Sean los puntos del plano $A(-3,5)$ y $B(4,6)$ y la recta $r$ que pasa por estos dos puntos. Se pide (...)

Enunciado:
Sean los puntos del plano $A(-3,5)$ y $B(4,6)$ y la recta $r$ que pasa por estos dos puntos. Se pide:
  (1) una ecuación vectorial de $r$
  (2) unas ecuaciones paramétricas de $r$
  (3) una ecuación de $r$ en forma continua
  (4) la ecuación de $r$ en forma explícita
  (5) la ecuación de $r$ en forma implícita ( general )
  (6) una ecuación de $r$ en forma punto-pendiente
  (7) ¿ cuál es el valor de la pendiente de la recta ?
  (8) ¿ cuál es el valor de la ordenada en el origen de dicha recta ?
  (9) ¿ cuál es el valor de la ordenada que corresponde a un punto de la recta cuya abscisa es igual a $100$ ?
  (10) ¿ cuál es el valor de la abscisa que corresponde a un punto de la recta cuya ordenada es igual a $-20$ ?

Resolución:
(1)
Sea $P(x,y)$ un punto cualquiera de $r$, entonces
$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP}$ ( por la suma de vectores ) y, como $\overrightarrow{AP} \propto \overrightarrow{AB}$ ( ambos vectores están sobre la misma recta, luego son proporcionales ), podemos escribir $\overrightarrow{AP}=\lambda\,\overrightarrow{AB}$, siendo $\lambda \in \mathbb{R}$, relación que, escrita en coordenadas, se puede poner de la forma $$(x,y)=(-3,5)+\lambda(4-(-3),6-5)\,;\,\lambda \in \mathbb{R}$$
es decir
$$r:\,(x,y)=(-3,5)+\lambda(7,1)\,;\,\lambda \in \mathbb{R}$$
Observación:   El orden en que ponemos los puntos en el segundo miembro de la ecuación es irrelevante, es decir - por ejemplo -, también encontraríamos una ecuación vectorial de $r$ igualmente válida planteándola como sigue: $$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{PA}$$

(2)
De la ecuación vectorial anterior se deducen dos ecuaciones escalares, pues la igualdad vectorial implica la igualdad respecto de las primeras coordenadas y la igualdad en respecto de las segundas coordenadas, esto es
$$\left.\begin{matrix}
x&=&-3+7\,\lambda \\ y &=& 5+\lambda \\
\end{matrix}\right\}$$

(3)
Despejando el parámetro $\lambda$ de cada una de las ecuaciones anteriores e igualando los segundos miembros, llegamos a una ecuación de la recta en forma continua
$$\dfrac{x+3}{7}=\dfrac{y-5}{1}$$

Nota:   No es imprescindible haber hecho los dos apartados anteriores para dar una respuesta a éste, pues una ecuación de la recta en forma continua puede escribirse también planteando la semejanza de dos de los triángulos que se forma al trabajar con tres puntos alineados de la recta: dos puntos de datos, que son $A(x_A,y_A)$ y $B(x_B,y_B)$, y el tercero, que es el de las variables, que es $P(x,y)$; así, pues, obtendríamos:
$$\dfrac{x-x_B}{x_B-x_A}=\dfrac{y-y_B}{y_B-y_A}$$
o, de forma, igualmente válida
$$\dfrac{x-x_A}{x_B-x_A}=\dfrac{y-y_A}{y_B-y_A}$$

Notad que las ecuación obtenida ( a partir de las ecuaciones paramétricas ) no es otra que la segunda indicada; en efecto:
$$\dfrac{x+3}{7}=\dfrac{y-5}{1}$$
se puede expresar de la forma
$$\dfrac{x-(-3)}{4-(-3)}=\dfrac{y-5}{6-5}$$

(4)
Despejando la variable dependiente, $y$, de la ecuación en forma continua, podremos escribir la ecuación en forma explícita:
$$y=\dfrac{1}{7}\,x+\dfrac{38}{7}$$

Nota:   Tampoco es necesario, en este caso, partir del apartado anterior ( de la ecuación en forma explícita ) ya que si imponemos que las coordenadas de los puntos que vienen dados satisfagan la ecuación de la recta $y=m\,x+k$, donde $m$ es la pendiente ( a determinar ) de la recta y $k$ es la ordenada en el origen ( a determinar ) de la recta, se plantea un sistema de ecuaciones lineales, que, resolviéndolo, nos permitirá determinar $m=\dfrac{1}{7}$ y $k=\dfrac{38}{7}$

(5)
A partir de la recta en forma continua resulta muy sencillo obtener la ecuación implícita, es decir, la ecuación escrita de la forma $A\,x+B\,y+C=0$; en efecto, a partir de $\dfrac{x+3}{7}=\dfrac{y-5}{1}$, y multipolicando por $7$ ambos miembros, obtenemos $x+3=7\,(y-5)$, y deshaciendo el paréntesis del segundo miembro y agrupando todos los terminos en uno de los dos miembros llegamos $x-7\,y+38=0$, con lo cual vemos que $A=1$, $B=-7$ y $C=38$.

(6)
Dado un punto, como por ejemplo $A(x_A,y_A)$ y dada la pendiente de la recta, $m$, podemos expresar la recta de la forma $y-y_A=m\,(x-x_A)$; en efecto, de la ecuación de la recta en forma continua es claro que $\dfrac{x-x_A}{x_B-x_A}=\dfrac{y-y_A}{y_B-y_A} \Rightarrow y-y_A=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\cdot (x-x_A)$, y reconociendo en $\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$ la pendiente $m$ de la recta ( por su significado geométrico ), queda justificadada así la forma punto-pendiente.

En el caso que nos ocupa: las coordenadas de $A$ son $x_A=-3$ y $y_B=5$, y, de acuerdo con lo obtenido en el apartado (4), la pendiente es $m=\dfrac{6-5}{4-(-3)}=1/7$, con lo cual, una ecuación punto-pendiente es
$$y-5=\dfrac{1}{7} \cdot (x-(-3))$$
y simplificando
$$y-5=\dfrac{1}{7} \cdot (x+3)$$

Nota:   Observemos que de la ecuación explícita, $y=m\,x+k$ ( que ya conocemos: $y=\dfrac{1}{7}\,x+\dfrac{38}{7}$ ) también se deduce el valor de la pendiente, que resulta ser $m=\dfrac{1}{7}$, así como el de la ordenada en el origen, que es $k$, y que comparando con la ecuación de la recta del problema resulta ser $k=\dfrac{38}{7}$ ( este valor se pide más adelante y diremos pues algo más sobre él ).

(7)
Este apartado lo hemos contestado ya en el anterior. Recordemos que hemos obtenido para el valor de la pendiente ( grado de inclinación de la recta ) el valor $m=\dfrac{1}{7}

Observación:   Si graduamos ambos ejes de la misma manera, encotraremos que $\tan\, \big(\angle ( r,Oy)\big) \overset{def}{=}m=1/7$

(8)
La ordenada en el origen, $k$, es ( por definición ) la ordenada del punto de corte de la recta con el eje $Oy$, luego es el valor que corresponde a la variable $y$ para $x=0$, por lo que, por la ecuación de la recta ( cualquiera de sus forma sirve, por ejemplo la forma explícita ), podemos escribir: $y(x=0)=\dfrac{1}{7}\cdot 0+\dfrac{38}{7}=\dfrac{38}{7}$

Nota:   Notemos que el valor de $k$ se obtiene directamente de la ecuación en forma explícita, $y=m\,x+k$, pues es el término independiente ( segundo miembro ); recordemos, por tanto, que ya habíamos deducido el valor de $k$ en el apartado (4).

(9)
Disponiendo ya de la ecuación de la recta, por ejemplo la de la forma explícita, tenemos ya la función $f(x)=\dfrac{1}{7}\,x+\dfrac{38}{7}$ ( en este caso, una función lineal afín ), luego podemos hacer uso de ésto para hacer cálculos como el que se nos pide en este apartado, que no es otro que $f(100)$, con lo cual obtenemos $f(100)=\dfrac{1}{7} \cdot 100+\dfrac{38}{7}=\dfrac{138}{7}\approx 19'7$

(10)
Se nos pide, ahora que calculemos el valor de la abscisa, $x$, de un punto de la recta pedida ( y cuya ecuación ya conocemos ) que tiene como ordenada $-20$, es decir, hablando en el lenguaje de funciones, se nos pide que calculemos la antiimagen de $-20$, esto es, $f^{-1}(-20)$. Para calcular dicho valor, plantemos la ecuación:
$$-20=\dfrac{1}{7}\,x+\dfrac{38}{7}$$
y resolviéndola, encontramos el valor de la abscisa pedida
$x=-140-38=-178$
luego estamos hablando del punto de la recta de coordenadas $(-178\,,\,-20)$

$\diamond$