Sea la sucesión geométrica $$\{\dfrac{3}{2}\,,\,2\,,\,\dfrac{8}{3}\,,\,\dfrac{32}{9}\,,\,\dfrac{128}{27}\ldots \}$$ Se pide: a) El valor de la suma de los diez primeros términos b) El valor del producto de los diez primeros términos

Enunciado:
Sea la sucesión geométrica ( función exponencial, definida de $\mathbb{N}$ en $\mathbb{R}$ ):

$$\{\dfrac{3}{2}\,,\,2\,,\,\dfrac{8}{3}\,,\,\dfrac{32}{9}\,,\,\dfrac{128}{27}\ldots \}$$
Se pide:
a) El valor de la suma de los diez primeros términos
b) El valor del producto de los diez primeros términos

Resolución:

Tratándose de una sucesión geométrica, sabemos [ ver las observaciones al margen ] que:
  $a_n=a_1\,r^{n-1}\,,\,n=1,2,3,\ldots$ ( expresión que nos da el valor del término n-ésimo )         (1)
  $S_n=a_1\,\dfrac{r^{n}-1}{r-1}$ ( expresión que nos da el valor de la suma de los $n$ primeros términos )         (2)
  $P_n=\sqrt[2]{(a_1\,a_n)^n}$ ( expresión que nos da el valor del producto de los $n$ primeros términos )         (3)

siendo $r$ es la razón geométrica de la sucesión ( constante por la cual se multiplica el valor de un término para obtener el del siguiente término ), y, por tanto, $r=\dfrac{a_2}{a_1}=\dfrac{a_3}{a_2}=\ldots$; $a_1$, el valor del primer término; $a_n$, el valor del término n-ésimo.

En el caso que nos ocupa, tenemos: $a_1=\dfrac{3}{2}$, $a_2=2$, luego $r=\dfrac{2}{3/2}=\dfrac{8/3}{2}=\dfrac{32/9}{8/3}=\ldots = 4/3$. Por tanto, $a_{10}=\dfrac{3}{2} \cdot (4/3)^9$, con lo cual podemos calcular ya las cantidades pedidas:

a)
  $S_{10}=\dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{(4/3)^{10}-1}{(4/3)-1} \approx 75,4098$ ( utilizando la calculadora y aproximando, por redondeo simétrico, a la cuarta cifra decimal )

b)
  $P_{10}=\sqrt[2]{\bigg((3/2)\cdot \big(\dfrac{3}{2}\cdot (4/3)^9\big) \bigg)^{10} } = 3897131,606$ ( utilizando la calculadora )

$\blacksquare$


Observaciones:
(1) Justificación de la expresión del término general de una s. geométrica:
Como $a_2=a_{1}\,r$, $a_3=a_2\,r=a_1\,r^2$, $a_4=a_3\,r=a_1\,r^3$, y así sucesivamente, podemos inducir que $a_n=\,a_1\,r^{n-1}$, para $n=1,2,3,\ldots$.

(2) Justificación de la expresión de la suma de los $n$ primeros términos de una s. geométrica.
La suma de los $n$ primeros términos es
$S_n=a_1+a_2+a_3+\ldots+a_n$
y por el patrón de formación de los términos, podemos escribirlo como
$S_n=a_1+a_1\,r+a_1\,r^2+\ldots+a_1\,r^{n-2}+a_1\,r^{n-1}$
multiplicando ambos miembros por $r$ podemos escribir la ecuación equivalente
$r\,S_n=a_1\,r+a_1\,r^2+a_1\,r^3+\ldots+a_1\,r^{n-1}+a_1\,r^{n-1}$
Restando, ahora, la primera ecuación de la segunda, miembro a miembro, sacando factor común de $S_n$, y despejando $S_n$, obtenemos
$$S_n=a_1\,\dfrac{r^n-1}{r-1}$$

(3) Justificación de la expresión del producto de los $n$ primeros términos de una s. geométrica.
El producto de los $n$ primeros términos de la sucesión es
$P_n=a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot \ldots \cdot a_n$
Tengamos en cuenta, ahora, la siguiente propiedad de las progresiones geométricas:
$a_1 \cdot a_n=a_2\cdot a_{n-1}=a_3\cdot a_{n-2}=\ldots=\text{constante}$
luego
$P_n=\big(a_1\cdot a_n\big)^{\frac{n}{2}}=\big((a_1\cdot a_n^{n} \big)^{\frac{1}{2}}=\sqrt[2]{(a_1\cdot a_n)^{n}}$

[nota del autor]