Enunciat:
Donada una successió geomètrica de la qual en coneixem la raó r i el valor primer terme a_1, determineu:
a) l'expressió del terme n-èssim
b) l'expressió de la suma de n primers termes consecutius
c) l'expressió del producte de n primers termes consecutius
Solució:
a)
Vegem com es van formant els termes:
a_1
a_{2}=a_{1}\cdot r
a_{3}=a_{2}\cdot r=a_{1} \cdot r \cdot r = a_{1} \cdot r^2
a_{4}=a_{3}\cdot r=a_{2} \cdot r^2 \cdot r = a_{1} \cdot r^3
&nbps \ldots
fent-se ja ben clara la regla de formació ( l'exponent de la potència de base r és una unitat menys que el valor de l'índex del terme que hom vol calcular ), és a dir,
a_{n} = a_1 \, r^{n-1} \quad \quad \text on \; \; n=1,2,3,\ldots
b)
Per sumar els n primers termes consecutius
S_n = a_1+a_{2}+\ldots+a_{n} \quad \quad (1)
procedirem de la manera següent:
Multiplicant per la raó r cadascún dels dos membres de la igualtat (1)
r\cdot S_n = r\cdot a_1+r\cdot a_{2}+\ldots+r\cdot a_{3}+r\cdot a_{n}
que és igual a
r\cdot S_m = a_{2}+a_{3}+\ldots+a_{n-1}+a_{n} \quad \quad (2)
Restant, ara, (2) de (1)
r\cdot S_n-S_n = -a_{1}+0+\ldots+a_{n}
i tenint en compte que a_{n}=a_{1}\,r^n, es pot posar de la forma
r\cdot S_n-S_n = -a_{1}+a_{1}\,r^n
traient factor comú de S_n en el primer membre i de a_1 en el segon, trobem
S_m\, (r-1) = a_{1}\,(r^{n}-1)
i aïllant S_m queda
S_n=a_{1}\,\dfrac{r^{n}-1}{r-1}
c)
El producte dels n primers termes consecutius d'una s.g. és
P_m = a_1 \cdot a_{2} \cdot \ldots \cdot a_{n} \quad \quad (3)
i tenint en compte la propietat del producte dels extrems ( en una s.g. és constant ), és a dir, que
a_{1}\cdot a_{n}=a_{2}\cdot a_{n-1}=a_{3}\cdot a_{n-2}=\ldots=\text{constant}
podem escriure (3) de la forma
P_n = \big(a_1 \cdot a_{n}\big)^{\frac{n}{2}}
= \sqrt[2]{\big(a_1 \cdot a_{n}\big)^n}
\diamond
No hay comentarios:
Publicar un comentario
Gracias por tus comentarios