Enunciat:
Donada una successió geomètrica de la qual en coneixem la raó $r$ i el valor primer terme $a_1$, determineu:
a) l'expressió del terme n-èssim
b) l'expressió de la suma de $n$ primers termes consecutius
c) l'expressió del producte de $n$ primers termes consecutius
Solució:
a)
Vegem com es van formant els termes:
$a_1$
$a_{2}=a_{1}\cdot r$
$a_{3}=a_{2}\cdot r=a_{1} \cdot r \cdot r = a_{1} \cdot r^2$
$a_{4}=a_{3}\cdot r=a_{2} \cdot r^2 \cdot r = a_{1} \cdot r^3$
&nbps $\ldots$
fent-se ja ben clara la regla de formació ( l'exponent de la potència de base $r$ és una unitat menys que el valor de l'índex del terme que hom vol calcular ), és a dir,
$a_{n} = a_1 \, r^{n-1}$ $\quad \quad \text on \; \; n=1,2,3,\ldots$
b)
Per sumar els $n$ primers termes consecutius
$S_n = a_1+a_{2}+\ldots+a_{n} \quad \quad (1)$
procedirem de la manera següent:
Multiplicant per la raó $r$ cadascún dels dos membres de la igualtat (1)
$r\cdot S_n = r\cdot a_1+r\cdot a_{2}+\ldots+r\cdot a_{3}+r\cdot a_{n}$
que és igual a
$r\cdot S_m = a_{2}+a_{3}+\ldots+a_{n-1}+a_{n} \quad \quad (2)$
Restant, ara, (2) de (1)
$r\cdot S_n-S_n = -a_{1}+0+\ldots+a_{n}$
i tenint en compte que $a_{n}=a_{1}\,r^n$, es pot posar de la forma
$r\cdot S_n-S_n = -a_{1}+a_{1}\,r^n$
traient factor comú de $S_n$ en el primer membre i de $a_1$ en el segon, trobem
$S_m\, (r-1) = a_{1}\,(r^{n}-1)$
i aïllant $S_m$ queda
$S_n=a_{1}\,\dfrac{r^{n}-1}{r-1}$
c)
El producte dels $n$ primers termes consecutius d'una s.g. és
$P_m = a_1 \cdot a_{2} \cdot \ldots \cdot a_{n} \quad \quad (3)$
i tenint en compte la propietat del producte dels extrems ( en una s.g. és constant ), és a dir, que
$a_{1}\cdot a_{n}=a_{2}\cdot a_{n-1}=a_{3}\cdot a_{n-2}=\ldots=\text{constant}$
podem escriure (3) de la forma
$P_n = \big(a_1 \cdot a_{n}\big)^{\frac{n}{2}}$
$ = \sqrt[2]{\big(a_1 \cdot a_{n}\big)^n}$
$\diamond$
No hay comentarios:
Publicar un comentario
Gracias por tus comentarios