Volumen de aire que necesitamos para respirar

ENUNCIADO. Se estima que al respirar diariamente necesitamos $8 \, \text{m}^3$ de aire. ¿ Qué volumen de aire necesitamos para respirar durante $1$ hora ? Según la estimación del enunciado, ¿ cuántos litros de aire espiramos e inspiramos cada minuto ?

SOLUCIÓN. Denotemos por $x$ el volumen de aire que utilizamos ( inspiramos/expiramos ) cada hora. Entonces, habida cuenta de la proporción directa entre el volumen de aire y el tiempo, podemos plantear la siguiente proporción $$\dfrac{8}{24}=\dfrac{x}{1} \Rightarrow x=\dfrac{1}{3} \approx 0,333\, \text{m}^3 = 333 \, \dfrac{\text{dm}^3}{\text{h}}$$
Como $1 \,\text{dm}^3$ equivale a $1\, \text{L}$ de capacidad, entonces $333\,\text{dm}^3$ suponen $333\,\text{L}$, luego la respuesta a la segunda pregunta es $$ 333 \, \dfrac{\text{L}}{\text{h}} \cdot \, \dfrac{1}{60}\,\dfrac{\text{h}}{\text{min}}=5,5 \, \dfrac{\text{L}}{\text{min}}$$
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Si una magnitud $A$ es directamente proporcional a otra ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Si una magnitud, $A$, és directament proporcional a una altra magnitud, $B$, i aquesta és inversament proporcional a una tercera magnitud, $C$. Com són $A$ i $C$ ?.

Solució:
Si $A$ és directament proporcional a $B$ ( $A \propto B$ ), llavors $A=k\,B$ ( on $k \in \mathbb{R}$ és la constant de proporcionalitat directa )
I, si $B$ és inversament proporcional a $C$ ( $B \propto \frac{1}{C}$ ) , llavors
$B=k^{'}\,\frac{1}{C}$ ( on $k^{'} \in \mathbb{R}$ és la constant de proporcionalitat inversa )
Per tant, substituint l'expressió de $B$ de la segona relació en el segon membre de la primera, trobem
    $A=k\,k^{'}\,\dfrac{1}{C}$
    $A \propto \,\dfrac{1}{C}$
    $A$ és inversament proporcional a $C$.
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[nota del autor]

Ejercicio de reparto directamente proporcional

[nota del autor]

Un día soleado observamos que la longitud de la sombra que da la fachada de un edificio mide $10 \,\text{m}$ de longitud y que, al mismo tiempo, la longitud de la sombra de una persona de $1,60\,\text{m}$ de estatura tiene una longitud de $1\,\text{m}$ ( cuando ésta está de pié ). ¿ Cuál es la altura del edificio ?.

Enunciado:
Un día soleado observamos que la longitud de la sombra que da la fachada de un edificio mide $10 \,\text{m}$ de longitud y que, al mismo tiempo, la longitud de la sombra de una persona de $1,60\,\text{m}$ de estatura tiene una longitud de $1\,\text{m}$ ( cuando ésta está de pié ). ¿ Cuál es la altura del edificio ?.

Resolución:
Por el Teorema de Tales, podemos plantear la siguiente proporción directa:
$$\dfrac{\text{altura del edificio}}{\text{longitud de la sombra del edificio}}=\dfrac{\text{altura de la persona}}{\text{longitud de la sombra de la persona}}$$
o, de forma equivalente:
$$\dfrac{\text{altura del edificio}}{\text{altura de la persona}}=\dfrac{\text{longitud de la sombre del edificio}}{\text{longitud de la sombra de la persona}}$$
denotando por $x$ a la altura del edificio y, teniendo en cuenta los datos del problema:
$$\dfrac{x}{1}=\dfrac{10}{1,60}$$
luego
$$x=\dfrac{10}{1,60}=6,25 \, \text{m}$$
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[nota del autor]

En unas rebajas en las que se hacía un $5\,\%$ de descuento sobre el precio de todos los productos, una camiseta nos costó $20\,\text{\euro}$. ¿ Cuánto habríamos pagado si no nos hubiesen hecho el descuento ?.

Enunciado:
En unas rebajas en las que se hacía un $5\,\%$ de descuento sobre el precio de todos los productos, una camiseta nos costó $20\,\text{\euro}$. ¿ Cuánto habríamos pagado si no nos hubiesen hecho el descuento ?.

Resolución:
Planteando la proporción directa entre las magnitudes valor nominal y cantidad pagada:
$$\dfrac{\text{cantidad a pagar}_1}{\text{valor nominal}_1}=\dfrac{\text{cantidad a pagar}_2}{\text{valor nominal}_2}$$
luego, denotando por $x$ el precio del producto, y teniendo en cuenta los datos del problema:
$$\dfrac{100-5}{100}=\dfrac{20}{x}$$
que también podemos escribir de la forma
$$\dfrac{100}{100-5}=\dfrac{x}{20}$$
luego
$$20\cdot 100=95\,x$$
y despejando la incógnita
$$x=\dfrac{2000}{95} \approx 21,05 \; \text{euro}$$

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[nota del autor]