Sea un número entero positivo $m$, ¿ de cuántas maneras podremos escribirlo como suma de $n$ números enteros (no negativos) menores que $m$, esto es, de la forma $m=c_1+c_2+\ldots+c_n$ donde $n \le m$ ?.

Enunciado:
Sea un número entero positivo $m$, ¿ de cuántas maneras podremos escribirlo como suma de $n$ números enteros (no negativos) menores que $m$, esto es, de la forma $m=c_1+c_2+\ldots+c_n$ donde $n \le m$ ?.

Solución:
Este problema no es sencillo y requiere que investiguemos un poco.

De la misma manera que hemos hecho en el problema de colocar $m$ bolas indistinguibles en un conjunto de $n$ cajas, escogemos un código adecuado que permita representar la naturaleza esencial del problema con el fin de poder aprovechar ideas que ya han funcionado en problemas similares. Imaginemos que los $n$ sumandos son "las cajas", separadas por $n-1$ "tabiques", que representaremos mediante los símbolos separadores ("|"). Las cifras (las "bolas"), las representaremos con el símbolo "x" y deben ubicarse en el conjunto de las $n$ "cajas", sin que haya ninguna restricción en el números de ocupación de las cajas ( algunas pueden quedar sin ocupación). Hagamos algunas simulaciones sencillas con lapiz y papel:

Consideremos, por ejemplo, el caso que el número a descomponer sea $m$=4, y que el número de sumandos ("cajas" ) sea $n=3$; entonces, necesitamos $3-1=2$ "tabiques" o símbols separadores. Éstas son algunas ordenaciones posibles:

a)         x|xx|x     ( lo cual significa escribir el número $4$ de la forma $4=1+2+1$ )
b)         xxxx||     ( lo cual significa escribir el número $4$ de la forma $4=4+0+0$ )
c)         x|x|xx     ( lo cual significa escribir el número $4$ de la forma $4=1+1+2$ )
d)         ||xxxx     ( lo cual significa escribir el número $4$ de la forma $4=0+0+4$ )
e)         x|xxx|     ( lo cual significa escribir el número $4$ de la forma $4=1+3+0$ )
                ...


Por supuesto, se pueden escribir muchas más, pero con estas cinco, es fácil darse cuenta de que aparecen $\dfrac{4+3-1}{4!\,(3-1)!}=15$ posibilidades.

$\square$

[nota del autor]