Midiendo los valores de una cierta característica $X$ ( variable estadística ) en una población se ha recogido la siguiente información: $20$ valores en el intervalo $[0\,,\,10)$; $50$ valores en el intervalo $[10\,,\,20)$; $80$ valores en el intervalo $[20\,,\,30)$; $40$ valores en el intervalo $[30\,,\,40)$, y $30$ valores en el intervalo $[40\,,\,50]$. Se pide ...

Enunciado:
Midiendo los valores de una cierta característica $X$ ( variable estadística ) en una población se ha recogido la siguiente información:
$20$ valores en el intervalo $[0\,,\,10)$; $50$ valores en el intervalo $[10\,,\,20)$; $80$ valores en el intervalo $[20\,,\,30)$; $40$ valores en el intervalo $[30\,,\,40)$, y $30$ valores en el intervalo $[40\,,\,50]$. Se pide:

a) Realizar una tabla para ordenar la información que incluya columnas para: las marcas de clase, las frecuencias absolutas del recuento; las frecuencias absolutas acumuladas del recuento; una columna para facilitar el cálculo de la media aritmética, y una última columna para facilitar el cálculo de la varianza.

b) Representar los histogramas: (1) el histograma de frecuencias absolutas del recuento, incluyendo la poligonal de frecuencias; (2) el histograma de frecuencias absolutas acumuladas, incluyendo la correspondiente poligonal de frecuencias.

c) Determinar la moda. ¿ Qué información aporta dicho parámetro estadístico ?

d) Calcular la media aritmética. ¿ Qué información aporta dicho parámetro estadístico ?

e) Calcular la varianza. ¿ Qué información aporta dicho parámetro estadístico ?

f) Calcular la desviación estándar. ¿ Qué información aporta dicho parámetro estadístico ?

g) Calcular el coeficiente de variación de Pearson. ¿ Qué información aporta dicho coeficiente ?.

h) Determinar el valor de los cuartiles y representar el diagrma de caja y bigotes. ¿ Qué información aportan los cuartiles y dicho diagrama ?.

i) Determinar el tanto por ciento de valores cumplen la siguiente condición: ser mayores o iguales que $20$ y menores o iguales que $40$

[j] ¿ Qué es un percentil ?

Solución:

apartados a), c) y e) ( la media aritmética es uno de los parámetros de situación y la varianza lo es de dispersión )

apartados b) y primera parte de h)

f)
La desviación estándar ( uno de los parámetros de dispersión, cuya dimensionalidad coincide con la de la característica en estudio $X$ ) se define como la raiz cuadrada de la varianza $s=\sqrt{s^2} \approx 11$

g)
El coeficiente de variación de Pearson ( que expresa la dispersión relativa a la media ) se define como CVP=$\dfrac{s}{\bar{x}}=\dfrac{11}{25,5} \approx 43\,\%$. El coeficiente de variación de Pearson se utiliza para comparar la dispersión de varios conjuntos de valores de la misma característica.

h)
Hemos determinado ya los cuartiles al dibujar, arriba, el histograma de frecuencias acumuladas con la poligonal de frecuencias y mostrando los resultados en el diagrama de caja, de forma gráfica. Vamos ahora a precisar su valor, también a partir del histograma, pero precisando un poco más: a partir del uso de la semejanza de triángulos que se configuran al trazar la poligonal de frecuencias en el histograma de frecuencias acumuladas:

i)
El número de valores que cumplen la condición del enunciado lo encontramos restando el número de valores menores o iguales que $20$, que es igual a $70$, del número de valores menores o iguales que $70$, que es $190$ [ esta informaicón la encontramos en la la tabla de frecuencias ( columna de las frecuencias acumuladas ) o, también, consultando el histograma de f. acumuladas ]; por tanto el número de valores pedido es $190-70=120$, que de un total de $220$ supone un $55\,\%$ ( redondeando a las unidades ).

[j]
Llamamos percentil o $p$-percentil ( expresado en tanto por ciento ) al valor de la variable estadística tal que la frecuencia relativa acumulada de los valores de $X$ que son menores o iguales que dicho valor es igual a $p\,\%$; ejemplos de percentiles son los cuartiles ( $C_1$, $C_2$ y $C_3$ ) los cuales corresponden a los siguientes $p$-percentiles: $25\,\%$, $50\,\%$ ( por tanto $C_2$ se denomina, también, mediana ) y $75\,\%$, respectivamente ( véase el diagrama de caja y bigotes ).


$\square$

[nota del autor]