Enunciat:
El valor del tercer terme ( $a_3$ ) d'una successió geomètrica val $4$ i el valor del setè terme ( $a_7$ ) és $64$. Calculeu: a) el valor de la raó ( $r$ ); b) el valor del primer terme ( $a_1$ ); i c) el valor de la suma $s_{30}$ ( suma dels $30$ primers termes d'aquesta successió ).
Solució:
a)
Tenint en compte que
$a_7=a_{3}\cdot r^{7-3}$
trobem que
$64=4\cdot r^{4}$
simplificant
$16=r^{4}$
i descomposant en factors primers el primer membre
$2^4=r^{4} \Rightarrow r=2$
b)
El valor del primer terme el podem trobar del fet que
$a_3=a_1 \cdot r^{3-1}$
i posant les dades
$4=a_1 \cdot r^{2} \Rightarrow a_1=1$
c)
Suma dels trenta primers termes consecutius $a_1+a_2+\ldots+a_{30}$:
Calcularem el valor de la suma dels $n$ primers termes consecutius d'una successió geomètrica fent ús de la fórmula que es va justificar a classe
$s_{n}=a_{1}\cdot \dfrac{r^n-1}{r-1}$
i, posant les dades, trobem
$s_{n}=1\cdot \dfrac{2^{30}-1}{2-1}=2^{30}-1$
$=1 \,073\, 741\, 823$
$\square$
