Una urna contiene $3$ bolas blancas y $4$ bolas negras. Realizamos la extracción, al azar, de tres bolas, de forma sucesiva, sin reemplazar las bola precedente al extraer la siguiente. (a) Calcular la probabilidad de que las tres bolas no sean del mismo color (b) A partir de este experimento aleatorio, se plantea el siguiente juego de apuestas: En caso de que las bolas extraídas sean del mismo color, se obtiene una puntuación de $+2$ puntos, y, de no ser así, se obtiene una puntuación de $-1$ puntos. ¿ Cuál es el valor esperado de la ganancia de puntos ? ¿ Qué podríamos aconsejar a una persona que se plantea la posibilidad de aceptar ese juego de apuestas ?.

Enunciado:
Una urna contiene $3$ bolas blancas y $4$ bolas negras. Realizamos la extracción, al azar, de tres bolas, de forma sucesiva, sin reemplazar las bola precedente al extraer la siguiente.

(a) Calcular la probabilidad de que las tres bolas no sean del mismo color

(b) A partir de este experimento aleatorio, se plantea el siguiente juego de apuestas: En caso de que las bolas extraídas sean del mismo color, se obtiene una puntuación de $+2$ puntos, y, de no ser así, se obtiene una puntuación de $-1$ puntos. ¿ Cuál es el valor esperado de la ganancia de puntos ? ¿ Qué podríamos aconsejar a una persona que se plantea la posibilidad de aceptar ese juego de apuestas ?.

Solución:

a)
La probabilidad de que las tres bolas sean del mismo color es
$P\big((B_1 \cap B_2 \cap B_3) \cup (N_1 \cap N_2 \cap N_3)\big)$
y por ser $B_1 \cap B_2 \cap B_3$ y $N_1 \cap N_2 \cap N_3$ sucesos incompatibles, dicha probabilidad es igual a
$P\big(B_1 \cap B_2 \cap B_3\big) + P\big(N_1 \cap N_2 \cap N_3\big)$
y por el condicionamiento de sucesos ( ver figura ), siguiendo las aristas del árbol y aplicando el principio de multiplicación podemos escribir lo anterior de la forma
$P(B_1)\,P(B_2|B_1)\,P(B_3 | B_1 \cap B_2)+P(N_1)\,P(N_2|N_1)\,P(N_3 | N_1 \cap N_2)$
    $=\dfrac{3}{7} \cdot \dfrac{2}{6} \cdot \dfrac{1}{5} + \dfrac{4}{7} \cdot \dfrac{3}{6} \cdot \dfrac{2}{5}=\dfrac{1}{7}$

( Figura: Dibujando el diagrama de árbol podemos esclarecer el cálculo, que se basa en la aplicación de los principios de suma y multiplicación, siguiendo los caminos indicados que llevan a los dos sucesos que aportan probabilidad a la situación planteada. De este modo, incluso podemos hacer el cálculo prescindiendo del formalismo utilizado arriba, si bien dicho formalismo es necesario a estas alturas del curso, en el que las nociones de sucesos compatibles/incompatibles y dependientes/independientes ya han sido estudiados con suficiente detalle. )

Así, pues, la probabilidad de que las tres bolas no sean del mismo color es $1-\dfrac{1}{7}=\dfrac{6}{7}$ ( por la propiedad del suceso contrario )

b)
Calculando la esperanza matemática vemos que la ganancia de puntos esperada es
  $(+2)\cdot \dfrac{1}{7}+(-1)\cdot \dfrac{6}{7}=-\dfrac{6}{7}$, por lo que, al ser negativa, debemos aconsejar a quien se le propone el juego que no juegue, pues de hacerlo de manera continuada, a pesar de poder ganar alguna vez, perdería la mayor parte de las veces y, por tanto, se arruinaría.

$\square$

[nota del autor]