Un ejercicio de estadística descriptiva básica

ENUNCIADO. En una clase se ha realizado un examen. Las puntuaciones obtenidas son $${1,2,1,3,1,2,2,3,2,2,3,4,4,3,3,5,4,5,3,4,3}$$ Se pide:
a) Calcular la media, la moda, la varianza, la desviación estándar ( típica ) y el coeficiente de variación.
b) Calcular los cuartiles y el rango intercuartílico. ¿ Hay algún valor atípico en la distribución de valores de la variable estadística ?
c) Dibujar el diagrama de Tukey ( o de caja y bigotes )

SOLUCIÓN.
a)
Tabla del recuento:

X   f   F
---------
1   3   3
2   5   8
3   7  15
4   4  19 
5   1  20
   ---
   N=20 

A partir de la table vemos que $M_0=2$ ya que es el valor más repetido.

b)
Consultando la columna de las frecuencias acumuladas encontramos la mediana ( segundo cuartil ) y los otros dos cuartiles:
$M=Q_2=\dfrac{x_{10}+x_{11}}{2}=\dfrac{3+3}{2}=3$
$Q_1=x_6=2$
$Q_3=x_{16}=4$
así pues $$\text{RIC}=\left|Q_3-Q_1\right|=\left|4-2\right|=2$$
Si hay algún valor atípico, no estará en el intervalo $$(Q_1-1'5\cdot \text{RIC}\,,\,Q_3+1'5\cdot \text{RIC})=(-1\,,\,7)$$ luego ninguno de los valores dados es atípico, pues todos están en dicho intervalo.

c)
Diagrama de caja y bigotes

$\square$

Cálculo de parámetros estadísticos mediante la calculadora científica, con valores de la variable estadística agrupados en intervalos

ENUNCIADO.

SOLUCIÓN.
Elaboremos una tabla con la columna de las marcas ( o representates ) de clase/intervalo (MC) y las frecuencias del recuento (f):

intervalo   MC      f
---------   --    -----
[30,40)     35      6
[40,50)     45     18
[50,60)     55     26
[60,70)     65     13
[70,80)     75      3

A continuación, seleccionamos el modo estadístico de la calculadora científica básica ( en mi caso, una Casio fx-82MS ):
      MODE 2 (En la patalla aparecerá 'SD' )

Seguidamente, entramos el valor de la marca de clase y separando con un ';' el número de valores que hay en el intervalo correspondiente, acabando con 'M+'. Eso debe hacerse para cada línea de la tabla:

      35 SHIFT ; 6 M+
      45 SHIFT ; 18 M+
      55 SHIFT ; 26 M+
      65 SHIFT ; 13 M+
      75 SHIFT ; 3 M+

Una vez introducida la información sobre los valores de la variable estadística, pasamos a consultar el valor de los parámetros pues la calculadora los habrá calculado:

      SHIFT VAR
          (1) ----> $\bar{x} \approx 53,3$
          (2) ----> $s \approx 9,9$

A partir de estos dos resultados ya podemos calcular la varianza y el coeficiente de variación:
$s^2\overset{\text{def}}{=}(s)^2 \approx 98,0$
$CV\overset{\text{def}}{=}\dfrac{s}{\bar{x}} \approx 19\,\%$

$\square$

Ejercicio de estadística descriptiva de una variables, con sus valores agrupados en clases

ENUNCIADO. Se ha realizado un estudio sobre una cierta característica de una población y se han obtenido las siguientes medidas de la misma: $$10,12,21,29,28,32,36,38,41,44,50,51$$ $$19,18,25,22,21,37,32,35,46,46,50,42$$ $$17,14,25,25,24,33,38,39,47,41,44,56$$ $$35,34,37,30,33,35\phantom{00000000000000000}$$ Se pide:
Elaborar el diagrama de tallo y hojas. A continuación, agrupar los valores en intervalos, todos ellos de amplitud igual a $10$, y determinar los siguientes parámetros estadísticos: moda, cuartiles, media,varianza, disviación estándar, coeficiente de variación, rango, y rango intercuartílico. Elaborar, también, los histogramas y el diagrama de caja y bigotes.

SOLUCIÓN.
Diagrama de tallo y hojas:

Si observamos el diagrama de tallo y hojas, y realizamos un estudio discreto del conjunto de datos, vemos que la distribución es bimodal, pues dos de los valores ( y no sólo uno ) se repiten con mayor frecuencia; éstos son $25$ y $35$. Ahora bien, es mucho más razonable que hagamos un estudio continuo de la distribución, agrupando los datos ( tal como se pide en el enunciado ).

A continuación mostramos la tabla de frecuencias ( y frecuencias acumuladas ) que resulta de la agrupación de los datos en los intervalos que figuran en la primera columna ( las marcas de clase son los números de la segunda columna ):

Así, vemos que la moda está en el intervalo $[30,40)$; precisando un poco más y empleando la semejanza de triángulos al trazar los segmentos que une el punto superior derecha (respectivamente, superior izquierda) del rectángulo de mayor altura con el punto inferior izquierda ( respectivamente, inferior derecha ).

La abscisa del punto de intersección de estos segmentos nos da el valor de la moda. Veamos qué resulta de los cálculos:
$$\dfrac{a}{15-9}=\dfrac{10-a}{15-12}$$ luego $$a=\dfrac{20}{3}$$ y, por tanto, la moda es igual aproximadamente ( la agrupación en clases no da resultados exactos ) a $$M_o \approx 30+a = 36,7$$


Diagrama de caja y bigotes:
A partir del estudio continuo ( datos agrupados en intervalos/classes ) y trabajando con el histograma de frecuencias acumuladas ( cuarta columna de la tabla ), obtenemos el siguiente resultado aproximado ( recordemos que al agrupar en intervalos, renunciamos a los resultados exactos ).

Se omiten los cálculos rutinarios de proporcionalidad con los triángulos semejantes ( similares al que se ha detallado arriba, para el cálculo de la moda ) que se forman al trabajar con la línea poligonal de frecuencias acumuladas, en el correspondiente histograma:

Nota: En la lista no hay datos atípicos, pues ninguno de ellos cumple alguna de estas condiciones: $$ x < Q_1-RIC$$ $$ x > Q_3+RIC$$

Se ve con claridad que el rango es igual a $56-10=46|$

El cálculo de los demás parámetros puede realizarse con ayuda de la calculadora científica, para ello debemos introducir las cuatro parejas (marca de clase, frecuencia respectiva) que tenemos anotadas ya en la tabla de frecuencias, y consultar los resultados en la calculadora.

Introducción de datos ( en una calculadora científica básica Casio fx-82MS ):
MODE 2 (modo estadístico con 1 variable )
15;6 M+
25;9 M+
35;15 M+
45;12 M+



Consultando los valores de los parámetros:

Tecleando S-VAR ( con los datos introducidos ). Se puede comprobar que aparecen los siguientes resultados [Nota: Conviene, sin embargo, escribir las definiciones de dichos parámetros ]

media: $\bar{x}\overset{\text{def}}{=}\dfrac{1}{N}\,\displaystyle \sum_{i=1}^{4} x_i\,f_i\approx 32,9$

varianza: $s_{x}^2\overset{\text{def}}{=}\dfrac{1}{N}\,\displaystyle \sum_{i=1}^{4} x_{i}^{2}\,f_i-(\bar{x})^2\approx 102,6$

desviación estándar: $s_x\overset{\text{def}}{=}\sqrt{s_{x}^2}\approx 10,1$

coeficiente de variación: $CV\overset{\text{def}}{=}\dfrac{s_x}{\bar{x}} \approx 31\,\%$

$\square$

Midiendo los valores de una cierta característica $X$ ( variable estadística ) en una población se ha recogido la siguiente información: $20$ valores en el intervalo $[0\,,\,10)$; $50$ valores en el intervalo $[10\,,\,20)$; $80$ valores en el intervalo $[20\,,\,30)$; $40$ valores en el intervalo $[30\,,\,40)$, y $30$ valores en el intervalo $[40\,,\,50]$. Se pide ...

Enunciado:
Midiendo los valores de una cierta característica $X$ ( variable estadística ) en una población se ha recogido la siguiente información:
$20$ valores en el intervalo $[0\,,\,10)$; $50$ valores en el intervalo $[10\,,\,20)$; $80$ valores en el intervalo $[20\,,\,30)$; $40$ valores en el intervalo $[30\,,\,40)$, y $30$ valores en el intervalo $[40\,,\,50]$. Se pide:

a) Realizar una tabla para ordenar la información que incluya columnas para: las marcas de clase, las frecuencias absolutas del recuento; las frecuencias absolutas acumuladas del recuento; una columna para facilitar el cálculo de la media aritmética, y una última columna para facilitar el cálculo de la varianza.

b) Representar los histogramas: (1) el histograma de frecuencias absolutas del recuento, incluyendo la poligonal de frecuencias; (2) el histograma de frecuencias absolutas acumuladas, incluyendo la correspondiente poligonal de frecuencias.

c) Determinar la moda. ¿ Qué información aporta dicho parámetro estadístico ?

d) Calcular la media aritmética. ¿ Qué información aporta dicho parámetro estadístico ?

e) Calcular la varianza. ¿ Qué información aporta dicho parámetro estadístico ?

f) Calcular la desviación estándar. ¿ Qué información aporta dicho parámetro estadístico ?

g) Calcular el coeficiente de variación de Pearson. ¿ Qué información aporta dicho coeficiente ?.

h) Determinar el valor de los cuartiles y representar el diagrma de caja y bigotes. ¿ Qué información aportan los cuartiles y dicho diagrama ?.

i) Determinar el tanto por ciento de valores cumplen la siguiente condición: ser mayores o iguales que $20$ y menores o iguales que $40$

[j] ¿ Qué es un percentil ?

Solución:

apartados a), c) y e) ( la media aritmética es uno de los parámetros de situación y la varianza lo es de dispersión )

apartados b) y primera parte de h)

f)
La desviación estándar ( uno de los parámetros de dispersión, cuya dimensionalidad coincide con la de la característica en estudio $X$ ) se define como la raiz cuadrada de la varianza $s=\sqrt{s^2} \approx 11$

g)
El coeficiente de variación de Pearson ( que expresa la dispersión relativa a la media ) se define como CVP=$\dfrac{s}{\bar{x}}=\dfrac{11}{25,5} \approx 43\,\%$. El coeficiente de variación de Pearson se utiliza para comparar la dispersión de varios conjuntos de valores de la misma característica.

h)
Hemos determinado ya los cuartiles al dibujar, arriba, el histograma de frecuencias acumuladas con la poligonal de frecuencias y mostrando los resultados en el diagrama de caja, de forma gráfica. Vamos ahora a precisar su valor, también a partir del histograma, pero precisando un poco más: a partir del uso de la semejanza de triángulos que se configuran al trazar la poligonal de frecuencias en el histograma de frecuencias acumuladas:

i)
El número de valores que cumplen la condición del enunciado lo encontramos restando el número de valores menores o iguales que $20$, que es igual a $70$, del número de valores menores o iguales que $70$, que es $190$ [ esta informaicón la encontramos en la la tabla de frecuencias ( columna de las frecuencias acumuladas ) o, también, consultando el histograma de f. acumuladas ]; por tanto el número de valores pedido es $190-70=120$, que de un total de $220$ supone un $55\,\%$ ( redondeando a las unidades ).

[j]
Llamamos percentil o $p$-percentil ( expresado en tanto por ciento ) al valor de la variable estadística tal que la frecuencia relativa acumulada de los valores de $X$ que son menores o iguales que dicho valor es igual a $p\,\%$; ejemplos de percentiles son los cuartiles ( $C_1$, $C_2$ y $C_3$ ) los cuales corresponden a los siguientes $p$-percentiles: $25\,\%$, $50\,\%$ ( por tanto $C_2$ se denomina, también, mediana ) y $75\,\%$, respectivamente ( véase el diagrama de caja y bigotes ).


$\square$