con el mismo número de elementos que de sitios,luego, en particular es un problema de permutaciones, y, por tanto, su solución es $P_4=4!$, esto es, $4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$. Podemos, pues, ordenarlos de veinticuatro maneras distintas.

$\square$

Calcular el volumen y el área lateral de un cono cuya generatriz mide $10\,\text{dm}$ y que tiene una base de $6\,\text{dm}$ de radio.

Enunciado:
Calcular: a) el volumen, y b) el área lateral de un cono, cuya generatriz mide $10\,\text{dm}$ y que tiene una base de $6\,\text{dm}$ de radio.

Resolución:
Denotando por: $V$, el volumen del cono; $r$, el radio de la base; $h$, la altura; $g$, la generatriz, y $A_{lat}$, el área lateral:

a) $V=\dfrac{1}{3}\,\pi\,r^2\,h \underset{(1)}{=}\dfrac{1}{3}\cdot \pi\cdot 6^2\cdot \sqrt{10^2-6^2}=\dfrac{1}{3}\cdot \pi \cdot 36 \cdot 8 = 96\,\pi\,\text{dm}^3 \approx 302 \, \text{dm}^3$
(1) por el Teorema de Pitágoras

b)
$A_{lat}=\pi\,r\,g=\pi \cdot 6 \cdot 10 = 60\,\pi \, \text{dm}^2 \approx 188 \, \text{dm}^2$

$\square$

[nota del autor]

Calcular el volumen de un cubo cuya diagonal mide $\dfrac{1}{\sqrt{3}}\,\text{m}$.

Enunciado:
Calcular el volumen de un cubo cuya diagonal mide $\dfrac{1}{\sqrt{3}}\,\text{m}$.

Resolución:
Designemos por: $V$ el volumen del cubo; $d$, la diagonal del cubo; $x$, la diagonal de una cara del cubo; $a$, la arista del cubo. Entonces, siendo $d=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$, podemos escribir $\dfrac{1}{\sqrt{3}} \underset{(1)}{=} \sqrt{x^2+a^2} \underset{(2)}{=} \sqrt{a^2+a^2+a^2}=\sqrt{3\,a^2}=\sqrt{3}\,a$, luego $a=\dfrac{1}{\sqrt{3}} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{1}{3}$, por tanto $V=\big(\dfrac{1}{3}\big)^3=\dfrac{1}{27}\,\text{m}^3$ .


(1): Aplicando el Teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo interior al cubo que se forma con la diagonal de la cara de la base y uno de las arista ( vertical ) del cubo
(2): Aplicando el Teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo que se forma al trazar la diagonal, $x$, en la cara ( cuadrado ) de la base sobre la que se eleva el triángulo rectángulo descrito en (1).

$\square$

[nota del autor]

Determinar el dominio de definición de la función $f(x)=|\sqrt{x-2}|$

Enunciado:
Determinar el dominio de definición de la función $f(x)=|\sqrt{x-2}|$

Resolución:
La condición para que un número real, $x$, tenga imagen es, en este caso, $x-2 \ge 0$, luego $x \ge 2$, luego $D_{f}=[2\,,\,+\infty) \subset \mathbb{R}

$\square$

[nota del autor]

Una ecuación en forma continua de una recta, $s$, es $$\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-3}{3}$$ Se pide: a) las coordenadas del punto de corte de la recta $s$ con el eje de ordenadas b) las coordenadas del punto de corte de la recta $s$ con el eje de abscisas

Enunciado:
Una ecuación en forma continua de una recta, $s$, es $$\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-3}{3}$$ Se pide:
    a) las coordenadas del punto de corte de la recta $s$ con el eje de ordenadas
    b) las coordenadas del punto de corte de la recta $s$ con el eje de abscisas

Resolución:

(a)
El punto de corte de una función $y=f(x)$ con el eje de ordenadas, que denotamos aquí por $A$, tiene abscisa igual a cero, esto es $x=0$, por lo que para calcular el valar que corresponde a $y$, o sea la imagen del cero, sustituimos en la ecuación y despejamos:
  $\dfrac{0-1}{2}=\dfrac{y-3}{3}$
    $y-3=-\dfrac{3}{2}$
      $y=-\dfrac{3}{2}+3$
        $y=-\dfrac{3}{2}+\dfrac{6}{2}=\dfrac{3}{2}$
Así, pues, las coordenadas de $A$ son $\big(0\,,\,\dfrac{3}{2}\big)$

(a)
El punto de corte de una función $y=f(x)$ con el eje de abscisas, que denotamos aquí por $B$, tiene ordenada igual a cero, esto es $y=0$, por lo que para calcular el valar que corresponde a $x$, llamado raiz de dicha función lineal afín, sustituimos en la ecuación y despejamos:
  $\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{0-3}{3}$
    $x-1=-1 \cdot 2 $
      $x=-2+1=-1$
Así, pues, las coordenadas de $B$ son $\big(-1\,,\,0\big)$

$\square$

[nota del autor]

Sean los puntos del plano $A(0,1)$ y $B(3,4)$. Encontrar una ecuación de la recta que pasa por dichos puntos.

Enunciado:
Sean los puntos del plano $A(0,1)$ y $B(3,4)$. Encontrar una ecuación de la recta que pasa por dichos puntos.

Resolución:
Como nos dan dos puntos de la recta, podemos escribir una ecuación en forma continua sin ninguna dificultad:
$$\dfrac{x-x_B}{x_B-x_A}=\dfrac{y-y_B}{y_B-y_A}$$
es decir
$$\dfrac{x-3}{3-0}=\dfrac{y-4}{4-1}$$
y simplificando
$$\dfrac{x-3}{3}=\dfrac{y-4}{3}$$
que es lo mismo que
$$\dfrac{x-3}{1}=\dfrac{y-4}{1}$$ ( ecuación en forma continua )

A partir de una ecuación de la recta en forma continua, podemos expresarla en su forma explícita ( $r:\,y=m\,x+k$, donde $m$ denota la pendiente de la recta y $k$ la ordenada en el origen ); para ello, basta despejar la variable dependiente $y$:
$$y=x-3+4$$
y simplificando
$$y=x+1$$

$\square$

[nota del autor]

¿ Cuál es el valor de la pendiente de la recta $r$ que pasa por los puntos $O(0,0)$ y $A(-1,-2)$ ?

Enunciado:
¿ Cuál es el valor de la pendiente de la recta $r$ que pasa por los puntos $O(0,0)$ y $A(-1,-2)$ ?.

Resolución:
Sea la recta $r:\,y=m\,x+k$, donde $m$ denota la pendiente y $k$ la ordenada en el origen. Entonces, al ser $O(0,0)$ un punto de $r$, sus coordenadas deben satisfacer la ecuación, esto es, $0=m\cdot 0+k$, luego la ordenada en el origen es $k=0$, por lo que la ecuación es $y=m\,x$. Nos queda determinar el valor de $m$, y lo haremos de la siguiente manera: como $A(-1,-2)$ es, también, un punto de $r$, sus coordenadas tienen que verificar la ecuación de $r$, o sea, $-2=m\cdot (-1)$, por tanto, $m=2$. Así, pues, $r:\,y=2\,x$.

$\square$

[nota del autor]

Representar gráficamente la función $f(x)=3^x$. ¿ Qué tipo de función es ?.

Enunciado:
Representar gráficamente la función $f(x)=3^x$. ¿ Qué tipo de función es ?.

Resolución:

La función es de tipo exponencial, y, al ser la base mayor que uno y el coeficiente del exponente positivo ( es $1$ ) es monótona creciente. Necesitamos, además, calcular algunos elementos notables para hacer un esbozo del gráfico como son: a) las raíces ( en este caso no hay, a distancia finita, pues el trazo de la función únicamente toca al eje de abscisas cuando $x \rightarrow -\infty$ ), y, b) la ordenada en el origen, que es $f(0)=3^0=1$, luego el trazo de la función corta al eje de ordenadas en el punto de coordenadas $(0,1)$.

$\square$

[nota del autor]

Sea el vector $\vec{u}=(1,3)$ del plano euclidiano. Representar gráficamente dicho vector, de tal modo que su origen coincida con el origen de coordenadas $O(0,0)$, y, a continuación, calcular: a) la longitud de dicho vector b) el ángulo polar del vector

Enunciado:
Sea el vector $\vec{u}=(1,3)$ del plano euclidiano. Representar gráficamente dicho vector, de tal modo que su origen coincida con el origen de coordenadas $O(0,0)$, y, a continuación, calcular:
    a) la norma o módulo del vector ( la longitud de dicho vector )
    b) el ángulo polar del vector

Resolución:

a)
Denotamos por $\left\|\vec{u}\right\|$ la longitud de dicho vector - al tratar con vectores libres ( equivalentes en dirección, módulo y sentido), se ha representado con origen en el origen de coordenadas -, que calculamos utilizando el Teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo que queda configurado entre el extremo del vector, su pie sobre el eje horizontal y el origen de dicho vector ( figura ). Entonces, $\left\|\vec{u}\right\|=|\sqrt{1^2+3^2}|=|\sqrt{10}| \approx 3$

b)
Denotamos por $\alpha$ al ángulo polar del vector ( ángulo de giro en el sentido contrario a las agujas del reloj partiendo del semieje de abscisas positivo yendo a busca la posición del mismo ); por ello, y a partir del triángulo rectángulo al que nos referíamos al calcular la norma o módulo del vector, utilizando la trigonometría elemental podemos escribir $\tan \alpha = \dfrac{3}{1}$, luego $\alpha = \text{arctan}(3) \approx 71^{\circ}\, 34^{'}$

Nota: Observemos que $0^{\circ} \prec \alpha \prec 90^{\circ}$ por estar el afijo del vector ( el extremo ) en el primer cuadrante, con lo cual, en este caso, no hace falta hacer reducciones de cuadrante a partir del resultado que obtenemos directamente de la calculadora.

$\square$

[nota del autor]

Sea la función polinómica de segundo grado: $f(x)=(x-1)^2-3$. Se pide: a) Determinar las coordenadas de los puntos de corte del trazo de la función con los ejes de coordenadas b) Encontrar las coordenadas del vértice de la parábola que corresponde al trazo de dicha función c) Dibujar un gráfico esquemático de dicha función, recogiendo en él todos los elementos notables

Enunciado:
Sea la función polinómica de segundo grado: $f(x)=(x-1)^2-3$. Se pide:
    a) Determinar las coordenadas de los puntos de corte del trazo de la función con los ejes de coordenadas
    b) Encontrar las coordenadas del vértice de la parábola que corresponde al trazo de dicha función
    c) Dibujar un gráfico esquemático de dicha función, recogiendo en él todos los elementos notables

Resolución:
a)

Puntos de corte con el eje de abscisas:
    Si la función corta al eje de abscisas, calculando las raíces de la función obtenemos las abscisas de dichos puntos; con lo cual buscamos valores de $x$ tales que $f(x)=0$, es decir, las soluciones de la ecuación $(x-1)^2-3=0$, que es equivalente a $(x-1)^2=3 \Leftrightarrow x-1=\pm |\sqrt{3}| \Leftrightarrow x=1\pm |\sqrt{3}|$, con lo qual obtenemos dos raíces: $x_1=1 - |\sqrt{3}| \approx -0,7$ y $x_2=1+ |\sqrt{3}| \approx 2,7$, por lo que la función corta al eje de abscisas en dos puntos: $A(1- |\sqrt{3}|\,,\,0)$ y $B(1+ |\sqrt{3}|\,,\,0)$

Puntos de corte con el eje de ordenadas: Siendo el dominio de definición la recta al completo de los n úmeros reales, hay un sólo punto de corte, de ordenada igual a $f(0)$, pues la abscisa de un punto tal ha de ser cero; entonces, $f(0)=(0-1)^2-3=1-3=-2$, luego dicho punto de corte tiene coordenadas $C(0\,,\,-2)$

b)
Podemos considerar la función dada, que es una función cuadrática ( una parábola ), como el resultado de trasladar el trazo ( se traslada com si se tratase de un alambre rígido ) de otra función cuadrática más sencilla, que es $y=x^2$, y cuyo vértice está en el origen de coordenadas. Caben dos traslaciones: (1) una traslación horizontal en el sentido positivo del eje $Ox$, desde el origen de coordenadas, lo cual nos lleva la parábola original a la posición del plano con el vértice en el punto $(1,0)$, describiéndose dicho trazo de la forma $y=(x-1)^2$. A continuación, y a partir de la posición en la que acabamos de dejar el trazo, debemos hacer otra traslación más; esta vez, de tres unidades en el sentido negativo del eje $Oy$, lo cual nos lleva la parábola obtenida por la primera traslación a la posición del plano tal que su vértice es el punto $V(1\,,\,-3)$. Éste es, pues, el vértice de la parábola descrita por la función $f(x)=(x-1)^2-3$.

Nota:   El orden de las traslaciones es irrelevante.

c)

Nota:   En lugar de hacer la representación gráfica por traslaciones, que es muy elegante, también podríamos haberla hecho recogiendo todos los elementos notables de la parábola. Así, como sabemos que la recta o eje de simetría ( que toda parábola tiene ) es la mediatriz de los puntos $A(1- |\sqrt{3}|\,,\,0)$ y $B(1+ |\sqrt{3}|\,,\,0)$ de corte con el eje de abscisas, basta calcular la abscisa del vértice $V$ haciendo la semisuma de las abscisas de los puntos de corte, luego $x_v=\dfrac{(1- |\sqrt{3}|)+(1+ |\sqrt{3}|)}{2}=1$, y, por tanto, $y_v \underset{def}{=}f(x_v)=f(1)=(1-1)^2-3=0-3=-3$. Recordemos que conocemos también las coordenadas del punto de corte con el eje $Oy$, de todo lo cual, podemos dibujar el mismo trazo que hemos encontrado con las traslaciones.

Conviene comentar, sin embargo, que en caso de no cortar la parábola al eje $Ox$, o sea, si la función no tuviese raíces ( que no es el caso ), ¿ cómo calcularíamos la abscisa $x_V$ del vértice ?. Bien, pues, lo haríamos de una forma parecida, solo que, en ese caso, deberíamos cortar la parábola por cualquier recta paralela al eje de abscisas ( ya que éste no la corta ), obteniendo, así, dos puntos de corte con la misma, $A'$ y $B'$, que, al ser la curva simétrica, y por tanto siendo válida la propiedad de que la recta de simetría pasa por el punto medio del segmento ( paralelo al eje $Ox$ ) formado por dichos dos puntos, haciendo un cálculo sencillo, se obtiene que, si expresamos la función de la forma equivalente $f(x)=a\,x^2+b\,x+c$, la abscisa del vértice es $x_V=-\dfrac{b}{2a}$

Comprobemoslo con el propio ejercicio: Expresando la función $f(x)=(x-1)^2-3$ de la forma indicada ( forma general ), podemos escribirla así $f(x)=x^2-2x-2$ ( basta con desarrollar la potencia del binomio y agrupar los términos semejantes), de lo cual vemos que: $a=1$, $b=-2$ y $c=-2$. Entonces, aplicando la expresión que permite calcular la abscisa del vértice sin conocer previamente las raíces ( o incluso sin que las haya ), obtenemos $x_V=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-2}{2\cdot 1}=1$, como debe ser.

$\square$

[nota del autor]

La ecuación en forma explícita de una cierta recta, $r$, es $y=2\,x+1$. Calcular: a) la imagen de $10$; esto es, la ordenada de un punto de $r$ con abscisa igual a $10$ b) la antiimagen de $-2$; esto es, la abscisa de un punto de $r$ que tiene ordenada igual a $-2$

Enunciado:
La ecuación en forma explícita de una cierta recta, $r$, es $y=2\,x+1$. Calcular:
    a) la imagen de $10$; esto es, la ordenada de un punto de $r$ con abscisa igual a $10$
    b) la antiimagen de $-2$; esto es, la abscisa de un punto de $r$ que tiene ordenada igual a $-2$

Resolución:

a)
La función que describe la recta $r$ es $f(x)=2\,x+1$, luego la imagen de $10$ es $f(10)=2\cdot 10+2=20+1=21$

b)
La abscisa de un punto $P$ de la recta que tenga ordenada $y_{P}=-2$ es la antiimagen de dicho valor, que denotamos por $f^{-1}(-2)$, y calculamos resolviendo la ecuación que viene de lo dicho, $-2=2\,x_{P}+1$, cuya solución es $x_{P}=-\dfrac{3}{2}$

$\square$

[nota del autor]

Determinar el dominio de definición y el recorrido de la función $f(x)=|\sqrt{2\,x+3}\,|$

Enunciado:
Determinar el dominio de definición y el recorrido de la función $$f(x)=|\sqrt{2\,x+3}\,|$$

Resolución:
En esta función, para que un valor de la variable independiente, $x$, tenga imagen, el argumento de la raíz ( cuadrada ) tiene que ser positivo o cero, es decir, se debe cumplir que $2\,x+3 \ge 0$, luego $x \ge -\dfrac{3}{2}$, por consiguiente $\mathcal{D}_{f}=[-\dfrac{3}{2}\,,\,+\infty) \subset \mathbb{R}$

En cuanto al recorrido, es evidente que los valores que puede tomar la variable dependiente son todos los números reales positivos, además del cero, esto es: $\mathcal{R}_f=[0,\,,\,+\infty) \subset \mathbb{R}$

$\blacksquare$

[nota del autor]

¿ Qué tipo de función es $f(x)=\dfrac{1}{x-1}$ ? ¿ Tiene alguna raíz ? ¿ Cuál es la ordenada en el origen de esa función ?.

Enunciado:
¿ Qué tipo de función es $f(x)=\dfrac{1}{x-1}$ ? ¿ Tiene alguna raíz ? ¿ Cuál es la ordenada en el origen de esa función ?.

Resolución:
El gráfico de la función $f(x)=\dfrac{1}{x-1}$ se puede ver como la traslación de una unidad ( del gráfico ) en el sentido positivo de la función de proporcionalidad inversa $g(x)=\dfrac{1}{x}$, luego es, también, una función de proporcionalidad inversa.

No tiene raíces pues no existe ningún valor finito de la variable independiente, $x$, para el cual se cumpla $\dfrac{1}{x-1}$, al ser el numerador, $1$, una constante. Sólo podría anularse el denominador si $x$ fuese infinito.

La ordenada en el origen de la función, $f(0)$, es igual a $\dfrac{1}{0-1}=\dfrac{1}{-1}=-1$

$\blacksquare$

[nota del autor]

Calcular las raíces de la función $f(x)=x^3+3\,x^2-4\,x$

Enunciado:
Calcular las raíces de la función $f(x)=x^3+3\,x^2-4\,x$

Resolución:
Imponiendo la condición para que un valor de la variable, $x$, sea raíz de la función, $f(x)=0$, vemos que $$x^3+3\,x^2-4\,x=0 \Leftrightarrow x\,(x^2+3\,x-4)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=0\\ \\\text{ó}\\x^2+3x-4=0 \Leftrightarrow {\left\{\begin{matrix}1 \\ \text{ó}\\-4 \end{matrix}\right.}\end{matrix}\right.$$

$\blacksquare$

[nota del autor]

Determinar la función lineal afín correspondiente a la recta del plano que pasa por los puntos: $A(1,1)$ y $B(-1,2)$

Enunciado:
Determinar la función lineal afín correspondiente a la recta del plano que pasa por los puntos: $A(1,1)$ y $B(-1,2)$

Resolución:
Tratándose de una función lineal afín, podemos escribirla así: $f(x)=m\,x+k$. Procedemos a determinar los coeficientes $m$ y $k$ ( pendiente y ordenada en el origen de la recta, respectivamente ):

Como $A(1,1)$ es un punto de la recta, sus coordenadas cumplen dicha ecuación, luego $1=m\cdot 1+k$, y, como $B(-1,2)$ es otro punto de la recta, entonces $2=m \cdot (-1)+k$.

Resolviendo el sistema de ecuaciones
$\left\{\begin{matrix}m+k=1 \\ \\-m+k=2 \end{matrix}\right.$

Sumando miembro a miembro ambas ecuaciones, obtenemos $k=\dfrac{3}{2}$, y, sustituyendo este valor en la primera obtenemos $m=-\dfrac{1}{2}$. Por tanto, $f(x)=-\dfrac{1}{2}\,x+\dfrac{3}{2}$

$\blacksquare$

[nota del autor]

La función $f(x)=2^x-4$ tiene una única raíz. Calcúlese dicha raíz.

Enunciado:
La función $f(x)=2^x-4$ tiene una única raíz. Calcúlese dicha raíz.

Resolución:
Sea $x=r$ dicha raíz, entonces $f(r)=0$, con lo cual $$2^r-4=0 \Leftrightarrow 2^r=4 \Leftrightarrow 2^r=2^2 \Leftrightarrow r=2$$

$\blacksquare$

[nota del autor]

Calcular la ordenada en el origen de la función $f(x)=3^x-9$

Enunciado:
Calcular la ordenada en el origen de la función $f(x)=3^x-9$

Resolución:
Llamamos ordenada en el origen de una función a la ordenada del punto de corte del gráfico de dicha función con el eje de ordenadas, que es único.
Entonces, $f(0)=3^0-9=1-9=8$

$\blacksquare$

[nota del autor]

Representar gráficamente la función $h(x)=-x^2+9$ a partir de sus elementos notables ( raíces, ordenada en el origen, coordenadas del vértice, y eje de simetría de la parábola correspodiente ).

Enunciado:
Representar gráficamente la función $h(x)=-x^2+9$ a partir de sus elementos notables ( raíces, ordenada en el origen, coordenadas del vértice, y eje de simetría de la parábola correspodiente ).

Resolución:
Veamos cuáles son los elementos notables: a) raíces: imponiendo $f(x)=0$, que es la condición necesaria para un valor de la variable independiente $x$ sea raíz de la función $f$, obtenemos $-x^2+9=0 \Leftrightarrow x^2=9 \Leftrightarrow x=\pm 3$; b) abscisa del vértice, $V$ de la parábola: abscisa del punto medio del segmento de extremos $(-3\,,\,0)$ y $(3\,,\,0)$, luego $x_v=0$, luego su ordenada es $f(0)=9$, es decir, $V(0,9)$ es el punto de corte del trazo con el eje de ordenadas, y coincide, en este caso, con el vértice de la parábola; c) el eje de simetría de la parábola: $r:x=0$ ( eje de ordenadas ).

$\blacksquare$

[nota del autor]

Sabiendo que $-3$ y $5$ son raíces de una cierta función polinómica, calcular la abscisa del vértice de la parábola, que es el gráfico de dicho función.

Enunciado:
Sabiendo que $-3$ y $5$ son raíces de una cierta función polinómica, calcular la abscisa del vértice de la parábola, que es el gráfico de dicho función.

Resolución:
La abscisa del vértice de una parábola es igual al punto medio de cualquier segmento formado por dos puntos simétricos uno del otro, por ejemplo, los puntos de corte con el eje de abscisas ( si la parábola en cuestión corta a dicho eje, claro está, y, en este caso lo hace ), luego $x_v=\dfrac{-3+5}{2}=2$

$\blacksquare$

[nota del autor]

Calcular el valor de la ordenada en el origen...

Enunciado:
Calcular el valor de la ordenada en el origen de la siguiente función $$g(x)=4\,(x-1)^3+5$$

Resolución:
La ordenada en el origen es la imagen del cero, luego $g(0)=4\,(0-1)^3+5=4\cdot (-1)^3+5=-4+5=1$

$\blacksquare$

[nota del autor]

Calcular las raíces de la función $f(x)=x^2-4\,x+5$

Enunciado:
Calcular las raíces de la función $f(x)=x^2-4\,x+5$

Resolución:
Por la condición de existencia de raíces, $f(x)=0$, podemos escribir $x^2-4\,x+5=0$ y resolviendo dicha ecuación de segundo grado, $x=\dfrac{-(-4)\pm \sqrt{(-4)^2-4\cdot 1 \cdot 5}}{2\cdot 1} \notin \mathbb{R}$, por ser el discriminante negativo, luego la función propuesta no tiene raíces ( no corta al eje de abscisas ).

$\blacksquare$

[nota del autor]

Sea la sucesión geométrica $$\{\dfrac{3}{2}\,,\,2\,,\,\dfrac{8}{3}\,,\,\dfrac{32}{9}\,,\,\dfrac{128}{27}\ldots \}$$ Se pide: a) El valor de la suma de los diez primeros términos b) El valor del producto de los diez primeros términos

Enunciado:
Sea la sucesión geométrica ( función exponencial, definida de $\mathbb{N}$ en $\mathbb{R}$ ): $$\{\dfrac{3}{2}\,,\,2\,,\,\dfrac{8}{3}\,,\,\dfrac{32}{9}\,,\,\dfrac{128}{27}\ldots \}$$
Se pide:
a) El valor de la suma de los diez primeros términos
b) El valor del producto de los diez primeros términos

Resolución:

Tratándose de una sucesión geométrica, sabemos [ ver las observaciones al margen ] que:
  $a_n=a_1\,r^{n-1}\,,\,n=1,2,3,\ldots$ ( expresión que nos da el valor del término n-ésimo )         (1)
  $S_n=a_1\,\dfrac{r^{n}-1}{r-1}$ ( expresión que nos da el valor de la suma de los $n$ primeros términos )         (2)
  $P_n=\sqrt[2]{(a_1\,a_n)^n}$ ( expresión que nos da el valor del producto de los $n$ primeros términos )         (3)

siendo $r$ es la razón geométrica de la sucesión ( constante por la cual se multiplica el valor de un término para obtener el del siguiente término ), y, por tanto, $r=\dfrac{a_2}{a_1}=\dfrac{a_3}{a_2}=\ldots$; $a_1$, el valor del primer término; $a_n$, el valor del término n-ésimo.

En el caso que nos ocupa, tenemos: $a_1=\dfrac{3}{2}$, $a_2=2$, luego $r=\dfrac{2}{3/2}=\dfrac{8/3}{2}=\dfrac{32/9}{8/3}=\ldots = 4/3$. Por tanto, $a_{10}=\dfrac{3}{2} \cdot (4/3)^9$, con lo cual podemos calcular ya las cantidades pedidas:

a)
  $S_{10}=\dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{(4/3)^{10}-1}{(4/3)-1} \approx 75,4098$ ( utilizando la calculadora y aproximando, por redondeo simétrico, a la cuarta cifra decimal )

b)
  $P_{10}=\sqrt[2]{\bigg((3/2)\cdot \big(\dfrac{3}{2}\cdot (4/3)^9\big) \bigg)^{10} } = 3897131,606$ ( utilizando la calculadora )

$\blacksquare$


Observaciones:
(1) Justificación de la expresión del término general de una s. geométrica:
Como $a_2=a_{1}\,r$, $a_3=a_2\,r=a_1\,r^2$, $a_4=a_3\,r=a_1\,r^3$, y así sucesivamente, podemos inducir que $a_n=\,a_1\,r^{n-1}$, para $n=1,2,3,\ldots$.

(2) Justificación de la expresión de la suma de los $n$ primeros términos de una s. geométrica.
La suma de los $n$ primeros términos es
$S_n=a_1+a_2+a_3+\ldots+a_n$
y por el patrón de formación de los términos, podemos escribirlo como
$S_n=a_1+a_1\,r+a_1\,r^2+\ldots+a_1\,r^{n-2}+a_1\,r^{n-1}$
multiplicando ambos miembros por $r$ podemos escribir la ecuación equivalente
$r\,S_n=a_1\,r+a_1\,r^2+a_1\,r^3+\ldots+a_1\,r^{n-1}+a_1\,r^{n-1}$
Restando, ahora, la primera ecuación de la segunda, miembro a miembro, sacando factor común de $S_n$, y despejando $S_n$, obtenemos
$$S_n=a_1\,\dfrac{r^n-1}{r-1}$$

(3) Justificación de la expresión del producto de los $n$ primeros términos de una s. geométrica.
El producto de los $n$ primeros términos de la sucesión es
$P_n=a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot \ldots \cdot a_n$
Tengamos en cuenta, ahora, la siguiente propiedad de las progresiones geométricas:
$a_1 \cdot a_n=a_2\cdot a_{n-1}=a_3\cdot a_{n-2}=\ldots=\text{constante}$
luego
$P_n=\big(a_1\cdot a_n\big)^{\frac{n}{2}}=\big((a_1\cdot a_n^{n} \big)^{\frac{1}{2}}=\sqrt[2]{(a_1\cdot a_n)^{n}}$

[nota del autor]

Aproximaciones y forma de presentar los resultados de un cálculo a partir de datos que no son exactos ( Artículo escrito en catalán )

Mètodes d'arrodoniment Mètode d'arrodoniment simètric Aquest és el mètode més senzill d'arrodoniment. Consisteix a augmentar l'última xifra que conservem en una unitat sempre que la següent xifra sigui un '5' o bé una xifra més gran que '5', per contra, quan aquesta és més petita que '5' és manté l'última xifra conservada tal com està. Exemples d'arrodoniment simètric Si no s'indica el contrari, farem servir sempre aquest mètode. Suposem que volem arrodonir a tres xifres significatives $4,6784539 \approx 4,68$ $3,455 \approx 3,46$ $7,34456345 \approx 7,34$ Si la quantitat a arrodonir és un nombre enter, primer cal arrodonir i, tot seguit, substituir per zeros les xifres que no siguin significatives. $5416433 \approx 5420000$ $5415000 \approx 5420000$ $5413126 \approx 5410000$ Mètode d'arrodoniment asimètric Un altre mètode que en la literatura anglosaxona es coneix amb el nom de round-to-even methode (1940) i que es fa servir força en ciències experimentals consisteix a fer servir un criteri una mica més acurat: Cal augmentar l'última xifra conservada sempre que la següent sigui superior a '5'; o bé, si aquesta és igual a '5', i a la seva dreta no hi cap altra xifra, sempre que l'última xifra a mostrar ocupi un lloc senar. Cal deixar invariant l'última xifra a conservar i menysprear la resta de la part decimal si la primera xifra (d'aquesta part a menysprear) és inferior a '5'; o bé si, sent aquesta justament un '5' i no havent-hi a la seva dreta cap altra xifra, l'última xifra a mostrar ocupi un lloc parell. Exemples d'arrodoniment asimètric Únicament farem servir aquest mètode si se'ns demana expressament. Suposem que volem arrodonir a tres xifres significatives $6,126 \approx 6,13$ $6,105 \approx 6,10$ $6,14500001 \approx 6,14$ En els següents exemples, arrodonirem a quatre xifres significatives: $9,0024 \approx 9,002$ $3,1266 \approx 3,127$ $7,1845 \approx 7,185$ $8,724500001 \approx 8,725$ Si la quantitat a arrodonir és un nombre enter, cal arrodonir i substituir per zeros les xifres que no siguin significatives. En els següents exemples, arrodonirem (de forma asimètrica) quantitats que no tenen part decimal, mostrant-les amb tres xifres significatives: $5416433 \approx 5420000$ $5425000 \approx 5430000$ $5425001 \approx 5430000$ $5413126 \approx 5410000$ Marge d'error màxim que afecta a una quantitat aproximada per arrodoniment Anomenem fita d'error absolut a l'error absolut més gran que es dóna, quan arrodonim una quantitat. Com a valor de la fita d'error absolut en un arrodoniment se sol prendre mitja unitat de l'ordre de l'última xifra de la quantitat arrodonida. Això garanteix que totes les xifres amb què mostrarem el resultat de l'aproximació siguin xifres significatives correctes/fiables 1 Exemples: Com a resultat d'arrodonir el nombre 45,654 a quatre xifres significatives, escriurem $45,65$, y trobem que l'error absolut es $\left| 45,654-45,65 \right| = 0,004 \prec 0,005 $; per tant prenderm com a fita d'error absoluto $\Delta = 0,005$, és a dir, $\Delta=5 \cdot 10^{-3} $, que como es pot veure es mitja unitad de l'ordre de l'última xifra del resultat de l'arrodoniment ( l'ordre de la xifra '5' es $10^{-2}$ ): $\dfrac{1}{2}\cdot 10^{-2}$ Com a resultat d'arrodonir el nombre 567942 a dues xifres significatives escriurem: $570000$. Com que l'error asbsolut comès es $\left| 567942-570000 \right|= 2058 \prec 5000$, prenem com a fita d'error absolut $\Delta = 5\cdot 10^3$, que, com es pot veure es mitja unitat de l'ordre de l'última xifra ( l'ordre de la xifra '7' es $10^4$ ) de la quantitat aproximada: $\dfrac{1}{2} \cdot 10^4$ Expressió del resultat de les operacions d'un càlcul Quan fem operacions aritmètiques a partir d'un conjunt de dades que tenen una precisió limitada, no pas totes les xifres que s'obtenen són significatives; caldrà donar el resultat final del càlcul amb la mateixa precisió que la de la dada que menys menys precisa. Concretament, pel que fa a les operacions bàsiques quan es treballa amb nombres afectats d'errors caldrà tenir en compte que el resultat final l'haurem d'adequar d'acord a les següents normes: Si les operacions són sumes (o restes), el nombre de xifres significatives a la dreta de la coma decimal no pot ser més gran que el del sumand menys precís. Exemples: $78,5 + 1,24 = 79,74 \approx 79,7$ (el sumand menys precís és 78,5 ja que només té una x.s. a la dreta de la coma, per tant el resultat no ha de tenir més d'una xifra significativa a la dreta de la coma decimal) $57643 +2,6 = 57645,6 \approx 57646$ (el sumand menys precís és la quantitat entera, per tant el resultat no pot tenir decimals). Si les operacions són multiplicacions (o bé divisions), la precisió del resultat (el nombre de xifres significatives) no pot superar la del factor menys precís. Exemples: $ 78,5 · 1,24 = 97,34 \approx 79,3$ (1,24 té tres x.s. i 78,5 també en té tres) $764,894/2,6 = 294,19 \approx 290$ (ja que el factor menys precís és 2,6 (2 x.s.) i, doncs, el resultat no en pot tenir més de dues) ---- Una xifra significativa d'una quantitat aproximada o bé d'una quantitat que prové d'una mesura és una xifra significativa correcta si la fita d'error absolut és menor que mitja unitat de l'ordre de la xifra considerada.

[nota del autor]

Calcular el área de la superficie lateral del desarrollo plano de un cilindro de $2\,\text{m}$ de radio de la base, y $5\,\text{m}$ de altura.

Enunciado:
Calcular el área de la superficie lateral del desarrollo plano de un cilindro de $2\,\text{m}$ de radio de la base, y $5\,\text{m}$ de altura.

Resolución:
$A_{lateral}=\pi\,r\,g \quad \quad (1)$, donde $r$ es el radio de la base y $g$ la generatriz. Entonces, conociendo la altura, $h$, y el radio de la base, por el Teorema de Pitágoras, sabemos que $g=\sqrt{r^2+h^2}$, luego $g=\sqrt{2^2+5^2}=\sqrt{29}\,\text{m}$, con lo cual, de (1), ya podemos calcular el área lateral, obteniendo $A_{lateral}=2\, \sqrt{29}\,\pi \, \text{m}^2$

$\blacksquare$

[nota del autor]

Calcular la longitud de la diagonal de un cubo de $2\,\text{m}$ de arista.

Enunciado:
Calcular la longitud de la diagonal de un cubo de $2\,\text{m}$ de arista.

Resolución:

Denotando por $d$ la diagonal del cubo y aplicando dos veces el Teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo de catetos pintados de color azul e hipotenusa de color rojo ( que es la diagonal pedida ) - ver figura -, podemos escribir, $d^2=2^2+x^2 \quad (1)$; como $x$ es desconocida, aplicamos también el Teorema de Pitágoras al triángulo rectángulos cuyos catetos están pintados en verde, del cual $x$ es la hipotenusa: $2^2+2^2=x^2 \quad (2)$. Sustituyendo, finalmente, la expresión de $x$ de (2) en (1), llegamos a $d^2=2^2+2^2+2^2=12$, luego $d=2\,\sqrt{3}\,\text{m}$
$\blacksquare$

[nota del autor]

Sean los puntos del plano $A(2,3)$ y $B(3,2)$ ...

Enunciado:
Sean los puntos del plano $A(2,3)$ y $B(3,2)$, por los cuales pasa una recta $r$. Encontrar:
  a) una ecuación vectorial de $r$
  b) unas ecuaciones paramétricas de $r$

Resolución:
a)
Sea $P(x,y)$ un punto cualquiera de $r$, de abscisa $x$ y ordenada $y$, entonces $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\lambda\,\overrightarrow{AB}$, siendo $\lambda \in \mathbb{R}$. Escribiendo ahora dicha relación vectorial en coordenadas: $(x,y)=(2,3)+\lambda\,(3-2,2-3)\,;\forall \lambda \in \mathbb{R} \quad \quad (1)$
b)
La ecuación vectorial (1) implica dos ecuaciones escalares ( coordenada a coordenada ): $\left\{\begin{matrix}x=2+\lambda & \\ y=3-\lambda \\\end{matrix}\right.\,;\forall \lambda \in \mathbb{R}$
$\blacksquare$

[nota del autor]

Una ecuación en forma continua de una recta, $s$, es $$\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-2}{3}$$ Se pide: a) las coordenadas de un punto de la recta de $s$ b) el valor de la pendiente de la recta $s$

Enunciado:
Una ecuación en forma continua de una recta, $s$, es $$\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-2}{3}$$ Se pide:
  a) las coordenadas de un punto de la recta de $s$
  b) el valor de la pendiente de la recta $s$

Resolución:
a)
De la ecuación en forma continua, podemos escribir, fácilmente, la ecuación punto-pendiente, esto es, $y-y_A=m\,(x-x_A)$, donde $m$ es la pendiente y $A(x_A,y_A)$ es un punto de $r$; en nuestro caso, $y-2=\dfrac{3}{2}\,(x-1)$, luego un punto de la recta viene dado por $A(1,2)$
b)
De lo anterior se sigue, también, que $m=3/2$
$\blacksquare$

[nota del autor]

Sean los puntos del plano $A(-2,3)$ y $B(4,1)$. Encontrar una ecuación de la recta, $r$, en forma continua que pasa por los puntos dados.

Enunciado:
Sean los puntos del plano $A(-2,3)$ y $B(4,1)$. Encontrar una ecuación de la recta, $r$, en forma continua que pasa por los puntos dados.

Resolución:
Una ecuación de la recta en forma continua de $r$ viene dada por
$$\dfrac{x-x_A}{x_B-x_A}=\dfrac{y-y_A}{y_B-y_A}$$
Sustituyendo las coordenadas dadas:
$$\dfrac{x-(-2)}{4-(-2)}=\dfrac{y-3}{1-3}$$
y simplificando
$$\dfrac{x+2}{6}=\dfrac{y-3}{-2}$$
$\blacksquare$

[nota del autor]

Encontrar la ecuación en forma explícita de una recta, $r$, que pasa por el origen de coordenadas y cuya pendiente es igual a $1$.

Enunciado:
Encontrar la ecuación en forma explícita de una recta, $r$, que pasa por el origen de coordenadas y cuya pendiente es igual a $1$.

Resolución:
La ecuación de una recta de una recta, $r$, en forma explícita se escribe de la forma: $y=m\,x+k$, donde $m$ es la pendiente y $k$ la ordenada del punto de corte de dicha recta con el eje de ordenadas - esto es: la ordenada en el origen -. Al pasar dicha recta por el origen de coordenadas, $O(0,0)$, la ordenada en el origen es $k=0$, y al siendo $m=1$, podemos escribir: $r:\,y=x$, que es la bisectriz del primer y tercer cuadrantes.
$\blacksquare$

[nota del autor]

Calcular el volumen, el área lateral y el ángulo del trazado ( del desarrollo plano ) de un cono cuyo radio de la base mide $4\,\text{dm}$, y cuya generatriz mide $5\,\text{dm}$.

Enunciado:
Calcular el volumen, el área lateral y el ángulo del trazado ( del desarrollo plano ) de un cono cuyo radio de la base mide $4\,\text{dm}$, y cuya generatriz mide $5\,\text{dm}$.

Resolución:
El volumen del cono viene dado por $V=\dfrac{1}{3}\,\pi\,r^2\,h$, siendo $h$ la altura del cono y que se relaciona con la generatriz, $g$, y el radio de la base, $r$, mediante el Teorema de Pitágoras: $h=\sqrt{g^2-r^2}$, luego $V=\dfrac{1}{3} \cdot \,4^2 \,\sqrt{5^2-4^2}\,\pi=16\,\pi\,\text{dm}^3$

El área lateral viene dada por $A_{lateral}=\pi\,r\,g$, donde $r$ es el radio de la base y $g$ la generatriz del cono, de aquí: $A_{lateral}=4\cdot 5\,\pi = 20\,\pi\,\text{dm}^2$

El ángulo del trazado, $\alpha$ del desarrollo plano de la superficie lateral del cono viene dado por $\alpha=\dfrac{r}{g}\cdot 360^{\circ}$, que, poniendo los datos, sale igual a $\alpha=\dfrac{4}{5}\cdot 360^{\circ}=288^{\circ}$

$\blacksquare$

[nota del autor]

Sea el vector $\vec{u}=(-1,2)$ del plano euclidiano ...

Enunciado:
Sea el vector $\vec{u}=(-1,2)$ del plano euclidiano. Representar gráficamente dicho vector, de tal modo que su origen coincida con el origen de coordenadas $O(0,0)$, y, a continuación, calcular:
  a) la longitud de dicho vector
  b) el ángulo polar del vector

Solución:

[nota del autor]

Calcular el área lateral de una pirámide recta, de base cuadrada, cuya área de la base mide $4\,\text{dm}^2$; sabiendo, además, que la altura de la pirámide es igual a $3\,\text{dm}$

Enunciado:
Calcular el área lateral de una pirámide recta, de base cuadrada, cuya área de la base mide $4\,\text{dm}^2$; sabiendo, además, que la altura de la pirámide es igual a $3\,\text{dm}$

Solución:

$\square$

[nota del autor]

La ecuación en forma explícita de una recta, $r$, es $y=2\,x+5$. Decir las coordenadas de dos puntos de dicha recta.

La ecuación en forma explícita de una recta, $r$, es $y=2\,x+5$. Decir las coordenadas de dos puntos de dicha recta.

Solución:

$\square$

[nota del autor]

Sean los puntos del plano $A(-3,5)$ y $B(4,6)$ y la recta $r$ que pasa por estos dos puntos. Se pide (...)

Enunciado:
Sean los puntos del plano $A(-3,5)$ y $B(4,6)$ y la recta $r$ que pasa por estos dos puntos. Se pide:
  (1) una ecuación vectorial de $r$
  (2) unas ecuaciones paramétricas de $r$
  (3) una ecuación de $r$ en forma continua
  (4) la ecuación de $r$ en forma explícita
  (5) la ecuación de $r$ en forma implícita ( general )
  (6) una ecuación de $r$ en forma punto-pendiente
  (7) ¿ cuál es el valor de la pendiente de la recta ?
  (8) ¿ cuál es el valor de la ordenada en el origen de dicha recta ?
  (9) ¿ cuál es el valor de la ordenada que corresponde a un punto de la recta cuya abscisa es igual a $100$ ?
  (10) ¿ cuál es el valor de la abscisa que corresponde a un punto de la recta cuya ordenada es igual a $-20$ ?

Resolución:
(1)
Sea $P(x,y)$ un punto cualquiera de $r$, entonces
$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP}$ ( por la suma de vectores ) y, como $\overrightarrow{AP} \propto \overrightarrow{AB}$ ( ambos vectores están sobre la misma recta, luego son proporcionales ), podemos escribir $\overrightarrow{AP}=\lambda\,\overrightarrow{AB}$, siendo $\lambda \in \mathbb{R}$, relación que, escrita en coordenadas, se puede poner de la forma $$(x,y)=(-3,5)+\lambda(4-(-3),6-5)\,;\,\lambda \in \mathbb{R}$$
es decir
$$r:\,(x,y)=(-3,5)+\lambda(7,1)\,;\,\lambda \in \mathbb{R}$$
Observación:   El orden en que ponemos los puntos en el segundo miembro de la ecuación es irrelevante, es decir - por ejemplo -, también encontraríamos una ecuación vectorial de $r$ igualmente válida planteándola como sigue: $$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{PA}$$

(2)
De la ecuación vectorial anterior se deducen dos ecuaciones escalares, pues la igualdad vectorial implica la igualdad respecto de las primeras coordenadas y la igualdad en respecto de las segundas coordenadas, esto es
$$\left.\begin{matrix}
x&=&-3+7\,\lambda \\ y &=& 5+\lambda \\
\end{matrix}\right\}$$

(3)
Despejando el parámetro $\lambda$ de cada una de las ecuaciones anteriores e igualando los segundos miembros, llegamos a una ecuación de la recta en forma continua
$$\dfrac{x+3}{7}=\dfrac{y-5}{1}$$

Nota:   No es imprescindible haber hecho los dos apartados anteriores para dar una respuesta a éste, pues una ecuación de la recta en forma continua puede escribirse también planteando la semejanza de dos de los triángulos que se forma al trabajar con tres puntos alineados de la recta: dos puntos de datos, que son $A(x_A,y_A)$ y $B(x_B,y_B)$, y el tercero, que es el de las variables, que es $P(x,y)$; así, pues, obtendríamos:
$$\dfrac{x-x_B}{x_B-x_A}=\dfrac{y-y_B}{y_B-y_A}$$
o, de forma, igualmente válida
$$\dfrac{x-x_A}{x_B-x_A}=\dfrac{y-y_A}{y_B-y_A}$$

Notad que las ecuación obtenida ( a partir de las ecuaciones paramétricas ) no es otra que la segunda indicada; en efecto:
$$\dfrac{x+3}{7}=\dfrac{y-5}{1}$$
se puede expresar de la forma
$$\dfrac{x-(-3)}{4-(-3)}=\dfrac{y-5}{6-5}$$

(4)
Despejando la variable dependiente, $y$, de la ecuación en forma continua, podremos escribir la ecuación en forma explícita:
$$y=\dfrac{1}{7}\,x+\dfrac{38}{7}$$

Nota:   Tampoco es necesario, en este caso, partir del apartado anterior ( de la ecuación en forma explícita ) ya que si imponemos que las coordenadas de los puntos que vienen dados satisfagan la ecuación de la recta $y=m\,x+k$, donde $m$ es la pendiente ( a determinar ) de la recta y $k$ es la ordenada en el origen ( a determinar ) de la recta, se plantea un sistema de ecuaciones lineales, que, resolviéndolo, nos permitirá determinar $m=\dfrac{1}{7}$ y $k=\dfrac{38}{7}$

(5)
A partir de la recta en forma continua resulta muy sencillo obtener la ecuación implícita, es decir, la ecuación escrita de la forma $A\,x+B\,y+C=0$; en efecto, a partir de $\dfrac{x+3}{7}=\dfrac{y-5}{1}$, y multipolicando por $7$ ambos miembros, obtenemos $x+3=7\,(y-5)$, y deshaciendo el paréntesis del segundo miembro y agrupando todos los terminos en uno de los dos miembros llegamos $x-7\,y+38=0$, con lo cual vemos que $A=1$, $B=-7$ y $C=38$.

(6)
Dado un punto, como por ejemplo $A(x_A,y_A)$ y dada la pendiente de la recta, $m$, podemos expresar la recta de la forma $y-y_A=m\,(x-x_A)$; en efecto, de la ecuación de la recta en forma continua es claro que $\dfrac{x-x_A}{x_B-x_A}=\dfrac{y-y_A}{y_B-y_A} \Rightarrow y-y_A=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\cdot (x-x_A)$, y reconociendo en $\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$ la pendiente $m$ de la recta ( por su significado geométrico ), queda justificadada así la forma punto-pendiente.

En el caso que nos ocupa: las coordenadas de $A$ son $x_A=-3$ y $y_B=5$, y, de acuerdo con lo obtenido en el apartado (4), la pendiente es $m=\dfrac{6-5}{4-(-3)}=1/7$, con lo cual, una ecuación punto-pendiente es
$$y-5=\dfrac{1}{7} \cdot (x-(-3))$$
y simplificando
$$y-5=\dfrac{1}{7} \cdot (x+3)$$

Nota:   Observemos que de la ecuación explícita, $y=m\,x+k$ ( que ya conocemos: $y=\dfrac{1}{7}\,x+\dfrac{38}{7}$ ) también se deduce el valor de la pendiente, que resulta ser $m=\dfrac{1}{7}$, así como el de la ordenada en el origen, que es $k$, y que comparando con la ecuación de la recta del problema resulta ser $k=\dfrac{38}{7}$ ( este valor se pide más adelante y diremos pues algo más sobre él ).

(7)
Este apartado lo hemos contestado ya en el anterior. Recordemos que hemos obtenido para el valor de la pendiente ( grado de inclinación de la recta ) el valor $m=\dfrac{1}{7}

Observación:   Si graduamos ambos ejes de la misma manera, encotraremos que $\tan\, \big(\angle ( r,Oy)\big) \overset{def}{=}m=1/7$

(8)
La ordenada en el origen, $k$, es ( por definición ) la ordenada del punto de corte de la recta con el eje $Oy$, luego es el valor que corresponde a la variable $y$ para $x=0$, por lo que, por la ecuación de la recta ( cualquiera de sus forma sirve, por ejemplo la forma explícita ), podemos escribir: $y(x=0)=\dfrac{1}{7}\cdot 0+\dfrac{38}{7}=\dfrac{38}{7}$

Nota:   Notemos que el valor de $k$ se obtiene directamente de la ecuación en forma explícita, $y=m\,x+k$, pues es el término independiente ( segundo miembro ); recordemos, por tanto, que ya habíamos deducido el valor de $k$ en el apartado (4).

(9)
Disponiendo ya de la ecuación de la recta, por ejemplo la de la forma explícita, tenemos ya la función $f(x)=\dfrac{1}{7}\,x+\dfrac{38}{7}$ ( en este caso, una función lineal afín ), luego podemos hacer uso de ésto para hacer cálculos como el que se nos pide en este apartado, que no es otro que $f(100)$, con lo cual obtenemos $f(100)=\dfrac{1}{7} \cdot 100+\dfrac{38}{7}=\dfrac{138}{7}\approx 19'7$

(10)
Se nos pide, ahora que calculemos el valor de la abscisa, $x$, de un punto de la recta pedida ( y cuya ecuación ya conocemos ) que tiene como ordenada $-20$, es decir, hablando en el lenguaje de funciones, se nos pide que calculemos la antiimagen de $-20$, esto es, $f^{-1}(-20)$. Para calcular dicho valor, plantemos la ecuación:
$$-20=\dfrac{1}{7}\,x+\dfrac{38}{7}$$
y resolviéndola, encontramos el valor de la abscisa pedida
$x=-140-38=-178$
luego estamos hablando del punto de la recta de coordenadas $(-178\,,\,-20)$

$\diamond$

Un día soleado observamos que la longitud de la sombra que da la fachada de un edificio mide $10 \,\text{m}$ de longitud y que, al mismo tiempo, la longitud de la sombra de una persona de $1,60\,\text{m}$ de estatura tiene una longitud de $1\,\text{m}$ ( cuando ésta está de pié ). ¿ Cuál es la altura del edificio ?.

Enunciado:
Un día soleado observamos que la longitud de la sombra que da la fachada de un edificio mide $10 \,\text{m}$ de longitud y que, al mismo tiempo, la longitud de la sombra de una persona de $1,60\,\text{m}$ de estatura tiene una longitud de $1\,\text{m}$ ( cuando ésta está de pié ). ¿ Cuál es la altura del edificio ?.

Resolución:
Por el Teorema de Tales, podemos plantear la siguiente proporción directa:
$$\dfrac{\text{altura del edificio}}{\text{longitud de la sombra del edificio}}=\dfrac{\text{altura de la persona}}{\text{longitud de la sombra de la persona}}$$
o, de forma equivalente:
$$\dfrac{\text{altura del edificio}}{\text{altura de la persona}}=\dfrac{\text{longitud de la sombre del edificio}}{\text{longitud de la sombra de la persona}}$$
denotando por $x$ a la altura del edificio y, teniendo en cuenta los datos del problema:
$$\dfrac{x}{1}=\dfrac{10}{1,60}$$
luego
$$x=\dfrac{10}{1,60}=6,25 \, \text{m}$$
$\blacksquare$

[nota del autor]

La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide $5\,\text{dm}$ y uno de los catetos, $3\,\text{dm}$. Dibujar una figura esquemática y designar con letras los elementos del triángulo ( vértices, lados y ángulos ), respetando el convenio explicado en clase, y, a continuación, calcular: el área, el perímetro y el valor de los ángulos.

Enunciado:
La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide $5\,\text{dm}$ y uno de los catetos, $3\,\text{dm}$. Dibujar una figura esquemática y designar con letras los elementos del triángulo ( vértices, lados y ángulos ), respetando el convenio explicado en clase, y, a continuación, calcular: el área, el perímetro y el valor de los ángulos.

Resolución:
Dibujando la figura:

donde: $c=5\,\text{dm}$, $a=3\,\text{dm}$ y $\gamma=90º$ (datos)

A continuación, por el Teorema de Pitágoras, $b=\sqrt{5^2-3^2}=4\,\text{dm}$

y, utilizando las razones trigonométricas básicas: $\alpha=\text{arcsen}(3/5)\approx 36º\,52^{'}$ y $\beta=\text{arcsen}(4/5)\approx 53º\,8^{'}$

El perímetro del triángulo es igual a la suma de las longitudes de sus tres lados: $P=3+4+5=12\,\text{dm}$

y a partir de los dos catetos podemos calcular el área del triángulo: $\text{Área}=\dfrac{3\cdot 4}{2}=6 \,\text{dm}^2$

$\blacksquare$

[nota del autor]