Calcular el volumen de un tetraedro ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Calculeu el volum d'un tetràedre d'aresta $a$

Solució:
Calculem el volum com el d'una piràmide ( de base triangular ):
$\mathcal{V}=\dfrac{1}{3}\,\mathcal{A}_{base}\,h \quad \quad (1)$
on l'àrea de la base ( triangle equilàter ) s'expressa de la forma
$\mathcal{A}_{base}=\dfrac{1}{2}\,a\,y$
aplicant el teorema de Pitàgores al t.r. 2
$y^2=a^2+\big(\dfrac{a}{2}\big)^2 \Rightarrow y=\dfrac{a\,\sqrt{3}}{2}$
substituint en (2)
$\mathcal{A}_{base}=\dfrac{a^2\,\sqrt{3}}{4} \quad \quad (2)$
Procedim, ara, a expressar $h$ en funció de $a$:
Aplicant el t. de Pitàgores al t.r. 1,
$h^2+x^2=a^2 \quad \quad (3)$
tampoc coneixem $x$, però aplicant el t. de Pitàgores al t.r. 3 tenim que
$(y-x)^2+\big(\sqrt{a}{2}\big)^2=x^2$
tenint en compte que
$y=\dfrac{a\,\sqrt{3}}{2}$
si desenvolupem el quadrat del binomi del primer membre arribem a
$3 \cdot \dfrac{a^2}{4}-\sqrt{3}\,a\,x+x^2+\dfrac{a^2}{4}=x^2$
i, simplificant, obtenim
$a^2-\sqrt{3}\,x=0 \Rightarrow x=\dfrac{a}{\sqrt{3}}$
que, finalment, substituït en (3), i, simplificant, permet expressar $h$ en funció de $a$:
$h^2=\dfrac{2\,a^2}{3}$
i, per tant,
$h=\sqrt{\dfrac{2}{3}}\,a=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\,a$
Llavors, posant aquest resultat, així com (2), en (1), deduïm l'expressió del volum del tetràedre, donada l'aresta $a$ com a dada:
$\mathcal{V}=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{a^2\,\sqrt{3}}{4} \cdot\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\,a$
que, simplificat, queda
$\mathcal{V}=\dfrac{\sqrt{2}}{12}\,a^3$
$\square$

[nota del autor]