Discusión de las posibles soluciones de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Estudieu la solució del sistema d'equacions en funció dels valors dels paràmetres $a$ i $b$:

                          $\left.\begin{matrix}a\,x & + & b\,y&=&1\\ b\,x & +&a\,y&=&1\\\end{matrix}\right\}$

Solució:
Per estudiar amb claredat la solució del sistema donat, en trobarem un altre que sigui equivalent a l'original però que pren la forma esglaonada ( reduït pel mètode de Gauss) que, com és ben sabut, s'obté a partir d'operacions elementals entre ambdues equacions; així, si multipliquem tots dos membres de la primera equació per $-b/a$ i sumem, membre a membre, amb els de la segona equació
    $e_2+\Big(-\dfrac{b}{a}\Big)\,e_1 \rightarrow e_2$
arribem a una nova equació (equivalent, però més senzilla, atès que no hi apareix el terme en $x$ )
        $\big(a-\dfrac{b^2}{a}\big)\,y=1-\dfrac{b}{a}$
Llavors, considerant també la primera, s'obté el sistema equivalent ( reduït ) que farem servir per fer l'estudi de les solucions:

                    $\left.\begin{matrix}a\,x & + & b\,y&=&1\\ \, & \,&\big(a-\dfrac{b^2}{a}\big)\,y&=&1-\dfrac{b}{a}\\\end{matrix}\right\}$

Ara, podem començar a investigar diversos escenaris en funció dels valors que prengin els paràmetres $a$ i $b$

    Primer de tot, observem (sistema original) que si els valors dels coeficients $a$ i $b$ són nuls, el sistema és clarament incompatible, atès que ambdues equacions presenten la contradicció     $0=1$.

    El sistema és, també, incompatible si es dóna el cas que el coeficient de la incògnita $y$ de la segona equació és zero i, per contra, no sigui nul el valor del terme independent d'aquesta mateixa equació, atès que, en aquest cas, s'arriba també a una contradicció.

    Per altra banda, cal notar que si el coeficient de la incògnita $y$ de la segona equació és zero i també ho és el valor del terme independent d'aquesta mateixa equació, llavors el sistema és, en aquest cas, compatible indeterminat.

    En qualsevol altre escenari ( de valors de $a$ i de $b$ ), el sistema serà compatible determinat, perquè, la solució constarà d'un sol valor per a cada incògnita.

Vegem, ara, per a quins valors concrets de $a$ i $b$ succeeix tot això que acabem d'avançar:

  Si el coeficient del terme de la incògnita $y$ de la segona equació és zero
&nsp     $a-\dfrac{b^2}{a}=0$
reduint a comú denominador el primer membre podrem escriure la igualtat
      $\dfrac{a^2-b^2}{a}=0$
i, per tant, el numerador d'aquesta fracció ha de ser zero
      $a^2-b^2=0$
però, per la identitat notable
      $a^2-b^2=(a-b)\,(a+b)$
podrem escriure el que hem trobat també així
      $(a-b)\,(a+b)=0$
igualtat que es compleix per a $a=b$ o bé per a $a=-b$

Resumint:

      a)   Si $a=b$ s'anul·la tant el terme independent com el coeficient de la incògnita $y$, i, per tant, la segona equació queda $0=0$, que és trivial, i, doncs, el sistema és compatible indeterminat ( el sistema té infinites solucions, amb estructura, però).

      b.1)   Si $a=-b$ s'anul·la, també en aquest cas, és igual a zero el coeficient de la incògnita $y$ de la segona equació, però no s'anul·la el terme independent (que, ara, pren el valor $2$ ). Llavors, s'arriba a una contradicció, $0=2$, i, per tant, cal concloure que el sistema és incompatible.

      b.2)   Si $a=0$ i $b=0$, és molt clar que el sistema és incompatible.

      c)   Si es compleixen les següents condicions:
          i) $a \neq b$
          ii) $a \neq -b$
          iii) $a \neq 0$
          iv) $b \neq 0$
el sistema és compatible determinat; en aquest cas, es pot comprovar fàcilment que ( resolent el sistema reduït ) les solucions són:
                  $x=y=\dfrac{1}{a+b}$

$\square$

[nota del autor]