Sea el vector $\vec{u}=(1,3)$ del plano euclidiano. Representar gráficamente dicho vector, de tal modo que su origen coincida con el origen de coordenadas $O(0,0)$, y, a continuación, calcular: a) la longitud de dicho vector b) el ángulo polar del vector

Enunciado:
Sea el vector $\vec{u}=(1,3)$ del plano euclidiano. Representar gráficamente dicho vector, de tal modo que su origen coincida con el origen de coordenadas $O(0,0)$, y, a continuación, calcular:
    a) la norma o módulo del vector ( la longitud de dicho vector )
    b) el ángulo polar del vector

Resolución:

a)
Denotamos por $\left\|\vec{u}\right\|$ la longitud de dicho vector - al tratar con vectores libres ( equivalentes en dirección, módulo y sentido), se ha representado con origen en el origen de coordenadas -, que calculamos utilizando el Teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo que queda configurado entre el extremo del vector, su pie sobre el eje horizontal y el origen de dicho vector ( figura ). Entonces, $\left\|\vec{u}\right\|=|\sqrt{1^2+3^2}|=|\sqrt{10}| \approx 3$

b)
Denotamos por $\alpha$ al ángulo polar del vector ( ángulo de giro en el sentido contrario a las agujas del reloj partiendo del semieje de abscisas positivo yendo a busca la posición del mismo ); por ello, y a partir del triángulo rectángulo al que nos referíamos al calcular la norma o módulo del vector, utilizando la trigonometría elemental podemos escribir $\tan \alpha = \dfrac{3}{1}$, luego $\alpha = \text{arctan}(3) \approx 71^{\circ}\, 34^{'}$

Nota: Observemos que $0^{\circ} \prec \alpha \prec 90^{\circ}$ por estar el afijo del vector ( el extremo ) en el primer cuadrante, con lo cual, en este caso, no hace falta hacer reducciones de cuadrante a partir del resultado que obtenemos directamente de la calculadora.

$\square$

[nota del autor]