Enunciat:
Quant val la suma dels infinits termes de la successió geomètrica de raó $r=0,1$ i primer terme igual a $1$ ?
Solució:
La fórmula de la suma de $n$ termes consecutius d'una successió geomètrica és
$S_n=a_{1}\,\dfrac{r^n-1}{r-1}$
Tot i haver de sumar infinits termes ( $n$ és un nombre tan gran com vulguem, que representarem per $+\infty$ ), la raó $r$ és més petita que $1$, i, per tant,
$\big(0,1\big)^{+\infty}=0$
atès que
$0,1$ és més gran que $0,1 \cdot 0,1$, i, aquesta quantitat és més gran que $0,1 \cdot 0,1 \cdot 0,1$ i així successivament; és per això que $0,1$ multiplicat per si mateix un nombre indefinit de vegades porta cap a zero.
Llavors,
$S_{\text{infinits termes}}=1\cdot \dfrac{\big(\frac{1}{2}\big)^{+\infty}-1}{\frac{1}{2}-1}=\dfrac{0-1}{-\frac{1}{2}}=2$
$\square$
No hay comentarios:
Publicar un comentario
Gracias por tus comentarios