Determínese el valor de $x$ que cumple la siguiente igualdad ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
(a) Determineu el valor de $x$ que verifica la següent igualtat:
    $1+2+4+8+16\ldots+x=1023$
(b) Calculeu el producte
    $1\cdot 2 \cdot 4\cdot 8\cdot 16\cdot \ldots \cdot x$
on $x$ és l'últim sumand de l'apartat anterior

Solució:
a)
El primer membre correspon a la suma dels $n$ termes de d'una successió geomètrica de raó igual a $2$, amb $x$ com a últim terme de la seqüència, és a dir $x$ és $a_n=a_1\cdot r^{n-1}$. I, donat que $a_1=1$ i $r=2$, s'escriu de la forma $x=2^{n-1} \quad (1)$ on $n$ és el nombre de sumands. Per altra banda, el segon membre és el valor d'aquesta suma. Sabem que la suma de $n$ termes consecutius d'una successió geomètrica es calcula de la forma
    $S_n=a_1\cdot \dfrac{r^n-1}{r-1}$
que, en el nostre cas, és
    $1023=1\cdot \dfrac{2^n-1}{2-1}$
és a dir
    $1023=2^n-1 \quad \quad (2)$

Ara, de les expressió (1) veiem que
    $x=\dfrac{2^n}{2}$
i, per tant,
    $2^n=2\,x \quad \quad (3)$
i, substituint-ho en (2), arribem a
    $1023=2\,x-1$
I, d'aquí, aïllem $x$
    $x=\dfrac{1024}{2}=512$

b)
Sabem que, per la propietat que expressa que el producte dels extrems d'una seqüència de $n$ termes d'una successió geomètrica (s.g.) és constant, el producte $P_n$ de $n$ termes consecutius de la s.g. ve donat per l'expressió
    $P_n = \sqrt[2]{\big(a_{1}\cdot a_{n}\big)^n} \quad \quad (4)$

Aquí, $a_n$ és igual a $x$, i, ja sabem que el seu valor és $512$. Per altra banda, el valor de $n$ el deduïm de l'expressió (3) que hem trobat a l'apartat anterior
    $512=\dfrac{2^n}{2}$
que es pot posar de la forma
    $1024=2^n$
i tenint en compte que $1024 = 2^{10}$
podem escriure l'equació anterior així
    $2^{10}=2^n \Rightarrow n=10$

Llavors, de (4), ja podem calcular el valor del producte demanat
    $P_{10}=\sqrt[2]{\big(1\cdot 512\big)^{10}}$
        $=512^{\frac{10}{2}}$
        $=512^5$
i fent el càlcul amb el programa MAXIMA trobem, concretament, el següent nombre
        $35 \, 184 \, 372 \, 088 \, 832$

$\square$

[nota del autor]