Ejercicio 43 de la página 309 del libro base (ligeramente modificado)
ENUNCIADO. Sean el espacio muestral $\Omega=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$, asociado a una cierta experiencia aleatoria $\mathcal{E}$; y, $A=\{1,3,5,7\}$ y $B=\{3,6,9\}$, dos sucesos compuestos. Se pide:
a) Escribe el conjunto de elementos que están en $A \cup B$ ( A unión de B )
b) Escribe el conjunto de elementos que están en $A \cap B$ ( A intersección de B )
c) ¿ $A$ y $B$ son compatibles o incompatibles ?
d) Escribe el conjunto de elementos que están en $\bar{A}$ ( suceso contrario de A )
e) Escribe el conjunto de elementos que están en $\bar{B}$ ( suceso contrario de B )
AYUDA. Lee las páginas 302 y 303 del libro base
INDICACIÓN. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
NOTA 1. Si estás utilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas
SOLUCIÓN.
a)
$A \cup B = \{1,3,5,7\} \cup \{3,6,9\} = \{1,3,5,7,9\}$
b)
$A \cap B = \{1,3,5,7\} \cap \{3,6,9\} = \{3\}$
c)
$A \cap B = \{3\} \neq \emptyset \Rightarrow$ los sucesos $A$ y $B$ son campatibles
Nota: $\emptyset$ designa el conjunto vacío
d)
$\bar{A}\overset{\text{def}}{=}\Omega \setminus A =\{2,4,6,8,9,10\}$ ( todos los elementos de $\Omega$, a excepción de los que están en A )
e)
$\bar{B}\overset{\text{def}}{=}\Omega \setminus B =\{1,2,4,5,7,8,10\}$ ( todos los elementos de $\Omega$, a excepción de los que están en B )
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martes, 19 de mayo de 2020
jueves, 12 de junio de 2014
Explique los siguientes conceptos sobre probabilidad
Enunciado:
Explique los siguientes conceptos:
a) sucesos incompatibles
b) sucesos independientes
Explique qué dice:
c) el teorema de la probabilidad total
d) la regla de Laplace
Explique qué entiende por:
e) espacio muestral
f) conjunto de las partes del espacio muestral
g) espacio de probabilidad
Solución:
a)
Dos sucesos $A$ y $B$ decimos que son incompatibles si uno excluye al otro como resultado de la realización de la experiencia aleatoria a la cual están ligados. También puede decirse que dos sucesos $A$ y $B$ son incompatible si y sólo si $A \cap B = \varnothing$.
b)
Dos sucesos $A$ y $B$ son independientes si y sólo si $P(A|B)=P(A)$ y $P(B|A)=P(B)$, esto es, si no hay condicionamiento en el hecho de que se de uno, sabiendo que se ha dado ya el otro.
c)
Sea un conjunto de sucesos $\{A_i\} \quad i=1\,,\ldots\,n$ tales que la unión de todos ellos es el espacio muestral $\Omega$ y de tal modo que la intersección de cada pareja de dichos conjuntos es vacía ( son incompatibles entre sí ); sea $B$ un suceso compuesto, entonces, en estas condiciones se cumple $P(B)=P(B|A_1)\,P(A_1)+ P(B|A_2)\,P(A_2)+\ldots+P(B|A_n)\,P(A_n)$ ( Teorema de la Probabilidad Total )
d)
La regla de Laplace permite asignar probabilidad a partir de la razón entre el número de casos favorables a que se de un cierto evento y el número total de eventos que puedan darse, suponiendo que dichos sucesos sean equiprobables.
e)
Sea una experiencia aleatoria, entendemos el espacio muestral $\Omega$ como un conjunto de sucesos elementales asociados a la misma de tal forma que: i) recubren el espacio de sucesos, y ii) la intersección de todas las parejas formadas por elementos distintos es vacía.
f)
El conjunto de las partes de un espacio muestral $\Omega$ finito, de cardinal $n$ ( número de sucesos elementales de que consta ) es el conjunto de los subconjuntos del mismo, y, por tanto, el número de dichos subconjuntos ( incluyendo el conjunto vació $\varnothing$ ( suceso imposible ) y el propio espacio muestral $\Omega$ ( suceso seguro ) se demuestra que es igual a $2^n$.
g)
Dada una experiencia aleatoria $\mathcal{E}$, el espacio de probabilidad es la terna $(\Omega, \mathcal{A}, P)$, donde: $\Omega$ es el espacio muestral; \mathcal{A} representa el conjunto de sucesos ( ya sean éstos elementales o bien compuestos ) y $P$ es una aplicación de $\mathcal{A}$ en $[0,1]\subset \mathbb{R}$ que llamamos aplicación probabilidad y representa una forma de medir en dicho espacio.
$\square$
Explique los siguientes conceptos:
a) sucesos incompatibles
b) sucesos independientes
Explique qué dice:
c) el teorema de la probabilidad total
d) la regla de Laplace
Explique qué entiende por:
e) espacio muestral
f) conjunto de las partes del espacio muestral
g) espacio de probabilidad
Solución:
a)
Dos sucesos $A$ y $B$ decimos que son incompatibles si uno excluye al otro como resultado de la realización de la experiencia aleatoria a la cual están ligados. También puede decirse que dos sucesos $A$ y $B$ son incompatible si y sólo si $A \cap B = \varnothing$.
b)
Dos sucesos $A$ y $B$ son independientes si y sólo si $P(A|B)=P(A)$ y $P(B|A)=P(B)$, esto es, si no hay condicionamiento en el hecho de que se de uno, sabiendo que se ha dado ya el otro.
c)
Sea un conjunto de sucesos $\{A_i\} \quad i=1\,,\ldots\,n$ tales que la unión de todos ellos es el espacio muestral $\Omega$ y de tal modo que la intersección de cada pareja de dichos conjuntos es vacía ( son incompatibles entre sí ); sea $B$ un suceso compuesto, entonces, en estas condiciones se cumple $P(B)=P(B|A_1)\,P(A_1)+ P(B|A_2)\,P(A_2)+\ldots+P(B|A_n)\,P(A_n)$ ( Teorema de la Probabilidad Total )
d)
La regla de Laplace permite asignar probabilidad a partir de la razón entre el número de casos favorables a que se de un cierto evento y el número total de eventos que puedan darse, suponiendo que dichos sucesos sean equiprobables.
e)
Sea una experiencia aleatoria, entendemos el espacio muestral $\Omega$ como un conjunto de sucesos elementales asociados a la misma de tal forma que: i) recubren el espacio de sucesos, y ii) la intersección de todas las parejas formadas por elementos distintos es vacía.
f)
El conjunto de las partes de un espacio muestral $\Omega$ finito, de cardinal $n$ ( número de sucesos elementales de que consta ) es el conjunto de los subconjuntos del mismo, y, por tanto, el número de dichos subconjuntos ( incluyendo el conjunto vació $\varnothing$ ( suceso imposible ) y el propio espacio muestral $\Omega$ ( suceso seguro ) se demuestra que es igual a $2^n$.
g)
Dada una experiencia aleatoria $\mathcal{E}$, el espacio de probabilidad es la terna $(\Omega, \mathcal{A}, P)$, donde: $\Omega$ es el espacio muestral; \mathcal{A} representa el conjunto de sucesos ( ya sean éstos elementales o bien compuestos ) y $P$ es una aplicación de $\mathcal{A}$ en $[0,1]\subset \mathbb{R}$ que llamamos aplicación probabilidad y representa una forma de medir en dicho espacio.
$\square$
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