Determinar el valor de $x$ ( número entero positivo ) que cumple, en cada caso independientemente, las siguientes igualdades: (a) $\binom{x}{2}=45$ (b) $V_{x,2}=12$ (c) $x\,(x-1)\cdot \ldots\cdot2 \cdot 1=24$ [d] $8\,PR_{x+1}^{2,4}=P_x$ [e] $3\,V_{x,2}=10\,C_{x-1,2}$

Enunciado:
Determinar el valor de $x$ ( número entero positivo ) que cumple, en cada caso independientemente, las siguientes igualdades:

(a) $\binom{x}{2}=45$

(b) $V_{x,2}=12$

(c) $x\,(x-1)\cdot \ldots\cdot2 \cdot 1=24$

[d] $8\,PR_{x+1}^{2,4}=P_x$

[e] $3\,V_{x,2}=10\,C_{x-1,2}$

Solución:
(a)
$\binom{x}{2}=45$
  $\dfrac{x!}{(x-2)!\,2!}=45$
    $\dfrac{x\,(x-1)\,(x-2)!}{(x-2)!\,2!}=45$
      $\dfrac{x\,(x-1)}{2!}=45$
        $x\,(x-1)=90$
          $x^2-x-90=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-(-1)\pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot (-90) \cdot 1}}{2 \cdot 1}=\left\{\begin{matrix}\dfrac{1+19}{2}=10 \\ \\\dfrac{1-19}{2}=-9 \\ \end{matrix}\right.$
y tomando el valor positivo: $x=10$

(b)
$V_{x,2}=12$
  $x\,(x-1)=12$
    $x^2-x-12=0$
      $x^2-x-12=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-(-1)\pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot (-12) \cdot 1}}{2 \cdot 1}=\left\{\begin{matrix}\dfrac{1+9}{2}=5 \\ \\\dfrac{1-9}{2}=-4 \\ \end{matrix}\right.$
y tomando el valor positivo: $x=5$

(c)
$x\,(x-1)\cdot \ldots\cdot2 \cdot 1=24$
  $x!=24 \Leftrightarrow x=4$ ya que $4\cdot 3\cdot 2 \cdot 1 =24$

[d]
$8\,PR_{x+1}^{2,4}=P_x$
  $8\cdot \dfrac{(x+1)!}{2!\,4!}=x!$
    $8\cdot \dfrac{(x+1)\,x!}{2\cdot 4 \cdot 3!}=x!$
      $\dfrac{(x+1)}{6}=1$
        $x+1=6$
          $x=5$

[e]
$3\,V_{x,2}=10\,C_{x-1,2}$
  $3x(x-1)=10\cdot \dfrac{(x-1)(x-2)(x-3)!}{2(x-3)!}$
    $3x(x-1)=5(x-1)(x-2)$
      $3x=5(x-2)$
      $2x=10$
        $x=5$

$\square$

[nota del autor]