Enunciat:
Donada una successió geomètrica de la qual en coneixem la raó r i el valor del terme k-èssim a_k ( k \ge 1 ), determineu:
a) l'expressió del terme n-èssim ( comptant a partir del k-èssim )
b) l'expressió de la suma de m termes consecutius, a partir d'un terme donat a_k ( \quad \quad k \ge 1 )
c) l'expressió del producte de n termes consecutius
Solució:
a)
Vegem com es van formant els termes:
a_k
a_{k+1}=a_{k}\cdot r
a_{k+2}=a_{k+1}\cdot r=a_{k} \cdot r \cdot r = a_{k} \cdot r^2
a_{k+3}=a_{k+2}\cdot r=a_{k} \cdot r^2 \cdot r = a_{k} \cdot r^3
&nbps \ldots
fent-se ja ben clara la regla de formació ( l'exponent de la potència de base r és una unitat menys que el valor de l'índex del terme que hom vol calcular ), és a dir,
a_{k+n} = a_k \, r^{n} \quad \quad \text on \; \; n=1,2,3,\ldots \; \text{amb} \; k \ge 1 \;\text{i}\; n \ge k
Si k=1 ( si comencem pel primer terme, o bé si al terme k-èssim el considerem el primer ) l'expressió queda
a_{n+1}=a_1 \, r^{n} \; \text{on} \text n \ge 1
i, canviant n+1 per n, s'obté
a_{n}=a_1 \, r^{n-1} \; \text{on} \text n \ge 1
que és l'expressió demanada (terme general de la successió).
b)
Per sumar m termes consecutius a partir d'un terme donat a_k, és a dir
S_m = a_k+a_{k+1}+\ldots+a_{k+m-1} \quad \quad (1)
procedirem de la manera següent:
Multiplicant per la raó r cadascún dels dos membres de la igualtat (1)
r\cdot S_m = r\cdot a_k+r\cdot a_{k+1}+\ldots+r\cdot a_{k+m-2}+r\cdot a_{k+m-1}
que és igual a
r\cdot S_m = a_{k+1}+a_{k+2}+\ldots+a_{k+m-1}+a_{k+m} \quad \quad (2)
Restant, ara, (2) de (1)
r\cdot S_m-S_m = -a_{k}+0+\ldots+a_{k+m}
i tenint en compte que a_{k+m}=a_{k}\,r^m, es pot posar de la forma
r\cdot S_m-S_m = -a_{k}+a_{k}\,r^m
traient factor comú de S_n en el primer membre i de a_k en el segon, trobem
S_m\, (r-1) = a_{k}\,(r^m-1)
i aïllant S_m queda
S_m=a_{k}\,\dfrac{r^m-1}{r-1} \quad \text{on} \quad k \ge 1 \; \text{i} \; m \ge k
Si k=1 ( si comencem pel primer terme, o bé si al terme k-èssim el considerem el primer ) l'expressió queda
a_m=a_{1}\,\dfrac{r^m-1}{r-1}
que és l'expressió del terme general que se'ns demanava.
c)
El producte de m termes consecutius d'una s.g. a partir del terme k-èssim és
P_m = a_k \cdot a_{k+1} \cdot \ldots \cdot a_{k+m-1} \quad \quad (3)
i tenint en compte la propietat del producte dels extrems ( en una s.g. és constant ), és a dir, que
a_{k}\cdot a_{k+m-1}=a_{k+1}\cdot a_{k+m-2}=a_{k+2}\cdot a_{k+m-3}=\ldots=\text{constant}
podem escriure (3) de la forma
P_m = \big(a_k \cdot a_{k+m-1}\big)^{\frac{m}{2}}
= \sqrt[2]{\big(a_k \cdot a_{k+m-1}\big)^m}
Nota: Si k=1 ( si comencem a multiplicar pel primer terme, o bé si al terme k-èssim el considerem el primer ) l'expressió queda
P_m = \sqrt[2]{\big(a_1 \cdot a_{m}\big)^m}
\square
No hay comentarios:
Publicar un comentario
Gracias por tus comentarios