Calcúlese de cuántas maneras distintas ...

Enunciado:
Calcúlese de cuántas maneras distintas podemos realizar lo siguiente:

[a] Formar números enteros positivos mayores que $999$ y menores que $2001$ que sean múltiplos de $5$
    Ayuda:   Un número entero es múltiplo de $5$ si la cifra de las unidades de dicho número es o bien $0$ o bien $5$

(b) Formar números enteros positivos mayores que $999$ y menores que $2001$ que sean múltiplos de $4$
    Ayuda:   Un número entero es múltiplo de $4$ si el número formado por sus dos últimas cifras ( de izquierda a derecha ) es un múltiplo de $4$

(c) Formar "palabras" de $10$ bits
    Ayuda:   Un bit es la unidad matemática de información y consiste en tener una celda ocupada con un $1$ o bien con un $0$

(d) Elegir una comisión formada por $3$ representantes, siendo éstos elegidos de entre un grupo de $20$ personas

(e) Construir "palabras" formadas por $4$ caracteres elegidos entre los elementos del siguiente conjunto: $\{\text{a,e,i,o,u};0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$

(f) Vestirnos eligiendo un par de zapatos una camiseta y unos vaqueros de entre: tres pares de zapatos, dos vaqueros, y cinco camisetas

(g) Distribuir $4$ bolas indistiguibles en $3$ cajas

[h] Formar banderas de señales que tengan tres franjas verticales coloreadas o bien de negro o bien de blanco.

[i] Formar "palabras" distintas de nueve letras, cada una de las cuales tenga exactamente: $3$ A's, $4$ B's y $2$ C's.

[j] Ordenar $4$ libros ( distintos ) en un estante en el que solamente caben estos cuatro libros.

Solución:
[a]
Debemos elegir las cifras del "alfabeto" decimal para ocupar las celdas $\square \square \square \square$ del número en cuestión teniendo en cuenta que la cifra de las unidades de millar no puede ser otra que un '1' y que la de las unidades puede ser o bien '0' o bien '5' ( por la condición de múltiplo de cinco ).

Como podemos elegir la cifra de las unidades de una sóla manera ( con un '1'); la de las centenas de diez ( se supone que podemos repetir cifras ya utilizadas ); la de las decenas de diez maneras distintas, y la de las unidades de dos, por el principio de multiplicación: $n=1 \cdot 10 \cdot 10 * 2= 200$ números distintos.

Nota:   Es claro que podemos hacer el recuento de una manera alternativa: como el primer número mayor que $999$ y múltiplo de $5$ es $1000$ y el último múltiplo de cinco menor que $2001$ es $2000$, el número de múltiplos que hay en este rango es $n=$ ((último múltiplo de cinco) - ( primer múltiplo de cinco))/5, esto es $n= (2000-1000 ) \div 5 = 1000 \div 5 = 200$

(b)
Debemos elegir las cifras del "alfabeto" decimal para ocupar las celdas $\square \square \square \square$ del número en cuestión teniendo en cuenta que la cifra de las unidades de millar no puede ser otra que un '1'; por otra parte, las dos últimas cifras del ( la de las unidades y la de las decenas ) deben formar números múltiplos de cuatro, entonces, como el primer número múltiplo de cuatro es (0)$4$ y el último $96$, el número de múltiplos de cuatro que forman dichas dos últimas cifras es $(96-4)\div 4=23$. Por otra parte, la cifra de las centenas se puede elegir de $10$ maneras distintas, pues podemos repetir cifras y por tanto se puede escoger cualquier cifra de del conjunto $\{0,1,2,\ldots,9\}$. Entonces, por el principio multiplicativo, el número de múltiplos de $4$ mayores que $999$ y menores que $2001$ es $n=1\cdot 10 \cdot 23 = 230$.

(c)
Como importa el orden en que se ubican los '0's y los '1's en el conjunto de celdas $\square \square \square \square \square \square \square \square \square \square $, por el principio de multiplicación, $VR_{2,10}=2^{10}=1024$ "palabras".

(d)
En este caso no importa el orden en que se ubican los elementos en la comisión, luego se trata de un problema de combinaciones; además, hay que tener en cuenta que, lógicamente, no se pueden repetir los elementos ( no se puede repetir una persona ), por tanto $C_{30,3}=\binom{30}{3}=\dfrac{30!}{(30-3)!\,3!}=1140$

(e)
Como importa el orden de ubicación de los $15$ elementos en los cuatro sitios $\square \square \square \square$, el problema de de variaciones, y, al no haber elementos repetidos, de v. ordinarias, luego el número de manera pedido es $V_{15,4}=15\cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 = 32760$

(f)
Por el principio de multiplicación y no habiendo restricciones, el número máximo de maneras de vestirnos ( con la condición de que siempre llevamos exactamente: unos zapatos del mismo par, una camiseta y un vaquero ) es $n=3\cdot 2 \cdot 5 = 30$

(g)
Éste es un problema de combinaciones con repetición, de $4$ objetos ( bolas ) idénticos en $3$ cajas perfectamente identificables, luego el número de ordenaciones posibles es $$\displaystyle \binom{4+3-1}{3-1}=\binom{4+3-1}{4}=\binom{6}{4}=15$$


[h]
Teniendo en cuenta que importa el orden en que ponemos los colores en las tres franjas verticales y que podemos repetir colores, el problema es de variaciones con repetición, luego la solución pedida es $VR_{2,3}=2^3=8$ banderas distintas.

[i]
Éste es otro caso de permutaciones con elemenotos repetidos; tal y como leemos en el enunciado, en cada ordenación deben aparecer exactamente $3$ A's, $4$ B's y $2$ C's, luego $$PR_{4+3+2}^{4,3,2}=\dfrac{9!}{4!\,3!\,2!}=\dfrac{9\cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{2!\,3!\,4!}=\dfrac{9\cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{6 \cdot 2}=9\cdot 4 \cdot 7 \cdot 5 = 1260$$

[j]
Teniendo en cuenta que el orden de colocación de los libros es relevante, el problema planteado es de variaciones ordinarias, con el mismo número de elementos que de sitios,luego, en particular es un problema de permutaciones, y, por tanto, su solución es $P_4=4!$, esto es, $4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$. Podemos, pues, ordenarlos de veinticuatro maneras distintas.

$\square$