Ejercicio 1 de la semana del 23 al 29 de marzo de 2020 - parábolas

ENUNCIADO. Halla la ecuación de la parábola que cumple las siguientes condiciones:
i) Su vértice es el punto $V(-1/4,-9/8)$
ii) Corta al eje de ordenadas en el punto $C(0,-1)$

NOTA 1. Si estás ulitilizando un smartphone, haz clic en "ver como página web" ( al final de la página ) para poder ver las fórmulas matemáticas

SOLUCIÓN.

Ejercicio número 6 de la semana del 16 al 22 de marzo - funciones cuadráticas

Ejercicio número 45 de la página 216 del libro base

ENUNCIADO. Calcula las coordenadas de los puntos de corte de las gráficas de las siguientes funciones cuadráticas ( parábolas ) $$y=x^2-2x-3$$ $$y=-x^2-2x+5$$ Represéntalas gráficamente en un mismo diagrama cartesiano y comprueba que te sale el mismo número de puntos de intersección que el que has encontrado algebraicamente.

SOLUCIÓN.

Ejercicio 3 de la semana del 16 al 22 de marzo de 2020 - Representación gráfica de una parábola por transformaciones geométricas

ENUNCIADO. A partir de la gráfica de la parábola que corresponde a la función cuadrática $y=x^2$, realiza una representación gráfica esquemática de la parábola $y=x^2-4x+3$ mediante transformaciones geométricas. Sin hacer cálculos, halla las coordenadas del vértice de dicha parábola y la ecuación de su recta de simetría.

NOTA. En un plazo máximo de 48 horas añadiré la solución en esta misma entrada.

Ejercicio 2 de la semana del 9 de marzo al 15 de marzo de 2020

ENUNCIADO. Se considera la función cuadrática $f(x)=-x^2+x-3$, cuya gráfica - como es sabido - es una parábola. Halla los elementos notables y dibuja una representación gráfica de la curva a partir de los mismos.

SOLUCIÓN.

Funciones cuadráticas ( 4.º ESO )

Elementos notables de una parábola. Funciones ( 4.º ESO )

Funciones cuadráticas. Parábolas. Elementos notables

ENUNCIADO. Hallar los elementos notables de la parábola $f(x)=(x+2)^2-1$ y dibujar la gráfica.

SOLUCIÓN.
Raíces: $0=(x+2)^2-1 \Leftrightarrow x+2=\pm 1 \Leftrightarrow x=-2\pm 1 \Rightarrow x=\left\{\begin{matrix}-2+1=-1\\ \\ -2-1= -3\end{matrix}\right.$
Entonces, $r_1=-3$ y $r_2=-1$. Hay pues dos puntos de corte con el eje de abscisas: $A_1(-3,0)$ y $A_2(-1,0)$

Vértice de la parábola: $x_v=\dfrac{r_1+r_2}{2}=\dfrac{-1+(-3)}{2}=-2$; $y_v=f(x_V)=f(-2)=(-2+2)^2-1=-1$. Luego el vértice es $V(-2,-1)$

Ecuación de la recta de simetría de la parábola: $x=x_v$, esto es, $\text{r.s.}:x=-2$

Ordenada en el origen: $f(0)=(0+2)^2-1=4-1=3$. Así pues el punto de corte con el eje de ordenadas es $B(0,3)$

Gráfica de la función:

$\square$

Hallar los elementos notables de la función cuadrática ...

ENUNCIADO.
Sea la función $f(x)=x^2-4x+3$. Se pide:
a) Determinar las raíces de dicha función
b) Calcular la ordenada en el origen
c) Calcular las coordenadas del punto de ordenada mínima
d) Representar la gráfica de la función

SOLUCIÓN.
a)
Las raíces de una función polinómica forman el conjunto $\{x\in \mathbb{R}: f(x)=0\}$; imponiendo, pues, la condición $f(x)=0$, vemos que las raíces son las soluciones de la ecuación de segundo grado $x^2-4x+3=0$, por tanto, y teniendo en cuenta que los coeficientes del polinomio del primer miembro son $a=1$, $b=-4$ y $c=3$, encontramos: $$x^2-4x+3=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-(-4)\pm\sqrt{(-4)^2-4\cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}=\left\{\begin{matrix}-3\\\\-1\end{matrix}\right.$$ y por tanto la gráfica de la función corta al eje de abscisas en los puntos $A(3,0)$ y $B(1,0)$

b)
La ordenada en el origen es la imagen de $x=0$: $$f(0)=0^2-4\cdot 0+3=3$$ luego la gráfica de la función corta al eje de ordenadas en el punto $C(0,3)$

c)
La función dada es cuadrática ( polinomio de segundo grado ), luego la gráfica de la función es una parábola, que se abre en el sentido positivo del eje de ordenadas, pues el coeficiente de grado dos es mayor que cero ( $a=1 > 0 $ ); de ahí que nos pidan el punto de ordenada mínima, que no es otro ( en este caso ) que el vértice de la parábola. La abscisa del vértice de una parábola se calcula, en general, mediante la fórmula $x_V=-\dfrac{b}{2a}$ ( tal como se ha justificado en clase ) y, por tanto, poniendo los datos obtenemos $$x_V=-\dfrac{-4}{2\cdot 1}=2$$


Nota 1. También podemos calcularlo, en este caso que la función tiene raíces, de otra forma: a partir de las mismas, basta obtener el punto medio del segmento $AB$, estoe es $x_V=\dfrac{3+1}{2}=2$

La ordenada del vértice ( la ordenada mínima ), $y_V$, es la imagen de $x_V$, luego $$y_V=f(x_V)=f(2)=2^2-4\cdot 2+3=-1$$
Así, pues, el punto de ordenada mínima es $$V(2,-1)$$


Nota 2. Por el vértice de la parábola pasa la recta de simetría, paralela al eje de ordenadas, y que, por tanto, tiene por ecuación: $x=2$


d)
Reuniendo toda la información que hemos encontrado ( elementos notables de la función cuadrática dada ) podemos ya representar su gráfica:

$\square$

Representar la parábola ...

ENUNCIADO. Representar la gráfica de la función $f(x)=x^2+5x+6$

SOLUCIÓN.
Primero, vamos a calcular los elementos notables de dicha función cuadrática, cuya gráfica es una parábola.

Raíces: valores del dominio de definición que anulan la función; $f(x)=0 \Leftrightarrow x^2+5x+6=0 \Leftrightarrow x=\left\{\begin{matrix}-3\\ \\ -2 \end{matrix}\right.$

Ordenada en el origen: $f(0)=0^2+5 \cdot 0 + 6 = 6$

Coordenadas del vértice de la parábola:
$x_V=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{5}{2\cdot 1}=-\dfrac{5}{2}$
$y_V=f(x_V)=f(-\dfrac{5}{2})=-\dfrac{1}{4}$

Recta de simetría: $x=-\dfrac{5}{2}$

Representación gráfica:

$\square$

Sea la función polinómica de segundo grado: $f(x)=(x-1)^2-3$. Se pide: a) Determinar las coordenadas de los puntos de corte del trazo de la función con los ejes de coordenadas b) Encontrar las coordenadas del vértice de la parábola que corresponde al trazo de dicha función c) Dibujar un gráfico esquemático de dicha función, recogiendo en él todos los elementos notables

Enunciado:
Sea la función polinómica de segundo grado: $f(x)=(x-1)^2-3$. Se pide:
    a) Determinar las coordenadas de los puntos de corte del trazo de la función con los ejes de coordenadas
    b) Encontrar las coordenadas del vértice de la parábola que corresponde al trazo de dicha función
    c) Dibujar un gráfico esquemático de dicha función, recogiendo en él todos los elementos notables

Resolución:
a)

Puntos de corte con el eje de abscisas:
    Si la función corta al eje de abscisas, calculando las raíces de la función obtenemos las abscisas de dichos puntos; con lo cual buscamos valores de $x$ tales que $f(x)=0$, es decir, las soluciones de la ecuación $(x-1)^2-3=0$, que es equivalente a $(x-1)^2=3 \Leftrightarrow x-1=\pm |\sqrt{3}| \Leftrightarrow x=1\pm |\sqrt{3}|$, con lo qual obtenemos dos raíces: $x_1=1 - |\sqrt{3}| \approx -0,7$ y $x_2=1+ |\sqrt{3}| \approx 2,7$, por lo que la función corta al eje de abscisas en dos puntos: $A(1- |\sqrt{3}|\,,\,0)$ y $B(1+ |\sqrt{3}|\,,\,0)$

Puntos de corte con el eje de ordenadas: Siendo el dominio de definición la recta al completo de los n úmeros reales, hay un sólo punto de corte, de ordenada igual a $f(0)$, pues la abscisa de un punto tal ha de ser cero; entonces, $f(0)=(0-1)^2-3=1-3=-2$, luego dicho punto de corte tiene coordenadas $C(0\,,\,-2)$

b)
Podemos considerar la función dada, que es una función cuadrática ( una parábola ), como el resultado de trasladar el trazo ( se traslada com si se tratase de un alambre rígido ) de otra función cuadrática más sencilla, que es $y=x^2$, y cuyo vértice está en el origen de coordenadas. Caben dos traslaciones: (1) una traslación horizontal en el sentido positivo del eje $Ox$, desde el origen de coordenadas, lo cual nos lleva la parábola original a la posición del plano con el vértice en el punto $(1,0)$, describiéndose dicho trazo de la forma $y=(x-1)^2$. A continuación, y a partir de la posición en la que acabamos de dejar el trazo, debemos hacer otra traslación más; esta vez, de tres unidades en el sentido negativo del eje $Oy$, lo cual nos lleva la parábola obtenida por la primera traslación a la posición del plano tal que su vértice es el punto $V(1\,,\,-3)$. Éste es, pues, el vértice de la parábola descrita por la función $f(x)=(x-1)^2-3$.

Nota:   El orden de las traslaciones es irrelevante.

c)

Nota:   En lugar de hacer la representación gráfica por traslaciones, que es muy elegante, también podríamos haberla hecho recogiendo todos los elementos notables de la parábola. Así, como sabemos que la recta o eje de simetría ( que toda parábola tiene ) es la mediatriz de los puntos $A(1- |\sqrt{3}|\,,\,0)$ y $B(1+ |\sqrt{3}|\,,\,0)$ de corte con el eje de abscisas, basta calcular la abscisa del vértice $V$ haciendo la semisuma de las abscisas de los puntos de corte, luego $x_v=\dfrac{(1- |\sqrt{3}|)+(1+ |\sqrt{3}|)}{2}=1$, y, por tanto, $y_v \underset{def}{=}f(x_v)=f(1)=(1-1)^2-3=0-3=-3$. Recordemos que conocemos también las coordenadas del punto de corte con el eje $Oy$, de todo lo cual, podemos dibujar el mismo trazo que hemos encontrado con las traslaciones.

Conviene comentar, sin embargo, que en caso de no cortar la parábola al eje $Ox$, o sea, si la función no tuviese raíces ( que no es el caso ), ¿ cómo calcularíamos la abscisa $x_V$ del vértice ?. Bien, pues, lo haríamos de una forma parecida, solo que, en ese caso, deberíamos cortar la parábola por cualquier recta paralela al eje de abscisas ( ya que éste no la corta ), obteniendo, así, dos puntos de corte con la misma, $A'$ y $B'$, que, al ser la curva simétrica, y por tanto siendo válida la propiedad de que la recta de simetría pasa por el punto medio del segmento ( paralelo al eje $Ox$ ) formado por dichos dos puntos, haciendo un cálculo sencillo, se obtiene que, si expresamos la función de la forma equivalente $f(x)=a\,x^2+b\,x+c$, la abscisa del vértice es $x_V=-\dfrac{b}{2a}$

Comprobemoslo con el propio ejercicio: Expresando la función $f(x)=(x-1)^2-3$ de la forma indicada ( forma general ), podemos escribirla así $f(x)=x^2-2x-2$ ( basta con desarrollar la potencia del binomio y agrupar los términos semejantes), de lo cual vemos que: $a=1$, $b=-2$ y $c=-2$. Entonces, aplicando la expresión que permite calcular la abscisa del vértice sin conocer previamente las raíces ( o incluso sin que las haya ), obtenemos $x_V=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-2}{2\cdot 1}=1$, como debe ser.

$\square$

[nota del autor]