Sucesiones y series geométricas. Fórmulas de cálculo. ( Artículo escrito en catalán ).

Enunciat:
Donada una successió geomètrica de la qual en coneixem la raó $r$ i el valor del terme k-èssim $a_k$ ( $k \ge 1$ ), determineu:
    a) l'expressió del terme n-èssim ( comptant a partir del k-èssim )
    b) l'expressió de la suma de $m$ termes consecutius, a partir d'un terme donat $a_k$ ( $\quad \quad k \ge 1$ )
    c) l'expressió del producte de $n$ termes consecutius

Solució:
a)
Vegem com es van formant els termes:
    $a_k$
    $a_{k+1}=a_{k}\cdot r$
    $a_{k+2}=a_{k+1}\cdot r=a_{k} \cdot r \cdot r = a_{k} \cdot r^2$
    $a_{k+3}=a_{k+2}\cdot r=a_{k} \cdot r^2 \cdot r = a_{k} \cdot r^3$
&nbps   $\ldots$
fent-se ja ben clara la regla de formació ( l'exponent de la potència de base $r$ és una unitat menys que el valor de l'índex del terme que hom vol calcular ), és a dir,
    $a_{k+n} = a_k \, r^{n}$ $\quad \quad \text on \; \; n=1,2,3,\ldots \; \text{amb} \; k \ge 1 \;\text{i}\; n \ge k $

Si $k=1$ ( si comencem pel primer terme, o bé si al terme k-èssim el considerem el primer ) l'expressió queda
    $a_{n+1}=a_1 \, r^{n} \; \text{on} \text n \ge 1$
i, canviant $n+1$ per $n$, s'obté
    $a_{n}=a_1 \, r^{n-1} \; \text{on} \text n \ge 1$
que és l'expressió demanada (terme general de la successió).

b)
Per sumar $m$ termes consecutius a partir d'un terme donat $a_k$, és a dir
        $S_m = a_k+a_{k+1}+\ldots+a_{k+m-1} \quad \quad (1)$
procedirem de la manera següent:
Multiplicant per la raó $r$ cadascún dels dos membres de la igualtat (1)
        $r\cdot S_m = r\cdot a_k+r\cdot a_{k+1}+\ldots+r\cdot a_{k+m-2}+r\cdot a_{k+m-1}$
que és igual a
        $r\cdot S_m = a_{k+1}+a_{k+2}+\ldots+a_{k+m-1}+a_{k+m} \quad \quad (2)$
Restant, ara, (2) de (1)
        $r\cdot S_m-S_m = -a_{k}+0+\ldots+a_{k+m}$
i tenint en compte que $a_{k+m}=a_{k}\,r^m$, es pot posar de la forma
        $r\cdot S_m-S_m = -a_{k}+a_{k}\,r^m$
traient factor comú de $S_n$ en el primer membre i de $a_k$ en el segon, trobem
        $S_m\, (r-1) = a_{k}\,(r^m-1)$
i aïllant $S_m$ queda
        $S_m=a_{k}\,\dfrac{r^m-1}{r-1} \quad \text{on} \quad k \ge 1 \; \text{i} \; m \ge k$

Si $k=1$ ( si comencem pel primer terme, o bé si al terme k-èssim el considerem el primer ) l'expressió queda
    $a_m=a_{1}\,\dfrac{r^m-1}{r-1}$
que és l'expressió del terme general que se'ns demanava.

c)
El producte de $m$ termes consecutius d'una s.g. a partir del terme k-èssim és
        $P_m = a_k \cdot a_{k+1} \cdot \ldots \cdot a_{k+m-1} \quad \quad (3)$
i tenint en compte la propietat del producte dels extrems ( en una s.g. és constant ), és a dir, que
        $a_{k}\cdot a_{k+m-1}=a_{k+1}\cdot a_{k+m-2}=a_{k+2}\cdot a_{k+m-3}=\ldots=\text{constant}$
podem escriure (3) de la forma
        $P_m = \big(a_k \cdot a_{k+m-1}\big)^{\frac{m}{2}}$
                $ = \sqrt[2]{\big(a_k \cdot a_{k+m-1}\big)^m}$

Nota:     Si $k=1$ ( si comencem a multiplicar pel primer terme, o bé si al terme k-èssim el considerem el primer ) l'expressió queda
                $P_m = \sqrt[2]{\big(a_1 \cdot a_{m}\big)^m}$

$\square$

[nota del autor]