Enunciado: Consideremos una experiencia aleatoria $\mathcal{E}$ y el espacio de probabilidad dado por la terna $(\Omega, \mathcal{A} \subset \mathcal{P}(\Omega),P)$, donde $\Omega$ es el espacio muestral, $\mathcal{A}$ es una parte del conjunto de las partes $\mathcal{P}(\Omega),P)$ de $\Omega$, y $P$ la aplicación probabilidad, definida de $\mathcal{A}$ en $[0,1] \subset \mathbb{R}$. Sean dos sucesos aleatorios $A$ y $B$, entonces se sabe ( propiedad ) que $P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B )$. ¿ Cómo podemos escribir esta expresión en los casos que se indican a continuación ?: a) $A$ y $B$ son incompatibles b) $A$ y $B$ son compatibles y dependientes c) $A$ y $B$ son compatibles e independientes

Enunciado:
Consideremos una experiencia aleatoria $\mathcal{E}$ y el espacio de probabilidad dado por la terna $(\Omega, \mathcal{A} \subset \mathcal{P}(\Omega),P)$, donde $\Omega$ es el espacio muestral, $\mathcal{A}$ es una parte del conjunto de las partes $\mathcal{P}(\Omega),P)$ de $\Omega$, y $P$ la aplicación probabilidad, definida de $\mathcal{A}$ en $[0,1] \subset \mathbb{R}$.

Sean dos sucesos aleatorios $A$ y $B$, entonces se sabe ( propiedad que viene del principio de inclusión-exclusión ) que $P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B )$. ¿ Cómo podemos escribir esta expresión en los casos que se indican a continuación ?:

  a) $A$ y $B$ son incompatibles
  b) $A$ y $B$ son compatibles y dependientes
  c) $A$ y $B$ son compatibles e independientes

Solución:

a)
Si $A$ y $B$ son incompatibles, entonces $A \cap B = \varnothing$ ( suceso imposible ) y, por tanto, $P(A \cap B)=0$; luego, en estas condiciones, $P(A \cup B)=P(A)+P(B)-0 = P(A)+P(B)$

-oOo-
b)
Si $A$ y $B$ son compatibles, entonces $A \cap B \neq \varnothing$ y, por tanto, $P(A \cap B)=P(B \cap B) \succ 0$, siendo $P(A \cap B)=P(A|B)\,P(B)$ y $P(B \cap A)=P(B|A)\,P(A)$; con lo cual, $P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A|B)P(B)=P(A)+P(B)-P(B|A)P(A)$. Y en el caso en que $A$ y $B$ sean dependientes habrá que tener en cuenta que $P(A|B) \neq P(A)$ y $P(B|A) \neq P(B)$.

c)
Si además de ser $A$ y $B$ compatibles son también independientes ( $P(A|B)=P(A)$ y $P(B|A)=P(A)$ ), por lo dicho en el apartado anterior, y en estas condiciones, podremos escribir:
$P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A|B)P(B)$
    $=P(A)+P(B)-P(B)\,P(A)$

$\square$

[nota del autor]