Dominio de definición y conjunto imagen de una función logarítmica

ENUNCIADO. Hallar el dominio de definición y el recorrido ( o conjunto imagen ) de la función $f(x)=\ln(-x+1)$

SOLUCIÓN. Teniendo en cuenta que $$D-f\overset{\text{def}}{=}\{x \in \mathbb{R}: f(x) \in \mathbb{R}\}$$ hay que imponer que $$-x+1\succ 0$$ con lo cual $$x \prec 1$$ así pues $$D_f=(-\infty\,,\,1) \subset \mathbb{R}$$

Calculemos ahora el conjunto imagen. Como $f$ es biyectiva, existe la función recíproca $f^{-1}$; y, por tanto, podremos afirmar que $$\text{Im}_f=D_{f^{-1}}$$ Veamos quien es $f^{-1}$: de $y=\ln\,{-x+1}$ deducimos que $-x+1=e^y$ y por tanto $x=1-e^y$; con lo cual $f^{-1}(x)=1-e^x$. Entonces, $D_{f^{-1}}=\mathbb{R}$ y por consiguiente $$\text{Im}_{f}=\mathbb{R}$$

Otra forma de determinar el conjunto imagen de $f$ consiste en deducirlo a partir de la gráfica de la función, que podemos representar transformando la gráfica de la función $y=\ln\,x$

En este gráfico podemos apreciar que $f$ es decrece monótonamente y que sus ordenadas barren el eje de ordenadas por completo, y, como consecuencia, el conjunto imagen está formado por todos los puntos de la recta numérica $\mathbb{R}$

$\square$

Dominio de definición y recorrido ( conjunto imagen ) de una función

ENUNCIADO. Hallar el dominio de definición y el recorrido ( o conjunto imagen ) de la función $f(x)=\ln\,(x+1)$

SOLUCIÓN. La función logaritmo sólo está definida para números positivos, luego $\text{Dom}\,f=[0,+\infty)\subset \mathbb{R}$. Veamos ahora cuál es el conjunto imagen de dicha función. Como se trata de una función biyectiva, tiene asociada una función recíproca $f^{-1}$( que es única ), y, por tanto deberá cumplirse que $\text{Dom}\,f^{-1}=\text{Im}\,f$. Calcularemos pues la función recíproca y su dominio de definición. Por la propiedad fundamental de los logaritmos podemos escribir $$x+1=e^y$$ luego $$x=e^y-1$$ Y, así, la estructura de la función recíproca es $f^{-1}(x)=e^x-1$ cuyo dominio de definición es $\mathbb{R}$, luego por la propiedad reseñada arriba concluimos que $\text{Im}\,f=\mathbb{R}$
$\square$

Determinando el dominio de definición y el conjunto imagen ( recorrido ) de una función

ENUNCIADO. Representar la gráfica de la función $f(x)=\left|\sqrt{x+1}\right|-3$ y determinar el dominio de existencia de la función y el recorrido ( o conjunto imagen ) de la misma.

SOLUCIÓN.

Ejercicio sobre las nociones de dominio de definición y recorrido de una función. ( artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Una determinada funció $f(x)$, definida de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$, té per gràfic el que podeu veure a la figura de sota. Quin és el domini d'existència de la funció ( subconjunt de nombres que tenen imatge ) ? Quin és le recorregut ( subconjunt de resultats de la funció ) ?.

Solució:
a)
Observant l'eix $Ox$, podrem saber per quins nombres està format el domini d'existència ( el subconjunt de nombres de l'eix $Ox$ que prenen algun valor ( que tenen imatge ) en algun nombre de l'eix $Oy$:
    $D_f=\{x \in \mathbb{R}: 1 \le x \le 2\} \cup \{x \in \mathbb{R}: 3 \le x \le 4\}$
és a dir ( en el llenguatge d'intervals ):
    $D_f=\left[1,2\right] \cup \left[3,4\right] \subset \mathbb{R}$
Nota:     Tots el nombres més grans que $2$ i més petits que $3$ no tenen imatge i, doncs, no pertanyen al domini d'existència de la funció.
b)
Mirant l'eix $Oy$, podrem saber per quins nombres està format el recorregut de la funció ( el subconjunt de nombres que són imatge ( que representen el valor donat per la funció ) d'algun nombre del domini d'existència ( subconjunt de l'eix $Ox$ ):
    $R_f=\{y \in \mathbb{R}: 1 \le x \le 4\} = \left[1,4\right] \subset \mathbb{R}$
$\square$

[nota del autor]

Determinar el dominio de definición de la función $f(x)=|\sqrt{x-2}|$

Enunciado:
Determinar el dominio de definición de la función $f(x)=|\sqrt{x-2}|$

Resolución:
La condición para que un número real, $x$, tenga imagen es, en este caso, $x-2 \ge 0$, luego $x \ge 2$, luego $D_{f}=[2\,,\,+\infty) \subset \mathbb{R}

$\square$

[nota del autor]

Determinar el dominio de definición y el recorrido de la función $f(x)=|\sqrt{2\,x+3}\,|$

Enunciado:
Determinar el dominio de definición y el recorrido de la función $$f(x)=|\sqrt{2\,x+3}\,|$$

Resolución:
En esta función, para que un valor de la variable independiente, $x$, tenga imagen, el argumento de la raíz ( cuadrada ) tiene que ser positivo o cero, es decir, se debe cumplir que $2\,x+3 \ge 0$, luego $x \ge -\dfrac{3}{2}$, por consiguiente $\mathcal{D}_{f}=[-\dfrac{3}{2}\,,\,+\infty) \subset \mathbb{R}$

En cuanto al recorrido, es evidente que los valores que puede tomar la variable dependiente son todos los números reales positivos, además del cero, esto es: $\mathcal{R}_f=[0,\,,\,+\infty) \subset \mathbb{R}$

$\blacksquare$

[nota del autor]