Sean los puntos del plano $A(2,3)$ y $B(3,2)$ ...

Enunciado:
Sean los puntos del plano $A(2,3)$ y $B(3,2)$, por los cuales pasa una recta $r$. Encontrar:
  a) una ecuación vectorial de $r$
  b) unas ecuaciones paramétricas de $r$

Resolución:
a)
Sea $P(x,y)$ un punto cualquiera de $r$, de abscisa $x$ y ordenada $y$, entonces $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\lambda\,\overrightarrow{AB}$, siendo $\lambda \in \mathbb{R}$. Escribiendo ahora dicha relación vectorial en coordenadas: $(x,y)=(2,3)+\lambda\,(3-2,2-3)\,;\forall \lambda \in \mathbb{R} \quad \quad (1)$
b)
La ecuación vectorial (1) implica dos ecuaciones escalares ( coordenada a coordenada ): $\left\{\begin{matrix}x=2+\lambda & \\ y=3-\lambda \\\end{matrix}\right.\,;\forall \lambda \in \mathbb{R}$
$\blacksquare$

[nota del autor]