Sea la función polinómica de segundo grado: $f(x)=(x-1)^2-3$. Se pide: a) Determinar las coordenadas de los puntos de corte del trazo de la función con los ejes de coordenadas b) Encontrar las coordenadas del vértice de la parábola que corresponde al trazo de dicha función c) Dibujar un gráfico esquemático de dicha función, recogiendo en él todos los elementos notables

Enunciado:
Sea la función polinómica de segundo grado: $f(x)=(x-1)^2-3$. Se pide:
    a) Determinar las coordenadas de los puntos de corte del trazo de la función con los ejes de coordenadas
    b) Encontrar las coordenadas del vértice de la parábola que corresponde al trazo de dicha función
    c) Dibujar un gráfico esquemático de dicha función, recogiendo en él todos los elementos notables

Resolución:
a)

Puntos de corte con el eje de abscisas:
    Si la función corta al eje de abscisas, calculando las raíces de la función obtenemos las abscisas de dichos puntos; con lo cual buscamos valores de $x$ tales que $f(x)=0$, es decir, las soluciones de la ecuación $(x-1)^2-3=0$, que es equivalente a $(x-1)^2=3 \Leftrightarrow x-1=\pm |\sqrt{3}| \Leftrightarrow x=1\pm |\sqrt{3}|$, con lo qual obtenemos dos raíces: $x_1=1 - |\sqrt{3}| \approx -0,7$ y $x_2=1+ |\sqrt{3}| \approx 2,7$, por lo que la función corta al eje de abscisas en dos puntos: $A(1- |\sqrt{3}|\,,\,0)$ y $B(1+ |\sqrt{3}|\,,\,0)$

Puntos de corte con el eje de ordenadas: Siendo el dominio de definición la recta al completo de los n úmeros reales, hay un sólo punto de corte, de ordenada igual a $f(0)$, pues la abscisa de un punto tal ha de ser cero; entonces, $f(0)=(0-1)^2-3=1-3=-2$, luego dicho punto de corte tiene coordenadas $C(0\,,\,-2)$

b)
Podemos considerar la función dada, que es una función cuadrática ( una parábola ), como el resultado de trasladar el trazo ( se traslada com si se tratase de un alambre rígido ) de otra función cuadrática más sencilla, que es $y=x^2$, y cuyo vértice está en el origen de coordenadas. Caben dos traslaciones: (1) una traslación horizontal en el sentido positivo del eje $Ox$, desde el origen de coordenadas, lo cual nos lleva la parábola original a la posición del plano con el vértice en el punto $(1,0)$, describiéndose dicho trazo de la forma $y=(x-1)^2$. A continuación, y a partir de la posición en la que acabamos de dejar el trazo, debemos hacer otra traslación más; esta vez, de tres unidades en el sentido negativo del eje $Oy$, lo cual nos lleva la parábola obtenida por la primera traslación a la posición del plano tal que su vértice es el punto $V(1\,,\,-3)$. Éste es, pues, el vértice de la parábola descrita por la función $f(x)=(x-1)^2-3$.

Nota:   El orden de las traslaciones es irrelevante.

c)

Nota:   En lugar de hacer la representación gráfica por traslaciones, que es muy elegante, también podríamos haberla hecho recogiendo todos los elementos notables de la parábola. Así, como sabemos que la recta o eje de simetría ( que toda parábola tiene ) es la mediatriz de los puntos $A(1- |\sqrt{3}|\,,\,0)$ y $B(1+ |\sqrt{3}|\,,\,0)$ de corte con el eje de abscisas, basta calcular la abscisa del vértice $V$ haciendo la semisuma de las abscisas de los puntos de corte, luego $x_v=\dfrac{(1- |\sqrt{3}|)+(1+ |\sqrt{3}|)}{2}=1$, y, por tanto, $y_v \underset{def}{=}f(x_v)=f(1)=(1-1)^2-3=0-3=-3$. Recordemos que conocemos también las coordenadas del punto de corte con el eje $Oy$, de todo lo cual, podemos dibujar el mismo trazo que hemos encontrado con las traslaciones.

Conviene comentar, sin embargo, que en caso de no cortar la parábola al eje $Ox$, o sea, si la función no tuviese raíces ( que no es el caso ), ¿ cómo calcularíamos la abscisa $x_V$ del vértice ?. Bien, pues, lo haríamos de una forma parecida, solo que, en ese caso, deberíamos cortar la parábola por cualquier recta paralela al eje de abscisas ( ya que éste no la corta ), obteniendo, así, dos puntos de corte con la misma, $A'$ y $B'$, que, al ser la curva simétrica, y por tanto siendo válida la propiedad de que la recta de simetría pasa por el punto medio del segmento ( paralelo al eje $Ox$ ) formado por dichos dos puntos, haciendo un cálculo sencillo, se obtiene que, si expresamos la función de la forma equivalente $f(x)=a\,x^2+b\,x+c$, la abscisa del vértice es $x_V=-\dfrac{b}{2a}$

Comprobemoslo con el propio ejercicio: Expresando la función $f(x)=(x-1)^2-3$ de la forma indicada ( forma general ), podemos escribirla así $f(x)=x^2-2x-2$ ( basta con desarrollar la potencia del binomio y agrupar los términos semejantes), de lo cual vemos que: $a=1$, $b=-2$ y $c=-2$. Entonces, aplicando la expresión que permite calcular la abscisa del vértice sin conocer previamente las raíces ( o incluso sin que las haya ), obtenemos $x_V=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-2}{2\cdot 1}=1$, como debe ser.

$\square$

[nota del autor]