Una ecuación de segundo grado ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Una equació de 2n grau té els següents nombres com a solució: $1$ i $-4$. Sabent que el valor del coeficient del terme de 2n grau és igual a $5$, determineu l'expressió general completa: $a\,x^2+b\,x+c=0$.

Solució:
Per la propietat de factorització podem escriure l'equació de la forma:
    $5\,(x-1)\big(x-(-4)\big)=0$
és a dir
    $5\,(x-1)\big(x+4\big)=0$
Multiplicant els binomis obtenim
    $5\,(x^2-x+4\,x-4)=0$
que, simplificada l'expressió del parèntesi, queda
    $5\,(x^2+3\,x-4)=0$
i aplicant la propietat distributiva de la multiplicació respecte la suma per desfer el parèntesi obtenim
    $5\,x^2+15\,x-20=0$
que és l'expressió general d'una equació de 2n grau, amb coeficients: $a=5$, $b=15$ i $c=-20$.
$\square$

[nota del autor]

Si nos da la siguiente información acerca de las raíces de una ecuación de segundo grado ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Sabent que una equació de 2n grau té dos valors diferents com a solució, $r_1$ i $r_2$, que la suma d'aquests dos nombres és igual a $8$, que el seu producte és igual $12$, i que el coeficient del terme de 2n grau és $1$, escriviu l'equació en forma general.

Solució:
Donada l'equació general de 2n grau $a\,x^2+b\,x+c=0$ amb solució
  $x=\left\{\begin{matrix}r_1\\ \text{o bé} \\r_2\end{matrix}\right.$
es compleix que (propietat)
    $r_1+r_2=-b$
i
    $r_{1}\cdot r_{2}=c$
Per tant, com que $b=-8$   i   $c=12$, y tenint en compte que $a=1$, deduïm que l'equació general $a\,x^2+b\,x+c=0$ es concreta així
    $x^2+(-8)\,x+12=0$
és a dir
    $x^2-8\,x+12=0$
$\square$

[nota del autor]

Resolver la siguiente cuestión ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Cap nombre positiu pot ser la solució de l'equació $x^2+6\,x+5=0$. Expliqueu-ne la raó sense resoldre l'equació.

Solució:
Els coeficients de l'equació ( $1$, $6$ i $5$ ) són tots tres positius i, per tant, no és possible que un valor positiu de $x$ anul·li el primer membre de la igualtat; en efecte, el valor de tots tres termes és, en aquest cas, més gran que zero i, doncs, la suma dels tres termes també ho és.
$\square$

[nota del autor]

Estudiar la siguiente ecuación de segundo grado. ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Sense resoldre l'equació, expliqueu la raó per la qual no és possible trobar cap nombre real que sigui solució de l'equació $x^2+\,x+2=0$.

Solució:
Els valors dels coeficients de l'equació són: $a=1$, $b=1$ i $c=2$. Llavors, el valor del discriminant de l'equació $\Delta=b^2-4ac$ és igual a $1^2-4 \cdot 1 \cdot 2=-7$, que és més petit que zero, per tant $\sqrt{\Delta}$ no és un nombre real, raó per la qual no és possible trobar nombres reals com a solució de l'equació.
$\square$

[nota del autor]

Estudiar y resolver la ecuación ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Estudieu l'equació
      $x^2+2\,x=(x+1)^2-1$

Solució:
      $x^2+2\,x=(x+1)^2-1$
Expandint el binomi al quadrat del segon membre
      $x^2+2\,x=x^2+2\,x+1-1$
i simplificant
      $x^2+2\,x=x^2+2\,x$
veiem que és una equació trivial ( una identitat )
en altre paraules, agrupant termes semblants arribem a
      $x^2-x^2+2\,x-2\,x=0$
      $0 \cdot x^2+0 \cdot x=0$
obtenint un resultat trivial
      $0=0$
que ens diu que l'equació és compatible perquè té solució, però compatible indeterminada, atès que tots els nombres són solució de l'equació.
$\square$

[nota del autor]

Resolver el siguiente problema, planteando un sistema de ecuaciones ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Dos nombres enters són tals que en multiplicar l'un per l'altre s'obté $-22$, i, en fer la divisió euclidiana del més gran (en valor absolut) entre el més petit (en valor absolut) s'obté $-6$ de quocient i $1$ de reste. De quins nombres es tracta ?

Solució:
Anomenem $m$ i $n$ als dos nombres enters que, segons l'enunciat, $\left|m\right|$ és més gran que $\left|n\right|$; llavors, en fer la divisió $m \div n$ tenim que, pel teorema de la divisió euclidiana ( " dividend = divisor x quocient més residu " ), i atenent la informació que se'ns dóna sobre el producte de tots dos, podrem escriure
      $\left.\begin{matrix}m=-6\,n+1 \\ \\m\cdot n=-22 \\ \end{matrix}\right\}$
Substituint l'expressió de $m$ del segon membre de la primera equació en la segona arribem a una equació amb una sola incògnita:
    $n\,(1-6n)=-22$
és a dir
    $n\,(6n-1)=22$
que és equivalent a
    $6\,n^2-n-22=0$
equació de 2n grau completa que dóna com a solució
    $n=\dfrac{-6\pm \left|\sqrt{6^2-4\cdot 6 \cdot 22}\right|}{2\cdot 6}$
d'on
    $n=\left\{\begin{matrix}
-\dfrac{11}{6} & \\
6 &
\end{matrix}\right.$
El segon valor és pertinent; el primer, però, no (no és un nombre enter). Llavors,
si $n=2$, substituint a la primera equació trobem el valor per a l'altre nombre: $m=-11$
$\square$

[nota del autor]

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones cuyos coeficientes son fraccionarios ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Resoleu el següent sistema d'equacions
      $\left.\begin{matrix}\dfrac{3}{4}\,x+\dfrac{5}{12}\,y=\dfrac{7}{24} \\ \\\dfrac{5}{4}\,x+\dfrac{2}{15}\,y=\dfrac{3}{10} \\ \end{matrix}\right\}$

Solució:
Multiplicant pel mínim comú múltiple dels denominadors dels coeficients fraccionaris de una i altra equació
      $\left.\begin{matrix}24\cdot\dfrac{3}{4}\,x+24\cdot\dfrac{5}{12}\,y=24\cdot\dfrac{7}{24} \\ \\ 60\cdot\dfrac{5}{4}\,x+60 \cdot \dfrac{2}{15}\,y=60\cdot\dfrac{3}{10} \\ \end{matrix}\right\}$
i, simplificant, podem escriure el següent sistema d'equacions equivalents a l'original:
      $\left.\begin{matrix}18\,x+10\,y=7 \\ \\75\,x+8\,y=18 \\ \end{matrix}\right\}$
Resoldrem aquest sistema fent ús del mètode de reducció; per això, podem fer, per exemple, la següent transformació vàlida (combinació entre equacions) [nota]
    $ -\dfrac{75}{18}\,e_1+e_2 \rightarrow e_2$
el podrem escriure de la forma
      $\left.\begin{matrix}18\,x&+&10\,y&=&7 \\ \\&\,&-\dfrac{101}{3}\,y&=&-\dfrac{67}{6} \\ \end{matrix}\right\}$
Simplificant i aïllant la incògnita $y$ de la segona equació arribem a
    $y=\dfrac{-\frac{\;67\;}{6}}{-\frac{\;101\;}{3}}=\dfrac{67}{202}$
I, finalment, substituint en una de les equacions equivalents on figura la incògnita $x$, trobarem el valor que li correspon
aíxí, per exemple, de
    $18\,x+10\,y=7$
arribem a
    $18\,x+10\cdot \dfrac{67}{202}=7$
i, d'aquí, trobem
    $x=\dfrac{7-10\cdot \dfrac{67}{202}}{18}$
que, operant, porta a
    $x=\dfrac{62}{303}$

Comprovació:   Posant els valors obtinguts en una de les equacions originals cal mirar si es verifica la igualtat entre el primer i el segon membre; per exemple, a partir de la primera equació
    $\dfrac{3}{4}\,x+\dfrac{5}{12}\,y=\dfrac{7}{24}$
veiem que
    $\dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{62}{303}+\dfrac{5}{12}\cdot \dfrac{67}{202}$
      $=\dfrac{31}{202}+\dfrac{335}{2424}$
      $=\ldots=\dfrac{7}{24}$
que, efectivament, coincideix amb el valor del segon membre.
$\square$


Nota:   He fet servir, aquí, el mètode de reducció per la seva eficàcia; no obstant, si ho preferiu, també podeu fer ús dels altres dos mètodes: d'igualació i de substitució, respectivament.

[nota del autor]

Queremos formar palabras que tengan una longitud de ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Volem formar paraules que tinguin una longitud de $10$ caracters i, per això, triem, a l'atzar, lletres del conjunt $\{m,n,p\}$.
  a) Quantes paraules diferents podem escriure ?
  b) Quantes paraules diferents podem escriure en les quals aparegui exactament: $5$ vegades la lletra ema, $3$ vegades la lletra ena i $2$ vegades la lletra pè ?
  c) Si del conjunt total de paraules diferents en triem una a l'atzar, quant val la probabilitat que tingui exactament: tres vegades la lletra ema i set vegades la lletra pè ?

Solució:
Cal tenir en compte que aquest és un problema d'ordenacions en què l'ordre és rellevant. Llavors,
  a)
      $\text{VR}(3,10)=3^{10}=59049 \; \text{paraules}$
  b)
      $\text{PR}(10;5,3,2)=\dfrac{10!}{5!\,3!\,2!}=2520 \; \text{paraules}$
  c)
Pel principi de Laplace, la probabilitat demanada és igual a
                        $\dfrac{\;\;\;\big(\dfrac{10!}{3!\,0!\,7!}\big)\;\;\,}{3^{10}}$
i ( Nota: recordem que $0!=1$ ), fent els càlculs, veiem que és igual a
            $=\dfrac{120}{59049}$
i simplificant
            $=\dfrac{40}{19683}$

            $\approx 0,002 = 0,2 \, \%$

$\square$

[nota del autor]

Compramos dos objetos ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Una persona ha comprat un objecte A i un objecte B. Els preus d'aquests dos objectes sumen seixanta euros, però li han fet un descompte d'un deu per cent en A i un descompte del vint per cent en B. Per tot, ha pagat cinquanta euros i quinze cèntims. Quin és el preu sense rebaixar de cada objecte ?.

Solució:
Anomenem:
    $a$   al preu sense rebaixar de l'objecte A
    $b$   al preu sense rebaixar de l'objecte B

    $a^{'}$   al preu rebaixat de l'objecte A
    $b^{'}$   al preu rebaixat de l'objecte B

Primer de tot, mirem d'expressar $a^{'}$ en relació a $a$, i $b^{'}$ en relació a $b$. Plantejant les corresponents proporcions:

        $\dfrac{a^{'}}{a}=\dfrac{100-10}{100}$

        $\dfrac{b^{'}}{b}=\dfrac{100-20}{100}$

i, de cada una, trobem (respectivament):

        $a^{'}=\dfrac{90\,a}{100}$

        $b^{'}=\dfrac{80\,b}{100}$

Fet això, traduïrem al llenguatge de l'àlgebra la resta de la informació de l'enunciat, escrivint el següent sistema d'equacions:

        $\left.\begin{matrix}a & + & b&=&60\\ \dfrac{90}{100}\,a & +&\dfrac{80}{100}\,b&=&50,15\\\end{matrix}\right\}$

simplificant ( multiplicant per $100$ ambdós membre de la segona equació),

        $\left.\begin{matrix}a & + & b&=&60\\ 90\,a & +&80\,b&=&5\,015\\\end{matrix}\right\}$

multiplicant per $-90$ els dos membres de la primera equació i sumant amb la segona, substituint aquesta nova segona equació ( que és equivalent a l'original) s'obté el el següent sistema equivalent

        $\left.\begin{matrix}a & + & b&=&60\\ \, & \,&-10\,b&=&-385\\\end{matrix}\right\}$

Simplificant i aïllant $b$ de la segona,
        $b=38,50 \, \text{\euro}$

I, posant aquest resultat a la primera equació, i aïllant $a$
    $a=60-38,50$
        $=21,50 \,\text{euros}$

$\square$

[nota del autor]

Clasificación de los sistemas de dos ecuaciones lineales con dos variables. ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Expliqueu amb concisió:
  Classificació d'un sistema de dues equacions lineals amb dues incògnites a partir de la solució que pugui tenir.

Solució:
Un sistema d'equacions pot ser:

1. incompatible, si no té solució ( les equacions són contradictòries ).
   
2. compatible, si té solució ( hi ha valors de les variables que satisfan les igualtats de les equacions ).
   

   • compatible determinat, si la solució és única, és a dir, per a cada variable hi ha un sol valor que satisfà les igualtats ( les dues equacions són independents ).

   • compatible indeterminat, si hi ha infinites solucions ( una equació és equivalent a l'altra; llavors, escollint lliurement qualsevol valor per a una de les dues variables, queda fixat el valor de l'altra ).
     

$\square$

[nota del autor]

¿ Qué tipo de expresión decimal corresponde a $\frac{3}{71}$ ? ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Quin tipus d'expressió decimal correspon al nombre decimal     $\frac{3}{71}$ ?

Solució:
La fracció és pròpia, per tant representa un nombre més petit que u. Per altra banda la fracció és irreductible i el denominador no consta de nous i zeros; llavors es tracta d'un nombre decimal finit: la part decimal del nombre consta d'un nombre finit de xifres ( en fer la divisió decimal, arriba un punt que obtenim reste zero i el procés de divisió s'acaba).

[nota del autor]

Si una cierta cantidad disminuye en un 10%, ¿ cuál es el porcentaje por la que debemos la cantidad resultante para obtener la cantidad original ? ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Si una certa quantitat la disminuïm en un $10\,\%$, quin percentatge l'hem d'incrementar per obtenir la mateixa quantitat ?.

Solució:
Anomenant $x$ a la quantitat referida i $t$ a l'augment demanat ( en tant per u) podem plantejar la següent equació
    $(x-0,1\,x)+(x-0,1\,x)\,t=x$
resolent aquesta equació
    $0,9\,x\,(t+1)=x$
    $t+1=\dfrac{10}{9}$
    $t=\dfrac{1}{9}\; \text{(en tant per u)}$
que és igual a
    $t=11,\bar{1}\,\%$
$\square$

[nota del autor]

Si una magnitud $A$ es directamente proporcional a otra ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Si una magnitud, $A$, és directament proporcional a una altra magnitud, $B$, i aquesta és inversament proporcional a una tercera magnitud, $C$. Com són $A$ i $C$ ?.

Solució:
Si $A$ és directament proporcional a $B$ ( $A \propto B$ ), llavors $A=k\,B$ ( on $k \in \mathbb{R}$ és la constant de proporcionalitat directa )
I, si $B$ és inversament proporcional a $C$ ( $B \propto \frac{1}{C}$ ) , llavors
$B=k^{'}\,\frac{1}{C}$ ( on $k^{'} \in \mathbb{R}$ és la constant de proporcionalitat inversa )
Per tant, substituint l'expressió de $B$ de la segona relació en el segon membre de la primera, trobem
    $A=k\,k^{'}\,\dfrac{1}{C}$
    $A \propto \,\dfrac{1}{C}$
    $A$ és inversament proporcional a $C$.
$\square$

[nota del autor]

Calcular el volumen del tronco de cono ...

Enuncido:
Calcular el volumen del tronco de cono de la figura.

Solución:
El volumen del tronco de cono es igual a la diferencia de volúmenes del cono completo y del cono que truncamos del mismo, es decir
    $V_{t.c.}=\dfrac{1}{3}\,\pi\,5^2\,h-\dfrac{1}{3}\,\pi\,3^2\,(h-2) \quad \quad (1)$

donde $h = \overline{AD}$

valor que calculamos a partir de la semejanza de los triángulos $\triangle{ABE}$ y $\triangle{ACD}:$

    $\dfrac{h}{h-2}=\dfrac{5}{3} \Rightarrow h=5\,\text{cm}$

Entonces, de (1):

    $V_{t.c.}=\dfrac{1}{3}\,\pi\,5^2\cdot 5-\dfrac{1}{3}\,\pi\,3^2\cdot(5-2)$
        $=\dfrac{1}{3}\,\pi\,5^3-\dfrac{1}{3}\,\pi\,3^3$
        $=\dfrac{125}{3}\,\pi-9\,\pi$
        $=\Big(\dfrac{125}{3}-9\Big)\,\pi$
        $=\dfrac{98}{3}\,\pi\,\text{cm}^3$
        $\approx 103\,\text{cm}^3$

$\square$

[nota del autor]

Calcular el volumen de un tetraedro ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Calculeu el volum d'un tetràedre d'aresta $a$

Solució:
Calculem el volum com el d'una piràmide ( de base triangular ):
$\mathcal{V}=\dfrac{1}{3}\,\mathcal{A}_{base}\,h \quad \quad (1)$
on l'àrea de la base ( triangle equilàter ) s'expressa de la forma
$\mathcal{A}_{base}=\dfrac{1}{2}\,a\,y $
aplicant el teorema de Pitàgores al t.r. 2
$y^2=a^2+\big(\dfrac{a}{2}\big)^2 \Rightarrow y=\dfrac{a\,\sqrt{3}}{2}$
substituint en (2)
$\mathcal{A}_{base}=\dfrac{a^2\,\sqrt{3}}{4} \quad \quad (2)$
Procedim, ara, a expressar $h$ en funció de $a$:
Aplicant el t. de Pitàgores al t.r. 1,
$h^2+x^2=a^2 \quad \quad (3)$
tampoc coneixem $x$, però aplicant el t. de Pitàgores al t.r. 3 tenim que
$(y-x)^2+\big(\sqrt{a}{2}\big)^2=x^2$
tenint en compte que
$y=\dfrac{a\,\sqrt{3}}{2}$
si desenvolupem el quadrat del binomi del primer membre arribem a
$3 \cdot \dfrac{a^2}{4}-\sqrt{3}\,a\,x+x^2+\dfrac{a^2}{4}=x^2$
i, simplificant, obtenim
$a^2-\sqrt{3}\,x=0 \Rightarrow x=\dfrac{a}{\sqrt{3}}$
que, finalment, substituït en (3), i, simplificant, permet expressar $h$ en funció de $a$:
$h^2=\dfrac{2\,a^2}{3}$
i, per tant,
$h=\sqrt{\dfrac{2}{3}}\,a=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\,a$
Llavors, posant aquest resultat, així com (2), en (1), deduïm l'expressió del volum del tetràedre, donada l'aresta $a$ com a dada:
$\mathcal{V}=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{a^2\,\sqrt{3}}{4} \cdot\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\,a$
que, simplificat, queda
$\mathcal{V}=\dfrac{\sqrt{2}}{12}\,a^3$
$\square$

[nota del autor]

Una lamina de vidrio absorve el $20\,\%$ de la luz ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Una làmina de vidre absorbeix el $20\,\%$ de la llum vermella que li arriba. Quantes làmines fan falta, com a mínim, una sobre l'altra, perquè la llum vermella que deixen passar no sigui superior al $50\,\%$ de la que entra ?

Solució:
Si una làmina absorbeix el $20\,\%$ de la llum vermella que li arriba, llavors en deixa passar el $80\,\%$. Si superposem $n$ làmines, el conjunt deixarà passar $0,8^n$ de la llum vermella que li arriba ( ho expressem en tant per u, per fer més còmodes els càlculs ). Es veu fàcilment que si $n=3$, llavors $0,8^3$ és encara més gran que $0,5$ ( el $50\,\%$ ) i que, per contra, $0,8^4$ és més petit que $0,5$; per tant, pel cap baix, caldrà superposar $4$ làmines.
$\square$

[nota del autor]

Determínese el valor de $x$ que cumple la siguiente igualdad ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
(a) Determineu el valor de $x$ que verifica la següent igualtat:
    $1+2+4+8+16\ldots+x=1023$
(b) Calculeu el producte
    $1\cdot 2 \cdot 4\cdot 8\cdot 16\cdot \ldots \cdot x$
on $x$ és l'últim sumand de l'apartat anterior

Solució:
a)
El primer membre correspon a la suma dels $n$ termes de d'una successió geomètrica de raó igual a $2$, amb $x$ com a últim terme de la seqüència, és a dir $x$ és $a_n=a_1\cdot r^{n-1}$. I, donat que $a_1=1$ i $r=2$, s'escriu de la forma $x=2^{n-1} \quad (1)$ on $n$ és el nombre de sumands. Per altra banda, el segon membre és el valor d'aquesta suma. Sabem que la suma de $n$ termes consecutius d'una successió geomètrica es calcula de la forma
    $S_n=a_1\cdot \dfrac{r^n-1}{r-1}$
que, en el nostre cas, és
    $1023=1\cdot \dfrac{2^n-1}{2-1}$
és a dir
    $1023=2^n-1 \quad \quad (2)$

Ara, de les expressió (1) veiem que
    $x=\dfrac{2^n}{2}$
i, per tant,
    $2^n=2\,x \quad \quad (3)$
i, substituint-ho en (2), arribem a
    $1023=2\,x-1$
I, d'aquí, aïllem $x$
    $x=\dfrac{1024}{2}=512$

b)
Sabem que, per la propietat que expressa que el producte dels extrems d'una seqüència de $n$ termes d'una successió geomètrica (s.g.) és constant, el producte $P_n$ de $n$ termes consecutius de la s.g. ve donat per l'expressió
    $P_n = \sqrt[2]{\big(a_{1}\cdot a_{n}\big)^n} \quad \quad (4)$

Aquí, $a_n$ és igual a $x$, i, ja sabem que el seu valor és $512$. Per altra banda, el valor de $n$ el deduïm de l'expressió (3) que hem trobat a l'apartat anterior
    $512=\dfrac{2^n}{2}$
que es pot posar de la forma
    $1024=2^n$
i tenint en compte que $1024 = 2^{10}$
podem escriure l'equació anterior així
    $2^{10}=2^n \Rightarrow n=10$

Llavors, de (4), ja podem calcular el valor del producte demanat
    $P_{10}=\sqrt[2]{\big(1\cdot 512\big)^{10}}$
        $=512^{\frac{10}{2}}$
        $=512^5$
i fent el càlcul amb el programa MAXIMA trobem, concretament, el següent nombre
        $35 \, 184 \, 372 \, 088 \, 832$

$\square$

[nota del autor]

Razonar las siguientes cuestiones ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Raoneu les següents qüestions:
    a) Per què, quan els animals tenim fred adoptem una posició de bola ( pleguem els braços i les cames ) ? Per què les cases tradicionals dels esquimals o les tendes d'altura d'alpinisme són semi esfèriques ?.
    b) Per què la forma dels vehicles submarins que poden descendir a grans profunditats també tendeixen a la forma esfèrica ?.

Solució:
a)
Es pot demostrar que el cos tridimensional que tanca un determinat volum amb la mínima superfície mínima és una esfera. Quan un cos es refreda, transfereix energia cedint calor a l'entorn, que es troba a temperatura més baixa; aquesta quantitat d'energia que perd el cos és proporcional a l'àrea de la seva superfície, per tant, l'energia perduda serà mínima per al valor mínim de l'àrea de la superfície . Dit això, i enllaçant els dos raonaments, queda explicat perquè els animals tendim a adoptar la posició esfèrica: per tal de minimitzar la pèrdua d'energia per transferència de calor. Per la mateixa raó, l'igloo dels esquimals, per exemple, es construeix de forma semi esfèrica.

b) Aquesta propietat matemàtica de l'esfera ( recordem-la: és el cos geomètric que tanca un volum donat amb la mínima superfície ) explica la raó per la qual un vehicle submarí, de volum donat, que tan sols hagués de fer desplaçaments en la direcció vertical ( submergint-se o emergint a la superfície ) convindria que tingués la forma d'una esfera perquè la força $f$ que ha de suportar l'estructura del vehicle quan es troba submergit [ deguda a la pressió hidrostàtica de l'aigua [ que, pel principi de Pascal, es transmet per igual en totes les direccions i és la mateixa en tots els punts de la superfície del vehicle ] és proporcional a l'àrea $S$ de la superfície del vehicle, de la forma $f=p\cdot S$ ; per tant, si la superfície $S$ és mínima, la força $f$ sobre l'estructura també l'és. Heus aquí la raó per la qual, sense tenir en compte cap més requeriment de disseny, la forma del vehicle hauria de ser la d'una esfera; no obstant això, la majoria dels submergibles no tenen ben bé la forma d'una esfera, més aviat tenen la forma d'un fus, que obeeix amb la necessitat de satisfer altres funcionalitats i requeriments, com ara, la de poder navegar en totes direccions de l'espai de manera autònoma ( com els peixos ) i amb una certa eficàcia hidrodinàmica ( l'esfera no és la forma òptima per a aquest requeriment secundari ).

Observació:   Tinguem que, en altres àmbits, com el del disseny arquitectònic de la major part de les cases, per bé que un habitacle esfèric donaria, segons el que s'ha dit ( des del punt de vista de la propietat de mínim ), la màxima eficàcia com a magatzem, és evident que les cases no es dissenyen així. Per què ? Per quina raó, doncs, les cases i edificis del nostre voltant no tenen forma esfèrica ?. L'explicació la trobem, altra vegada, en la necessitat d'atendre altres compromisos en el disseny de l'edifici ( ergonomia, habitabilitat, cost dels mobles, etcètera ). No obstant això, és evident que en un submergible de gran profunditat, aquests altres factors passen a un segon pla i, doncs, són prioritaris els arguments sobre la pressió hidrostàtica i la resistència estructural del vehicle que hem explicat.

$\square$

[nota del autor]

Calcular el valor de la suma del número infinito de términos de una sucesión geométrica ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Quant val la suma del nombre infinit de termes de la successió geomètrica de raó $r=2$ i primer terme igual a $1$ ?

Solució:
Cada terme és més gran que el precedent atès que la raó de la successió és més gran que u, i, doncs, la suma acumulada és va fent cada vegada més gran, sense cap limitació, per tant, el valor de la suma dels infinits termes és igual a $+\infty$

D'una manera més acurada podem dir que, donat que de la fórmula de la suma de $n$ termes consecutius d'una successió geomètrica és
    $S_n=a_{1}\,\dfrac{r^n-1}{r-1}$
sumem infinits termes i $n$ és un nombre tan gran com vulguem ( que representarem per $+\infty$ ), llavors:
    $S_{\text{infinits termes}}=1\cdot \dfrac{2^{+\infty}-1}{2-1}=\dfrac{+\infty-1}{1}=\dfrac{+\infty}{1}=+\infty$

$\square$

[nota del autor]

Determínese el valor de $x$ que verifica $2+4+6+8+\ldots+x=420$ . ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Determineu el valor de $x$ que verifica la següent igualtat:
    $2+4+6+8+\ldots+x=420$

Solució:
El primer membre correspon a la suma dels $n$ termes de d'una successió aritmètica de diferència igual a $2$, amb $x$ com a últim terme ( suma d'una seqüència de nombres parells consecutius). El terme $x$ s'escriurà, per tant, de la forma $x=2\,n \quad (1)$ on $n$ és el nombre de sumands de la seqüència. Per altra banda, el segon membre és el valor d'aquesta suma.

Tenint en compte, doncs, que la suma de $n$ termes consecutius d'una progressió aritmètica de primer terme igual a $2$ i últim terme igual a $x$ ve donada per l'expressió
    $\dfrac{(2+x)\,n}{2} \quad \quad (2)$
veiem que de (1) i (2) podem escriure la següent equació
    $\dfrac{(2+x)}{2}\cdot \dfrac{x}{2}=420$
que és equivalent a
    $x^2+2\,x-1680=0$
equació de segon grau que té com a solucions (seguint el procediment habitual de càlcul):
$-42$, que, com que no és un nombre natural no és solució del problema, i, $x=40$, que és la solució.
$\square$

Dada una sucesión geométrica de la cual conocemos la razón y el valor del primer término ...

Enunciat:
Donada una successió geomètrica de la qual en coneixem la raó $r$ i el valor primer terme $a_1$, determineu:
    a) l'expressió del terme n-èssim
    b) l'expressió de la suma de $n$ primers termes consecutius
    c) l'expressió del producte de $n$ primers termes consecutius

Solució:
a)
Vegem com es van formant els termes:
    $a_1$
    $a_{2}=a_{1}\cdot r$
    $a_{3}=a_{2}\cdot r=a_{1} \cdot r \cdot r = a_{1} \cdot r^2$
    $a_{4}=a_{3}\cdot r=a_{2} \cdot r^2 \cdot r = a_{1} \cdot r^3$
&nbps   $\ldots$
fent-se ja ben clara la regla de formació ( l'exponent de la potència de base $r$ és una unitat menys que el valor de l'índex del terme que hom vol calcular ), és a dir,
    $a_{n} = a_1 \, r^{n-1}$ $\quad \quad \text on \; \; n=1,2,3,\ldots$

b)
Per sumar els $n$ primers termes consecutius
        $S_n = a_1+a_{2}+\ldots+a_{n} \quad \quad (1)$
procedirem de la manera següent:
Multiplicant per la raó $r$ cadascún dels dos membres de la igualtat (1)
        $r\cdot S_n = r\cdot a_1+r\cdot a_{2}+\ldots+r\cdot a_{3}+r\cdot a_{n}$
que és igual a
        $r\cdot S_m = a_{2}+a_{3}+\ldots+a_{n-1}+a_{n} \quad \quad (2)$
Restant, ara, (2) de (1)
        $r\cdot S_n-S_n = -a_{1}+0+\ldots+a_{n}$
i tenint en compte que $a_{n}=a_{1}\,r^n$, es pot posar de la forma
        $r\cdot S_n-S_n = -a_{1}+a_{1}\,r^n$
traient factor comú de $S_n$ en el primer membre i de $a_1$ en el segon, trobem
        $S_m\, (r-1) = a_{1}\,(r^{n}-1)$
i aïllant $S_m$ queda
        $S_n=a_{1}\,\dfrac{r^{n}-1}{r-1}$

c)
El producte dels $n$ primers termes consecutius d'una s.g. és
        $P_m = a_1 \cdot a_{2} \cdot \ldots \cdot a_{n} \quad \quad (3)$
i tenint en compte la propietat del producte dels extrems ( en una s.g. és constant ), és a dir, que
        $a_{1}\cdot a_{n}=a_{2}\cdot a_{n-1}=a_{3}\cdot a_{n-2}=\ldots=\text{constant}$
podem escriure (3) de la forma
        $P_n = \big(a_1 \cdot a_{n}\big)^{\frac{n}{2}}$
                $ = \sqrt[2]{\big(a_1 \cdot a_{n}\big)^n}$

$\diamond$

Consideremos una hoja de papel de $0,01 \, \text{mm}$ de grosor ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Considerem un full de paper de $0,01 \, \text{mm}$ de gruix. Imaginem que el dividim en quatre quadrats iguals més petits i que, successivament, repetim l'operació per a cadascun d'aquests quadrats. Quin gruix tindria la columna de papers que obtindríem si repetíssim l'operació $20$ vegades ?.

Solució:
El nombre de quadrats que formen la columna ve donat pel valor del $20-\text{essim}$ terme de la successió geomètrica de raó, $r=4$ té per terme general
    $a_n=4^{n-1} \quad n=1,2,\ldots$
és a dir
    $a_{20}=4^{20-1}$
            $=4^{19} \; \text{trossets de paper}$
Per tant, el gruix $h$ de la columna formada per aquests trossos de paper és igual a
    $h=4^{19}\cdot 0,01 \, \text{mm}$
        $=4^{17} \, \text{mm}$
        $=4^{14} \, \text{m}$
        $=4^{11} \, \text{km} = 4\,194\,304 \, \text{km}$

Nota:     Si es compara amb el valor del radi de la Terra, que és "només" de $6370 \, \text{km}$ (aproximadament), podem apreciar la magnitud dels nombres que, de seguida, obtenim formant els termes d'una successió geomètrica si el valor de la raó és més gran que la unitat.

$\square$

[nota del autor]

Sumas infinitas ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Quant val la suma dels infinits termes de la successió geomètrica de raó $r=0,1$ i primer terme igual a $1$ ?

Solució:
La fórmula de la suma de $n$ termes consecutius d'una successió geomètrica és
    $S_n=a_{1}\,\dfrac{r^n-1}{r-1}$
Tot i haver de sumar infinits termes ( $n$ és un nombre tan gran com vulguem, que representarem per $+\infty$ ), la raó $r$ és més petita que $1$, i, per tant,
    $\big(0,1\big)^{+\infty}=0$
atès que
    $0,1$ és més gran que $0,1 \cdot 0,1$, i, aquesta quantitat és més gran que $0,1 \cdot 0,1 \cdot 0,1$ i així successivament; és per això que $0,1$ multiplicat per si mateix un nombre indefinit de vegades porta cap a zero.

Llavors,
    $S_{\text{infinits termes}}=1\cdot \dfrac{\big(\frac{1}{2}\big)^{+\infty}-1}{\frac{1}{2}-1}=\dfrac{0-1}{-\frac{1}{2}}=2$

$\square$

[nota del autor]

Ejercicio de cálculo con radicales. ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Calculeu:
      $\displaystyle \sqrt[2]{5}\cdot\sqrt[4]{\sqrt[3]{5^2}}$

Solució:
      $\displaystyle \sqrt[2]{5}\cdot\sqrt[4]{\sqrt[3]{5^2}}=5^{\frac{1}{2}}\cdot\bigg(\big(5^{2}\big)^{\frac{1}{3}}\bigg)^{\frac{1}{4}}=5^{\frac{1}{2}}\cdot 5^{2\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{4}}=5^{\frac{1}{2}}\cdot 5^{\frac{1}{6}}=5^{\frac{1}{2}+\frac{1}{6}}= \rightarrow$
                                $\rightarrow =5^{\frac{8}{12}}=5^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{5^2}$
$\square$

[nota del autor]

Las áreas de dos polígonos semejantes miden ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Les àrees de dos poligons semblants mesuren $8\,\text{dm}^2$ i $2\,\text{dm}^2$, respectivament. Calculeu quant val:
  a) la raó aritmètica entre el perímetre del més gran i el del més petit
  b) la raó de semblança $r$ entre el poligon més gran i el poligon més petit
  c) la raó aritmètica entre les longituds de dos costats corresponents, $a$ i $a^{'}$.

Solució:
  a)
Designant per $\mathcal{A^{'}}$ l'àrea del més gran, i, per $\mathcal{A}$, la del més petit, sabem que
    $r^2=\dfrac{\mathcal{A^{'}}}{\mathcal{A}}$
és a dir
    $r^2=\dfrac{8}{2}$
        $=4$
per tant
    $r=\sqrt{4}$
        $=2$
  b)
I, donat que la raó entre els perímetres és igual a la raó de semblança $r$, podem escriure
    $r=\dfrac{\mathcal{P^{'}}}{\mathcal{P}}$
és a dir, la raó entre els perímetres és igual a
    $\dfrac{\mathcal{P^{'}}}{\mathcal{P}}=2$
  c)
Pel que fa a la raó entre les longituds de dos costats $a$ i $a^{'}$ corresponents, sabem que - per la pròpia noció de semblança de poligons - és igual a la raó de semblança $r$, és a dir, en el cas que ens ocupa
    $\dfrac{a^{'}}{a}=2$
$\square$

[nota del autor]

Demostrar que una supuesta igualdad no es cierta. ( Artículo escrito encatalán )

Enunciat:
Demostreu que, donats els nombres reals $a,b,c,d \in \mathbb{R}$ on $b \neq 0$ i $d \neq 0$
no es pot afirmar, en general, que si
    $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$
aleshores
$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{a\cdot c}{b \cdot d}$

Solució:
N'hi ha prou a trobar un exemple que invalidi el segon igual de la doble igualtat
    $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}= \dfrac{a\cdot c}{b \cdot d}$
és a dir, un contraexemple, com ara
    $\dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{4} \neq \dfrac{1\cdot 2}{2 \cdot 4}$
car
    $\dfrac{1\cdot 2}{2 \cdot 4}$
és igual a
    $\dfrac{1}{4}$
que no és igual a
    $\dfrac{1}{2}$
$\square$

Nota:   La doble igualtat
    $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d} = \dfrac{a\cdot c}{b \cdot d}$
només és certa si $a=b=c=d$

[nota del autor]

Se desea mantener en equilibrio ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Volem mantenir en equilibri ( en posició horitzontal ) una barra rígida ( segment de color negre de la figura ), als extrems de la qual s'hi apliquen dues forces perpendiculars a la barra. La barra ha d'estar en equilibri al voltant del punt $F$. Sabem que la distància de $A$ ( extrem de la barra on s'aplica una força $f_1$ de $700 \, \text{N}$ es troba a $1,5 \, \text{m}$ del punt $F$, i que la força aplicada a l'altre extrem ( punt $B$ ), $f_2$, també és perpendicular a la barra i ha de tenir un valor de $300 \, \text{N}$. Quina longitud $l$ ha de tenir la barra ( palanca ) ?.

Solució:

[ palanca de primer gènere ]

Per resoldre aquest problema hem d'adonar-nos que intervenen dues magnituds proporcionals: la força que designarem per $\mathcal{F}$, i, la longitud entre el punt d'aplicació de la força i el punt d'equilibri $F$, que anomenarem $\mathcal{R}$. Aquest problema és de proporcionalitat ( aquest fet és conegut des de l'època d'Arquímedes ) i, concretament, de p. inversa, perquè és evident que el valor de força és tan més gran com més petita és la distància entre el seu punt d'aplicació i el punt d'equilibri $F$.

Llavors, si $f_1$ i $f_2$ són dos valors de la magnitud $\mathcal{F}$, i $r_1$ i $r_2$ són els dos valors respectius de la magnitutd $R$, s'ha de complir la següent proporció ( igualtat entre dues raons aritmètiques ) invesa:
    $\dfrac{\;f_1\;}{\frac{1}{r_1}}=\dfrac{\;f_2\;}{\frac{1}{r_2}}$
o el que és el mateix
    $f_{1}\cdot r_{1}=f_{2}\cdot r_{2}$

Ara, posant els valors donats a l'enunciat, que són:
  $f_1=700$
  $r_1=1,5$
  $f_2=300$
  $r_2=\text{?}$
haurem de resoldre aquesta equació
    $700\cdot 1,5=300\,r_2$
llavors
    $r_2 = \dfrac{700\cdot 1,5}{300}$
        $=3,5 \, \text{m}$

Per tant, la longitud de la barra, $l:=r_1+r_2$ és igual a
    $(1,5+3,5) \, \text{m}$
        $=5\, \text{m}$

$\square$

[nota del autor]

Fundimos un lingote de plata ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Fonem un lingot de plata de $200 \, \text{g}$ de llei del $90\,\%$ ( noranta per cent de puresa ) amb un altre lingot de $300 \, \text{g}$ de $80\,\%$ de llei. Quina és la llei de l'aliatge que en resulta ?.

Solució:
La quantitat de plata pura que conté el nou lingot de $200\,\text{g}+300\,\text{g}=500\,\text{g}$ és de $0,9\cdot 200+0,8\cdot 300$
que és igual a $420\, \text{g}$. Llavors, designant per $x$ la llei de l'aliatge resultant, el seu valor ha de ser igual a la raó aritmètica entre la quantitat de plata pura i la quantitat total de materia de l'aliatge
    $x=\dfrac{420}{500}=84\,\%$
$\square$

[nota del autor]

Discusión de las posibles soluciones de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Estudieu la solució del sistema d'equacions en funció dels valors dels paràmetres $a$ i $b$:

                          $\left.\begin{matrix}a\,x & + & b\,y&=&1\\ b\,x & +&a\,y&=&1\\\end{matrix}\right\}$

Solució:
Per estudiar amb claredat la solució del sistema donat, en trobarem un altre que sigui equivalent a l'original però que pren la forma esglaonada ( reduït pel mètode de Gauss) que, com és ben sabut, s'obté a partir d'operacions elementals entre ambdues equacions; així, si multipliquem tots dos membres de la primera equació per $-b/a$ i sumem, membre a membre, amb els de la segona equació
    $e_2+\Big(-\dfrac{b}{a}\Big)\,e_1 \rightarrow e_2$
arribem a una nova equació (equivalent, però més senzilla, atès que no hi apareix el terme en $x$ )
        $\big(a-\dfrac{b^2}{a}\big)\,y=1-\dfrac{b}{a}$
Llavors, considerant també la primera, s'obté el sistema equivalent ( reduït ) que farem servir per fer l'estudi de les solucions:

                    $\left.\begin{matrix}a\,x & + & b\,y&=&1\\ \, & \,&\big(a-\dfrac{b^2}{a}\big)\,y&=&1-\dfrac{b}{a}\\\end{matrix}\right\}$

Ara, podem començar a investigar diversos escenaris en funció dels valors que prengin els paràmetres $a$ i $b$

    Primer de tot, observem (sistema original) que si els valors dels coeficients $a$ i $b$ són nuls, el sistema és clarament incompatible, atès que ambdues equacions presenten la contradicció     $0=1$.

    El sistema és, també, incompatible si es dóna el cas que el coeficient de la incògnita $y$ de la segona equació és zero i, per contra, no sigui nul el valor del terme independent d'aquesta mateixa equació, atès que, en aquest cas, s'arriba també a una contradicció.

    Per altra banda, cal notar que si el coeficient de la incògnita $y$ de la segona equació és zero i també ho és el valor del terme independent d'aquesta mateixa equació, llavors el sistema és, en aquest cas, compatible indeterminat.

    En qualsevol altre escenari ( de valors de $a$ i de $b$ ), el sistema serà compatible determinat, perquè, la solució constarà d'un sol valor per a cada incògnita.

Vegem, ara, per a quins valors concrets de $a$ i $b$ succeeix tot això que acabem d'avançar:

  Si el coeficient del terme de la incògnita $y$ de la segona equació és zero
&nsp     $a-\dfrac{b^2}{a}=0$
reduint a comú denominador el primer membre podrem escriure la igualtat
      $\dfrac{a^2-b^2}{a}=0$
i, per tant, el numerador d'aquesta fracció ha de ser zero
      $a^2-b^2=0$
però, per la identitat notable
      $a^2-b^2=(a-b)\,(a+b)$
podrem escriure el que hem trobat també així
      $(a-b)\,(a+b)=0$
igualtat que es compleix per a $a=b$ o bé per a $a=-b$

Resumint:

      a)   Si $a=b$ s'anul·la tant el terme independent com el coeficient de la incògnita $y$, i, per tant, la segona equació queda $0=0$, que és trivial, i, doncs, el sistema és compatible indeterminat ( el sistema té infinites solucions, amb estructura, però).

      b.1)   Si $a=-b$ s'anul·la, també en aquest cas, és igual a zero el coeficient de la incògnita $y$ de la segona equació, però no s'anul·la el terme independent (que, ara, pren el valor $2$ ). Llavors, s'arriba a una contradicció, $0=2$, i, per tant, cal concloure que el sistema és incompatible.

      b.2)   Si $a=0$ i $b=0$, és molt clar que el sistema és incompatible.

      c)   Si es compleixen les següents condicions:
          i) $a \neq b$
          ii) $a \neq -b$
          iii) $a \neq 0$
          iv) $b \neq 0$
el sistema és compatible determinat; en aquest cas, es pot comprovar fàcilment que ( resolent el sistema reduït ) les solucions són:
                  $x=y=\dfrac{1}{a+b}$

$\square$

[nota del autor]

¿ Cuántos números impares consecutivos, a partir de $1$, suman $2916$ ?

Enunciado:
¿ Cuántos números impares consecutivos, a partir de $1$, suman $2916$ ?

Solución:
Los números impares consecutivos forman una sucesión aritmética de diferencia $d=2$. El término general de la sucesión es
    $a_n=1+2\cdot (n-1) \quad n=1,2,3,\ldots$
Por otro lado, sabemos que la suma de los $n$ primeros términos se calcula del siguiente modo
    $s_n=n \cdot \dfrac{a_1+a_n}{2}$
Con lo cual podemos plantear la siguiente ecuación
    $2916=n \cdot \dfrac{1+(2n-1)}{2}$
simplificando,
    $n^2=2916$
y de ahí
    $n=\left| \sqrt{2916}\right| = 54$
esto es, los primeros $54$ números impares consecutivos suman $2916$.
$\square$

[nota del autor]

Ejemplo de refutación de una propiedad que no es cierta mediante la búsqueda de un contraejemplo. ( Artículo escrito en catalán ).

Enunciat:
És certa la igualtat $(a+b)^c=a^c+b^c$ per a qualssevol $a,b,c \in \mathbb{R}$ ? Justifiqueu la resposta.

Solució:
La igualtat és falsa. Es pot demostrar amb un contraexemple:
Sigui $a=b=1$ i $c=2$. Llavors,
    $(1+1)^2=2^2=4$
i
    $1^2+1^2=2$
i donat que
    $4 \neq 2$
podem afirmar que, en general,
      $(a+b)^c \neq a^c+b^c$
$\square$

[nota del autor]

Ejercicio de acotación de un número irracional. ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Fiteu el nombre $\pi=3,14159\ldots \in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$, per defecte i excés, entre dos nombres racionals, fins una precisió dels mil·lèsims.

Solució:
    $3 \prec \pi \prec 4$
    $3,1 \prec \pi \prec 3,2$
    $3,14 \prec \pi \prec 3,15$
    $3,141 \prec \pi \prec 3,142$
$\square$

[nota del autor]

Ejercicio sobre el uso de unidades de medida. ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Una bateria elèctrica de $12\,\text{V}$ [ el símbol $\text{V}$ indica la unitat de diferència de potencial elèctric, el volt] alimenta ( corrent continu ) un aparell de $24\,\text{W}$ de potència elèctrica [el símbol $\text{W}$ indica la unitat de potència elèctrica, el watt ]. Si la bateria es descarrega en $50\,\text{h}$, us demanem:
  a) Quant val la càrrega inicial de la bateria expressada en $\text{Ah}$ [ lògicament, la càrrega inicial de la bateria es pot expressar també multiplicant el nombre d'ampères que circula pel circuït multiplicat pel nombre d'hores en funcionament ] ?.
  b) Si féssim ús d'un aparell de $20\,\text{W}$ en comptes del de $24\,\text{W}$, quant de temps durarà la bateria ?

Nota:   La intensitat $I$ de corrent elèctric ( que s'expressa en ampères ($\text{A}$) ) es calcula dividint la potència de l'aparell que consumeix l'energia elèctrica per la tensió elèctrica (diferència de potencial elèctric) que hi ha entre els seus borns, que en aquest cas és la mateixa que la de la bateria.

Solució:
a)
D'acord amb la nota de l'enunciat, la intensitat de corrent elèctric que passa per l'aparell és
    $I=\dfrac{24}{12}\,\dfrac{\text{W}}{\text{V}}=2\,\text{A}$
Llavors, la càrrega inicial de la bateria té el següent valor
    $Q_{\text{bateria}}=2\,\text{A} \cdot 50 \, \text{h}=100 \, \text{Ah}$

b)
Com que ja coneixem la càrrega inicial de la bateria, podem calcular el temps que donarà corrent $t_2$ en aquesta segona situació d'una manera ben senzilla:
    $t_2=100 \, \text{Ah} \cdot \dfrac{1}{\dfrac{20}{12} \, \dfrac{\text{W}}{\text{V}}}=100 \, \text{Ah} \cdot \dfrac{12}{20} \, \dfrac{1}{\text{A}}=60 \, \text{h}$

Plantejament alternatiu:
Podem calcular la durada de la bateria en aquest segona situació sense necessitar de conèixer prèviament el valor de la càrrega inicial de la bateria; en efecte, si tenim en compte que les magnituds intensitat de corrent i temps de durada de la bateria són inversament proporcionals ( la durada serà tan més petita com és gran sigui el valor de la intensitat que circula ) podem plantejar la següent proporció:
    $\dfrac{\;I_1\;}{\frac{1}{t_1}}=\dfrac{\;I_2\;}{\frac{1}{t_2}}$
és a dir
    $I_{1}\cdot t_1=I_2 \cdot t_2$
i, posant les dades:
    $I_1=\dfrac{24}{12} \, \dfrac{\text{W}}{\text{V}}=\dfrac{24}{12} \,\text{A}$
    $t_1= 50 \, \text{h}$ ( no cal treballar en unitats homogènies de temps perquè en l'equació es cancel·len els factors de conversió )
    $I_1=\dfrac{20}{12} \, \dfrac{\text{W}}{\text{V}}=\dfrac{24}{12} \,\text{A}$
    $t_1= \text{?}$
arribem a l'equació
    $\dfrac{24}{12}\cdot 50=\dfrac{24}{12}\cdot t_2$
que té com a solució
    $t_2=60 \, \text{h}$

Observació:
Notem que la constant de proporcionalitat
    $k=I_{1}\cdot t_1=I_2 \cdot t_2$
representa la càrrega inicial de la bateria; en efecte,
    $k=I_{1} \cdot t_1=\dfrac{24}{12} \, \dfrac{\text{W}}{\text{V}} \cdot 50 \, \text{h} = \dfrac{24}{12}\, \text{A} \cdot 50 \, \text{h} = 100 \, \text{Ah}=Q$

Comentari:
En el S.I., la unitat de mesura de la càrrega elèctrica és le coulomb i es denota per $\text{C}$, i, es relaciona amb la unitat d'intensitat de corrent elèctric de tal manera que $1\, \text{A}=1\, \dfrac{\text{C}}{\text{s}}$.

Les unitats emprades en aquest problema per a la càrrega de la bateria són ampères $\times$ hora. Per expressar la càrrega inicial de la bateria en coulombs farem:
    $Q=100 \, \text{Ah} \cdot 1 \, \dfrac{\frac{\text{C}}{\text{s}}}{\text{A}} \cdot 3600 \, \dfrac{\text{s}}{\text{h}}=360\,000 \, \text{C}$

$\square$

[nota del autor]

Sucesiones y series geométricas. Fórmulas de cálculo. ( Artículo escrito en catalán ).

Enunciat:
Donada una successió geomètrica de la qual en coneixem la raó $r$ i el valor del terme k-èssim $a_k$ ( $k \ge 1$ ), determineu:
    a) l'expressió del terme n-èssim ( comptant a partir del k-èssim )
    b) l'expressió de la suma de $m$ termes consecutius, a partir d'un terme donat $a_k$ ( $\quad \quad k \ge 1$ )
    c) l'expressió del producte de $n$ termes consecutius

Solució:
a)
Vegem com es van formant els termes:
    $a_k$
    $a_{k+1}=a_{k}\cdot r$
    $a_{k+2}=a_{k+1}\cdot r=a_{k} \cdot r \cdot r = a_{k} \cdot r^2$
    $a_{k+3}=a_{k+2}\cdot r=a_{k} \cdot r^2 \cdot r = a_{k} \cdot r^3$
&nbps   $\ldots$
fent-se ja ben clara la regla de formació ( l'exponent de la potència de base $r$ és una unitat menys que el valor de l'índex del terme que hom vol calcular ), és a dir,
    $a_{k+n} = a_k \, r^{n}$ $\quad \quad \text on \; \; n=1,2,3,\ldots \; \text{amb} \; k \ge 1 \;\text{i}\; n \ge k $

Si $k=1$ ( si comencem pel primer terme, o bé si al terme k-èssim el considerem el primer ) l'expressió queda
    $a_{n+1}=a_1 \, r^{n} \; \text{on} \text n \ge 1$
i, canviant $n+1$ per $n$, s'obté
    $a_{n}=a_1 \, r^{n-1} \; \text{on} \text n \ge 1$
que és l'expressió demanada (terme general de la successió).

b)
Per sumar $m$ termes consecutius a partir d'un terme donat $a_k$, és a dir
        $S_m = a_k+a_{k+1}+\ldots+a_{k+m-1} \quad \quad (1)$
procedirem de la manera següent:
Multiplicant per la raó $r$ cadascún dels dos membres de la igualtat (1)
        $r\cdot S_m = r\cdot a_k+r\cdot a_{k+1}+\ldots+r\cdot a_{k+m-2}+r\cdot a_{k+m-1}$
que és igual a
        $r\cdot S_m = a_{k+1}+a_{k+2}+\ldots+a_{k+m-1}+a_{k+m} \quad \quad (2)$
Restant, ara, (2) de (1)
        $r\cdot S_m-S_m = -a_{k}+0+\ldots+a_{k+m}$
i tenint en compte que $a_{k+m}=a_{k}\,r^m$, es pot posar de la forma
        $r\cdot S_m-S_m = -a_{k}+a_{k}\,r^m$
traient factor comú de $S_n$ en el primer membre i de $a_k$ en el segon, trobem
        $S_m\, (r-1) = a_{k}\,(r^m-1)$
i aïllant $S_m$ queda
        $S_m=a_{k}\,\dfrac{r^m-1}{r-1} \quad \text{on} \quad k \ge 1 \; \text{i} \; m \ge k$

Si $k=1$ ( si comencem pel primer terme, o bé si al terme k-èssim el considerem el primer ) l'expressió queda
    $a_m=a_{1}\,\dfrac{r^m-1}{r-1}$
que és l'expressió del terme general que se'ns demanava.

c)
El producte de $m$ termes consecutius d'una s.g. a partir del terme k-èssim és
        $P_m = a_k \cdot a_{k+1} \cdot \ldots \cdot a_{k+m-1} \quad \quad (3)$
i tenint en compte la propietat del producte dels extrems ( en una s.g. és constant ), és a dir, que
        $a_{k}\cdot a_{k+m-1}=a_{k+1}\cdot a_{k+m-2}=a_{k+2}\cdot a_{k+m-3}=\ldots=\text{constant}$
podem escriure (3) de la forma
        $P_m = \big(a_k \cdot a_{k+m-1}\big)^{\frac{m}{2}}$
                $ = \sqrt[2]{\big(a_k \cdot a_{k+m-1}\big)^m}$

Nota:     Si $k=1$ ( si comencem a multiplicar pel primer terme, o bé si al terme k-èssim el considerem el primer ) l'expressió queda
                $P_m = \sqrt[2]{\big(a_1 \cdot a_{m}\big)^m}$

$\square$

[nota del autor]

Ejercicio con una sucesión geométrica. ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
El valor del tercer terme ( $a_3$ ) d'una successió geomètrica val $4$ i el valor del setè terme ( $a_7$ ) és $64$. Calculeu: a) el valor de la raó ( $r$ ); b) el valor del primer terme ( $a_1$ ); i c) el valor de la suma $s_{30}$ ( suma dels $30$ primers termes d'aquesta successió ).

Solució:
a)
Tenint en compte que
    $a_7=a_{3}\cdot r^{7-3}$
trobem que
    $64=4\cdot r^{4}$
simplificant
    $16=r^{4}$
i descomposant en factors primers el primer membre
    $2^4=r^{4} \Rightarrow r=2$

b)
El valor del primer terme el podem trobar del fet que
    $a_3=a_1 \cdot r^{3-1}$
i posant les dades
    $4=a_1 \cdot r^{2} \Rightarrow a_1=1$


c)
Suma dels trenta primers termes consecutius     $a_1+a_2+\ldots+a_{30}$:

Calcularem el valor de la suma dels $n$ primers termes consecutius d'una successió geomètrica fent ús de la fórmula que es va justificar a classe
    $s_{n}=a_{1}\cdot \dfrac{r^n-1}{r-1}$
i, posant les dades, trobem
    $s_{n}=1\cdot \dfrac{2^{30}-1}{2-1}=2^{30}-1$
        $=1 \,073\, 741\, 823$

$\square$

[nota del autor]

Ejercicio sobre los problemas del interés simple y del interés compuesto. ( Artículo escrito en catalán ).

Enunciat:
Dipositem 600,00 € en un compte bancari, a una taxa d'interès nominal ( $i$ ) del 3 % anual, durant 10anys. Calculeu el capital final ( $C_{10}$ ) i el valor dels dels interessos ( $I$ ) d'acord amb els següents models: a) interès simple, i, b) interès compost.

Solució:
a)
El capital final $C_n$ interès simple, per a $n$ intervals de temps, és igual a
    $C_n=C_0+C_0\cdot i\cdot n$
que extraient factor comú es pot escriure també així
    $C_n=C_0\,\big(1+i\cdot n\big)$
i el valor de l'interès $I$ és igual a $C_n-C_0$
    $I=C_0\cdot i\cdot n $
Llavors, posant les dades del problema, trobem el següent valor per al capital final
    $C_{10}=600,00 \cdot\big(1+0,03\cdot 10\big)$
        $=600,00\cdot 1,3$
        $=780,00 \, \text{euro}$
i el següent per a l'interès
    $I=600,00 \cdot0,03\cdot 10$
        $=180,00 \, \text{euro}$

b)
El capital final $C_n$ interès compost, per a $n$ intervals de temps, és igual a
    $C_n=C_0\,\big(1+i\big)^n$
Llavors, posant les dades del problema, trobem el següent valor per al capital final
    $C_{10}=600,00\,\big(1+0,03\big)^{10}$
        $=600,00\cdot 1,03^{10}$
        $\approx 806,35 \, \text{euro}$
i el següent per a l'interès $I$, que és igual a $C_{10}-C_0=806,35-600,00$, és a dir
    $I \approx 206,35 \, \text{euro}$

$\square$

[nota del autor]

Ejercicio sobre rectas en el plano. ( Artículo escrito en catalán ).

Enunciat:
El punt del pla $A(1,3)$ pertany a una recta $s$, que és paral·lela a la recta $r:y=2\,x-1$. Determineu l'equació de la recta $s$.

Solució:

Recordem que podem escriure l'equació d'un recta de diverses maneres, una de les quals s'anomena equació de la recta en forma explícita: $y=m\,x+n$; on el coeficient $m$ representa el pendent de la recta i $n$ l'ordenada a l'origen ( l'ordenada del punt d'intersecció de la recta amb l'eix d'ordenades $Oy$ ). A l'enunciat, se'ns dóna l'equació en forma explícita d'una recta $r$ i se'ns informa que és paral·lela a una altra recta $s$ que hem de determinar; per la qual cosa, haurem de calcular el valor del pendent, $m_s$, i el valor de l'ordenada a l'origen, $n_s$.

  Pendent de la recta: $s$
Si $r \parallel s$, llavors el pendent de la recta $s$, $m_s$, té el mateix valor que el de $r$, que és $m_r=2$. Per tant
    $s:y=2\,x+n_s$

  Ordenada a l'origen de la recta: $s$
Per determinar el valor de l'ordenada a l'origen $n_s$ de la recta $s$, tindrem en compte que $A \in s$, i, doncs, les coordenades d'aquest punt han de satisfer l'equació de la recta $s$
    $y_A=2\,x_A+n_s$
substituint els valors donats, $y_A=3$ i $x_A=1$, trobem
    $3=2\cdot 1+n \Rightarrow n_s=1$

  Conclusió:
L'equació en forma explícita de la recta $s$ és
    $s:y=2\,x+1$
$\square$

[nota del autor]

Ejercicio sobre las nociones de dominio de definición y recorrido de una función. ( artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Una determinada funció $f(x)$, definida de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$, té per gràfic el que podeu veure a la figura de sota. Quin és el domini d'existència de la funció ( subconjunt de nombres que tenen imatge ) ? Quin és le recorregut ( subconjunt de resultats de la funció ) ?.

Solució:
a)
Observant l'eix $Ox$, podrem saber per quins nombres està format el domini d'existència ( el subconjunt de nombres de l'eix $Ox$ que prenen algun valor ( que tenen imatge ) en algun nombre de l'eix $Oy$:
    $D_f=\{x \in \mathbb{R}: 1 \le x \le 2\} \cup \{x \in \mathbb{R}: 3 \le x \le 4\}$
és a dir ( en el llenguatge d'intervals ):
    $D_f=\left[1,2\right] \cup \left[3,4\right] \subset \mathbb{R}$
Nota:     Tots el nombres més grans que $2$ i més petits que $3$ no tenen imatge i, doncs, no pertanyen al domini d'existència de la funció.
b)
Mirant l'eix $Oy$, podrem saber per quins nombres està format el recorregut de la funció ( el subconjunt de nombres que són imatge ( que representen el valor donat per la funció ) d'algun nombre del domini d'existència ( subconjunt de l'eix $Ox$ ):
    $R_f=\{y \in \mathbb{R}: 1 \le x \le 4\} = \left[1,4\right] \subset \mathbb{R}$
$\square$

[nota del autor]