Ecuación de la recta en forma continua, dados dos puntos de la misma

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[Ecuación de la recta en forma continua que pasa por dos puntos dados]
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Sean los puntos del plano $A(1,0)$ y $B(4,3)$. Encuentre una ecuación de la recta que pasa por dichos puntos ¿ Cuál es el valor de la pendiente ? ¿ Cuál es el valor de la ordenada en el origen ?.

Enunciado:
Sean los puntos del plano $A(1,0)$ y $B(4,3)$. Encuentre una ecuación de la recta que pasa por dichos puntos ¿ Cuál es el valor de la pendiente ? ¿ Cuál es el valor de la ordenada en el origen ?.

Solución:

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[nota del autor]

Una ecuación en forma continua de una recta, $s$, es $$\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-3}{3}$$ Se pide: a) las coordenadas del punto de corte de la recta $s$ con el eje de ordenadas b) las coordenadas del punto de corte de la recta $s$ con el eje de abscisas

Enunciado:
Una ecuación en forma continua de una recta, $s$, es $$\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-3}{3}$$ Se pide:
    a) las coordenadas del punto de corte de la recta $s$ con el eje de ordenadas
    b) las coordenadas del punto de corte de la recta $s$ con el eje de abscisas

Resolución:

(a)
El punto de corte de una función $y=f(x)$ con el eje de ordenadas, que denotamos aquí por $A$, tiene abscisa igual a cero, esto es $x=0$, por lo que para calcular el valar que corresponde a $y$, o sea la imagen del cero, sustituimos en la ecuación y despejamos:
  $\dfrac{0-1}{2}=\dfrac{y-3}{3}$
    $y-3=-\dfrac{3}{2}$
      $y=-\dfrac{3}{2}+3$
        $y=-\dfrac{3}{2}+\dfrac{6}{2}=\dfrac{3}{2}$
Así, pues, las coordenadas de $A$ son $\big(0\,,\,\dfrac{3}{2}\big)$

(a)
El punto de corte de una función $y=f(x)$ con el eje de abscisas, que denotamos aquí por $B$, tiene ordenada igual a cero, esto es $y=0$, por lo que para calcular el valar que corresponde a $x$, llamado raiz de dicha función lineal afín, sustituimos en la ecuación y despejamos:
  $\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{0-3}{3}$
    $x-1=-1 \cdot 2 $
      $x=-2+1=-1$
Así, pues, las coordenadas de $B$ son $\big(-1\,,\,0\big)$

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[nota del autor]

Sean los puntos del plano $A(0,1)$ y $B(3,4)$. Encontrar una ecuación de la recta que pasa por dichos puntos.

Enunciado:
Sean los puntos del plano $A(0,1)$ y $B(3,4)$. Encontrar una ecuación de la recta que pasa por dichos puntos.

Resolución:
Como nos dan dos puntos de la recta, podemos escribir una ecuación en forma continua sin ninguna dificultad:
$$\dfrac{x-x_B}{x_B-x_A}=\dfrac{y-y_B}{y_B-y_A}$$
es decir
$$\dfrac{x-3}{3-0}=\dfrac{y-4}{4-1}$$
y simplificando
$$\dfrac{x-3}{3}=\dfrac{y-4}{3}$$
que es lo mismo que
$$\dfrac{x-3}{1}=\dfrac{y-4}{1}$$ ( ecuación en forma continua )

A partir de una ecuación de la recta en forma continua, podemos expresarla en su forma explícita ( $r:\,y=m\,x+k$, donde $m$ denota la pendiente de la recta y $k$ la ordenada en el origen ); para ello, basta despejar la variable dependiente $y$:
$$y=x-3+4$$
y simplificando
$$y=x+1$$

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[nota del autor]

Sean los puntos del plano $A(-2,3)$ y $B(4,1)$. Encontrar una ecuación de la recta, $r$, en forma continua que pasa por los puntos dados.

Enunciado:
Sean los puntos del plano $A(-2,3)$ y $B(4,1)$. Encontrar una ecuación de la recta, $r$, en forma continua que pasa por los puntos dados.

Resolución:
Una ecuación de la recta en forma continua de $r$ viene dada por
$$\dfrac{x-x_A}{x_B-x_A}=\dfrac{y-y_A}{y_B-y_A}$$
Sustituyendo las coordenadas dadas:
$$\dfrac{x-(-2)}{4-(-2)}=\dfrac{y-3}{1-3}$$
y simplificando
$$\dfrac{x+2}{6}=\dfrac{y-3}{-2}$$
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[nota del autor]