miércoles, 28 de junio de 2017
Exámenes realizados durante el curso, resueltos y comentados
Podéis acceder a los exámenes realizados ( resueltos y comentados ) siguiendo [este enlace].
lunes, 26 de junio de 2017
Cálculo de la tasa de variación media de una función en un intervalo donde es continua. Información que se extrae de ello.
ENUNCIADO. Considérese la función $f(x)=x^3$. Calcular la tasa de variación media ( TVM ) en el intervalo $[\dfrac{4}{5}\,,\,\dfrac{9}{10}]$. ¿ Qué información extraemos del cálculo de dicha cantidad acerca del comportamiento de la función en dicho intervalo ?.
SOLUCIÓN. La resolución de este ejercicio es análogo a la de [este otro]. La solución ( se sugiere al lector que lo compruebe ) es $2,17$, que es mayor que cero, de lo cual se deduce que en promedio la función crece en el intervalo pedido. $\square$
SOLUCIÓN. La resolución de este ejercicio es análogo a la de [este otro]. La solución ( se sugiere al lector que lo compruebe ) es $2,17$, que es mayor que cero, de lo cual se deduce que en promedio la función crece en el intervalo pedido. $\square$
Cálculo de la función recíproca asociada a una función biyectiva
ENUNCIADO. Dada la función biyectiva $f(x)=\log_2\,x$. Se pide:
a) Calcular la antiimagen ( por $f$ ) de $-2$
b) Determinar la función recíproca $f^{-1}(x)$ asociada a $f(x)$
SOLUCIÓN.
a) Teniendo en cuenta que $2=\log_2\,x$, deducimos ( por la definición de logaritmo ) que $x=2^2=4$, luego podemos decir que $f^{-1}(2)=4$
b) Escribiendo ( por comodidad ) $y$ en lugar de $f(x)$, vemos que $y=\log_2\,x$. Despejando $x$ de dicha ecuación, $x=2^y$. Así, pues, podemos decir que $f^{-1}(x)=2^x$ para todo $x \in \text{Im}\,f$
$\square$
a) Calcular la antiimagen ( por $f$ ) de $-2$
b) Determinar la función recíproca $f^{-1}(x)$ asociada a $f(x)$
SOLUCIÓN.
a) Teniendo en cuenta que $2=\log_2\,x$, deducimos ( por la definición de logaritmo ) que $x=2^2=4$, luego podemos decir que $f^{-1}(2)=4$
b) Escribiendo ( por comodidad ) $y$ en lugar de $f(x)$, vemos que $y=\log_2\,x$. Despejando $x$ de dicha ecuación, $x=2^y$. Así, pues, podemos decir que $f^{-1}(x)=2^x$ para todo $x \in \text{Im}\,f$
$\square$
Dominio de definición y conjunto imagen de una función
ENUNCIADO. Hallar el dominio de definición y el recorrido ( o conjunto imagen ) de la función $f(x)=\left|\sqrt{x^2-9}\right|$
SOLUCIÓN. Sabemos que $\text{Dom}\,f\overset{\text{def}}{=}\{x\in \mathbb{R}:f(x)\in \mathbb{R}\}$ con lo cual deberá cumplirse que, en el caso dado, $x^2-9 \ge 0$. Observemos que $x^2-9=0 \Leftrightarrow x=\pm 3$, siendo $f(3^{+}) \succ 0$ y $f(-3^{-}) \succ 0$, mientras que $f(x)$ toma valores negativos en el intervalo $(-3,\,\,3)$, de lo cual deducimos que $\text{Dom}\,f=(-\infty\,,\,-3]\cup (3\,,\,+\infty)$
La función raíz cuadrada ( sea cual sea su argumento ) es positiva o nula, y no está acotada superiormente, luego $\text{Im}\,f=[0\,,\,+\infty)\subset \mathbb{R}$
$\square$
SOLUCIÓN. Sabemos que $\text{Dom}\,f\overset{\text{def}}{=}\{x\in \mathbb{R}:f(x)\in \mathbb{R}\}$ con lo cual deberá cumplirse que, en el caso dado, $x^2-9 \ge 0$. Observemos que $x^2-9=0 \Leftrightarrow x=\pm 3$, siendo $f(3^{+}) \succ 0$ y $f(-3^{-}) \succ 0$, mientras que $f(x)$ toma valores negativos en el intervalo $(-3,\,\,3)$, de lo cual deducimos que $\text{Dom}\,f=(-\infty\,,\,-3]\cup (3\,,\,+\infty)$
La función raíz cuadrada ( sea cual sea su argumento ) es positiva o nula, y no está acotada superiormente, luego $\text{Im}\,f=[0\,,\,+\infty)\subset \mathbb{R}$
$\square$
Otro ejercicio de composición de funciones
ENUNCIADO. Sean las funciones $f(x)=x+1$ y $g(x)=x^2-1$. Se pide:
a) El valor de función $(f \circ g)(2)$
b) El valor de función $(g \circ f)(2)$
c) La función $g \circ f$ ($f$ compuesta con $g$)
d) La función $f \circ g$ ($g$ compuesta con $f$)
SOLUCIÓN.
a) $(f \circ g)(2)=f(g(2))=f(2^2-1)=f(3)=3+1=4$
b) $(g \circ f)(2)=g(f(2))=g(2+1)=g(3)=3^2-1=8$
c) $(g \circ f)(x)=g(f(x))=g(x+1)=(x+1)^2-1=x^2+2x+1-1=x^2+2x$
$=x\,(x+2)$
d) $(f \circ g)(x)=f(g(x))=f(x^2-1)=(x^2-1)+1=x^2$
$\square$
a) El valor de función $(f \circ g)(2)$
b) El valor de función $(g \circ f)(2)$
c) La función $g \circ f$ ($f$ compuesta con $g$)
d) La función $f \circ g$ ($g$ compuesta con $f$)
SOLUCIÓN.
a) $(f \circ g)(2)=f(g(2))=f(2^2-1)=f(3)=3+1=4$
b) $(g \circ f)(2)=g(f(2))=g(2+1)=g(3)=3^2-1=8$
c) $(g \circ f)(x)=g(f(x))=g(x+1)=(x+1)^2-1=x^2+2x+1-1=x^2+2x$
$=x\,(x+2)$
d) $(f \circ g)(x)=f(g(x))=f(x^2-1)=(x^2-1)+1=x^2$
$\square$
Gráfica de una función de proporcionalidad inversa
ENUNCIADO. Dibujar la gráfica de la función $$f(x)=\dfrac{1}{x+2}+3$$ mediante transformaciones del trazo de la gráfica de la función de proporcionalidad inversa $g(x)=\dfrac{1}{x}$
SOLUCIÓN. La resolución de este ejercicio es análoga a la de [este otro]. Se pide al lector que compruebe que la solución a la función pedida es la siguiente:
$\square$
SOLUCIÓN. La resolución de este ejercicio es análoga a la de [este otro]. Se pide al lector que compruebe que la solución a la función pedida es la siguiente:
$\square$
Estudio analítico de una recta en el plano
ENUNCIADO. Sean los puntos del plano $A(1,1)$ y $B(3,-1)$. Se pide:
a) La ecuación de la recta en forma explícita que pasa por dichos puntos
b) La distancia euclídea entre ambos puntos
c) Un vector director de la recta (que pasa por $A$ y $B$), su módulo y su ángulo polar
d) Una ecuación vectorial de la recta que pasa por $A$ y $B$
SOLUCIÓN.
a)
La ecuación de la recta en forma explícita viene dada por $r:y=mx+k \quad \quad (1)$, donde el coeficiente $m$ representa la pendiente de la recta y el coeficiente $k$ la ordenada en el origen. Como $A$ está en $r$, sus coordenadas deberán cumplir (1), luego $$1=m+k$$ y, de forma análoga, como $B$ también está en $r$, sus coordenadas cumplen (1), con lo cual $$-1=3\,m+k$$ Par conocer el valor de $m$ y el valor de $k$ debemos pues resolver el sistema de ecuaciones $$\left\{\begin{matrix}m&+&k&=&1\\3\,m&+&k&=&-1\end{matrix}\right.$$ Restando la primera de la segunda ecuación se llega a la siguiente ecuación equivalente $2\,m=-2$ y por tanto $m=-1$ ( pendiente de la recta ), y sustituyendo este valor en la primera ecuación, encontramos $-1+k=1$ con lo cual $k=2$ ( la recta corta al eje de ordenadas en el punto de coordenadas $(0-2)$. Así, pues, la ecuación de la recta en forma explícita viene dada por $$r:y=-x+2$$
b)
$$\text{distancia euclídea}(A,B)\overset{\text{def}}{=}\left\|\vec{BA}\right\|=\left\|\vec{AB}\right\|=\left|\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\right|$$ Con los datos del problema, $$\text{distancia euclídea}(A,B)=\left|\sqrt{(3-1)^2+(-1-1)^2}\right|=\left|\sqrt{8}\right|=\left|2\,\sqrt{2}\right|$$
c)
Un vector director de $r$ es $$\vec{u}=\vec{AB}=(x_B-x_A\,,\,y_B-y_A)=(3-1\,,\,-1-1)=(2\,,\,-2)$$ El afijo de dicho vector es el punto de coordenadas $(2\,,\,-2)$, que está en el cuarto cuadrante, luego el ángulo polar $\alpha$ es mayor que $270^\circ$ y menor que $360^{\circ}$. Veamos cuál es su valor: Como $\tan\,\alpha=\dfrac{u_y}{u_x}=\dfrac{-2}{2}=-1$, podemos escribir que $\alpha=-45^{\circ}$, o lo que es equivalente ( usando el convenio positivo de signos del giro ), $360^{\circ}+(-45)^{\circ}=315^{\circ}$ El módulo del vector director que hemos tomado $\vec{u}=\vec{AB}$ ya lo hemos calculado en el apartado anterior, y recordemos que es igual a $$\left\|\vec{u}\right\|=\left|2\,\sqrt{2}\right|$$
d) Sea un punto cualquiera $P(x,y)$ de $r$, entonces deberá cumplirse que $$\vec{OP}=\vec{OA}+\vec{AP} \quad \quad$$ donde $O(0,0)$ es el origen de coordenadas. Por otra parte, $\vec{AP}$ tiene la misma dirección que $\vec{AB}$, luego existe un escalar $\lambda$ tal que $\vec{AP}=\lambda\,\vec{AB}$, con lo cual podemos escribir (1) de la forma $$\vec{OP}=\vec{OA}+\lambda\,\vec{AB}$$ y como $\vec{AB}=(2\,,\,-2)$ y $A$ tiene coordenadas $(1,1)$, también podemos poner esto de la forma $$(x,y)=(1,1)+\lambda\,(2,-2)$$
$\square$
a) La ecuación de la recta en forma explícita que pasa por dichos puntos
b) La distancia euclídea entre ambos puntos
c) Un vector director de la recta (que pasa por $A$ y $B$), su módulo y su ángulo polar
d) Una ecuación vectorial de la recta que pasa por $A$ y $B$
SOLUCIÓN.
a)
La ecuación de la recta en forma explícita viene dada por $r:y=mx+k \quad \quad (1)$, donde el coeficiente $m$ representa la pendiente de la recta y el coeficiente $k$ la ordenada en el origen. Como $A$ está en $r$, sus coordenadas deberán cumplir (1), luego $$1=m+k$$ y, de forma análoga, como $B$ también está en $r$, sus coordenadas cumplen (1), con lo cual $$-1=3\,m+k$$ Par conocer el valor de $m$ y el valor de $k$ debemos pues resolver el sistema de ecuaciones $$\left\{\begin{matrix}m&+&k&=&1\\3\,m&+&k&=&-1\end{matrix}\right.$$ Restando la primera de la segunda ecuación se llega a la siguiente ecuación equivalente $2\,m=-2$ y por tanto $m=-1$ ( pendiente de la recta ), y sustituyendo este valor en la primera ecuación, encontramos $-1+k=1$ con lo cual $k=2$ ( la recta corta al eje de ordenadas en el punto de coordenadas $(0-2)$. Así, pues, la ecuación de la recta en forma explícita viene dada por $$r:y=-x+2$$
b)
$$\text{distancia euclídea}(A,B)\overset{\text{def}}{=}\left\|\vec{BA}\right\|=\left\|\vec{AB}\right\|=\left|\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\right|$$ Con los datos del problema, $$\text{distancia euclídea}(A,B)=\left|\sqrt{(3-1)^2+(-1-1)^2}\right|=\left|\sqrt{8}\right|=\left|2\,\sqrt{2}\right|$$
c)
Un vector director de $r$ es $$\vec{u}=\vec{AB}=(x_B-x_A\,,\,y_B-y_A)=(3-1\,,\,-1-1)=(2\,,\,-2)$$ El afijo de dicho vector es el punto de coordenadas $(2\,,\,-2)$, que está en el cuarto cuadrante, luego el ángulo polar $\alpha$ es mayor que $270^\circ$ y menor que $360^{\circ}$. Veamos cuál es su valor: Como $\tan\,\alpha=\dfrac{u_y}{u_x}=\dfrac{-2}{2}=-1$, podemos escribir que $\alpha=-45^{\circ}$, o lo que es equivalente ( usando el convenio positivo de signos del giro ), $360^{\circ}+(-45)^{\circ}=315^{\circ}$ El módulo del vector director que hemos tomado $\vec{u}=\vec{AB}$ ya lo hemos calculado en el apartado anterior, y recordemos que es igual a $$\left\|\vec{u}\right\|=\left|2\,\sqrt{2}\right|$$
d) Sea un punto cualquiera $P(x,y)$ de $r$, entonces deberá cumplirse que $$\vec{OP}=\vec{OA}+\vec{AP} \quad \quad$$ donde $O(0,0)$ es el origen de coordenadas. Por otra parte, $\vec{AP}$ tiene la misma dirección que $\vec{AB}$, luego existe un escalar $\lambda$ tal que $\vec{AP}=\lambda\,\vec{AB}$, con lo cual podemos escribir (1) de la forma $$\vec{OP}=\vec{OA}+\lambda\,\vec{AB}$$ y como $\vec{AB}=(2\,,\,-2)$ y $A$ tiene coordenadas $(1,1)$, también podemos poner esto de la forma $$(x,y)=(1,1)+\lambda\,(2,-2)$$
$\square$
Cálculo del área de un pentágono regular, conocido el radio de la circunferencia circunscrita
ENUNCIADO. Calcular el área de un pentágono regular inscrito en una circunferencia de $4$ centímetros de radio.
SOLUCIÓN.
En la figura podemos ver como el pentágono regular se descompone en $10$ triángulos rectángulos cuyos catetos hemos denotado por $a$ y $c$, entonces el área pedida es $$\text{Área}=10\cdot \dfrac{c\cdot a}{2}=5\cdot c\cdot a \quad \quad (1)$$ Procedemos a calcular la longitud de $c$ y de $a$ empleando la trigonometría elemental.
$$c=4\cdot \sin\,(360^{\circ}/10)=4\cdot \sin\,36^{\circ}$$
$$a=4\cdot \cos\,(360^{\circ}/10)=4\cdot \cos\,36^{\circ}$$ Y sustituyendo en (1) $$\text{Área}=80 \cdot \sin\,36^{\circ} \cdot \cos\,36^{\circ} \approx 38\,\text{cm}^2$$
$\square$
SOLUCIÓN.
En la figura podemos ver como el pentágono regular se descompone en $10$ triángulos rectángulos cuyos catetos hemos denotado por $a$ y $c$, entonces el área pedida es $$\text{Área}=10\cdot \dfrac{c\cdot a}{2}=5\cdot c\cdot a \quad \quad (1)$$ Procedemos a calcular la longitud de $c$ y de $a$ empleando la trigonometría elemental.
$$c=4\cdot \sin\,(360^{\circ}/10)=4\cdot \sin\,36^{\circ}$$
$$a=4\cdot \cos\,(360^{\circ}/10)=4\cdot \cos\,36^{\circ}$$ Y sustituyendo en (1) $$\text{Área}=80 \cdot \sin\,36^{\circ} \cdot \cos\,36^{\circ} \approx 38\,\text{cm}^2$$
$\square$
¿ Aceptamos la apuesta ?
ENUNCIADO. Se extraen, sin reemplazamiendo, dos cartas de una baraja española ( con $48$ cartas ). Nos proponen la siguiente apuesta: en caso de que las dos cartas sean figuras obtenemos $+16$ puntos y en caso de que no sea así, obtenemos $-1$ punto. Se pide:
a) Calcular la probabilidad de obtener dos figuras
b) Calcular la probabilidad de no obtener dos figuras
c) Calcular la ganancia esperada y decir, de forma razonada, si debemos aceptar dicha apuesta.
SOLUCIÓN.
a)
Denotemos por $F_1$ al suceso 'elgeir figura en la primera extracción' y por $F_2$ elegir figura en la segunda extracción.
Entonces $$P(F_1 \cap F_2)=P(F_1)\cdot P(F_2|F_1) \quad \quad (1)$$ siendo $P(F_1)=\dfrac{3\cdot 4}{48}=\dfrac{12}{48}=\dfrac{1}{4}$ y $P(F_2)=\dfrac{12-1}{48-1}=\dfrac{11}{47}$
Sustituyendo esas probabilidades en (1), $$P(F_1 \cap F_2)=\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{11}{47}=\dfrac{11}{188}$$
b) La probabilidad de no obtener ninguna figura es la del suceso contrario a $F_1 \cap F_2$, luego
$$P(\overline{F_1\cap F_2})=1-P(F_1 \cap F_2)=1-\dfrac{11}{188}=\dfrac{177}{188}$$
c) La ganancia esperada viende dada por $$E=(+16)\cdot \dfrac{11}{188}+(-1)\cdot \dfrac{177}{188}=-\dfrac{1}{188} \prec 0$$ luego no debemos aceptar la apuesta, pues, al ser la ganancia negativa, la condiciones de la misma no nos favorecen.
$\square$
a) Calcular la probabilidad de obtener dos figuras
b) Calcular la probabilidad de no obtener dos figuras
c) Calcular la ganancia esperada y decir, de forma razonada, si debemos aceptar dicha apuesta.
SOLUCIÓN.
a)
Denotemos por $F_1$ al suceso 'elgeir figura en la primera extracción' y por $F_2$ elegir figura en la segunda extracción.
Entonces $$P(F_1 \cap F_2)=P(F_1)\cdot P(F_2|F_1) \quad \quad (1)$$ siendo $P(F_1)=\dfrac{3\cdot 4}{48}=\dfrac{12}{48}=\dfrac{1}{4}$ y $P(F_2)=\dfrac{12-1}{48-1}=\dfrac{11}{47}$
Sustituyendo esas probabilidades en (1), $$P(F_1 \cap F_2)=\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{11}{47}=\dfrac{11}{188}$$
b) La probabilidad de no obtener ninguna figura es la del suceso contrario a $F_1 \cap F_2$, luego
$$P(\overline{F_1\cap F_2})=1-P(F_1 \cap F_2)=1-\dfrac{11}{188}=\dfrac{177}{188}$$
c) La ganancia esperada viende dada por $$E=(+16)\cdot \dfrac{11}{188}+(-1)\cdot \dfrac{177}{188}=-\dfrac{1}{188} \prec 0$$ luego no debemos aceptar la apuesta, pues, al ser la ganancia negativa, la condiciones de la misma no nos favorecen.
$\square$
Un ejercicio de estadística descriptiva básica
ENUNCIADO. En una clase se ha realizado un examen. Las puntuaciones obtenidas son $${1,2,1,3,1,2,2,3,2,2,3,4,4,3,3,5,4,5,3,4,3}$$ Se pide:
a) Calcular la media, la moda, la varianza, la desviación estándar ( típica ) y el coeficiente de variación.
b) Calcular los cuartiles y el rango intercuartílico. ¿ Hay algún valor atípico en la distribución de valores de la variable estadística ?
c) Dibujar el diagrama de Tukey ( o de caja y bigotes )
SOLUCIÓN.
a)
Tabla del recuento:
b)
Consultando la columna de las frecuencias acumuladas encontramos la mediana ( segundo cuartil ) y los otros dos cuartiles:
$M=Q_2=\dfrac{x_{10}+x_{11}}{2}=\dfrac{3+3}{2}=3$
$Q_1=x_6=2$
$Q_3=x_{16}=4$
así pues $$\text{RIC}=\left|Q_3-Q_1\right|=\left|4-2\right|=2$$
Si hay algún valor atípico, no estará en el intervalo $$(Q_1-1'5\cdot \text{RIC}\,,\,Q_3+1'5\cdot \text{RIC})=(-1\,,\,7)$$ luego ninguno de los valores dados es atípico, pues todos están en dicho intervalo.
c)
Diagrama de caja y bigotes
$\square$
a) Calcular la media, la moda, la varianza, la desviación estándar ( típica ) y el coeficiente de variación.
b) Calcular los cuartiles y el rango intercuartílico. ¿ Hay algún valor atípico en la distribución de valores de la variable estadística ?
c) Dibujar el diagrama de Tukey ( o de caja y bigotes )
SOLUCIÓN.
a)
Tabla del recuento:
X f F --------- 1 3 3 2 5 8 3 7 15 4 4 19 5 1 20 --- N=20A partir de la table vemos que $M_0=2$ ya que es el valor más repetido.
b)
Consultando la columna de las frecuencias acumuladas encontramos la mediana ( segundo cuartil ) y los otros dos cuartiles:
$M=Q_2=\dfrac{x_{10}+x_{11}}{2}=\dfrac{3+3}{2}=3$
$Q_1=x_6=2$
$Q_3=x_{16}=4$
así pues $$\text{RIC}=\left|Q_3-Q_1\right|=\left|4-2\right|=2$$
Si hay algún valor atípico, no estará en el intervalo $$(Q_1-1'5\cdot \text{RIC}\,,\,Q_3+1'5\cdot \text{RIC})=(-1\,,\,7)$$ luego ninguno de los valores dados es atípico, pues todos están en dicho intervalo.
c)
Diagrama de caja y bigotes
$\square$
Combinatoria. Aplicando el principio de independencia.
ENUNCIADO. En una urna hay quince bolas numeradas: del '1' al '4' son de color rojo; del '5' al '10' son de color negro, y del '11' al '15' son de color blanco. Queremos llenar una bolsa con $2$ bolas rojas, $4$ bolas negras y $3$ bolas blancas. ¿ De cuántas maneras se puede hacer ?.
SOLUCIÓN. Las $2$ bolas rojas de la bolsa pueden elegirse de $\displaystyle \binom{4}{2}$, pues hay $4$ bolas rojas en la urna; Las $4$ bolas negras de la bolsa pueden elegirse de $\displaystyle \binom{6}{4}$, pues hay $10-5+1=6$ bolas negras en la urna, y Las $3$ bolas blancas de la bolsa pueden elegirse de $\displaystyle \binom{5}{2}$, al haber $5$ bolas blancas en la urna. Entonces, por el principio de elecciones independientes, las $2+4+3=9$ bolas de la bolsa podemos elegirlas de $\displaystyle \binom{4}{2}\cdot \binom{6}{4} \cdot \binom{5}{3}=900$ maneras de elegir el contenido de la bolsa. $\square$
SOLUCIÓN. Las $2$ bolas rojas de la bolsa pueden elegirse de $\displaystyle \binom{4}{2}$, pues hay $4$ bolas rojas en la urna; Las $4$ bolas negras de la bolsa pueden elegirse de $\displaystyle \binom{6}{4}$, pues hay $10-5+1=6$ bolas negras en la urna, y Las $3$ bolas blancas de la bolsa pueden elegirse de $\displaystyle \binom{5}{2}$, al haber $5$ bolas blancas en la urna. Entonces, por el principio de elecciones independientes, las $2+4+3=9$ bolas de la bolsa podemos elegirlas de $\displaystyle \binom{4}{2}\cdot \binom{6}{4} \cdot \binom{5}{3}=900$ maneras de elegir el contenido de la bolsa. $\square$
martes, 20 de junio de 2017
Acerca de la tasa de variación media en un intervalo de continuidad de una función
ENUNCIADO. Sea la función $f(x)=x^3$. Calcúlese la tasa de variación media (TVM) en el intervalo $[\dfrac{4}{5}\,,\,\dfrac{9}{10}]$
SOLUCIÓN.
$\text{TVM}([\dfrac{9}{10}\,,\,\dfrac{4}{5}])=\dfrac{f(\dfrac{9}{10})-f(\dfrac{4}{5})}{\dfrac{9}{10}-\dfrac{4}{5}}=\dfrac{(\dfrac{9}{10})^3-(\dfrac{4}{5})^3}{\dfrac{1}{10}}=\dfrac{\dfrac{217}{1000}}{\dfrac{1}{10}}=\dfrac{217}{100} \succ 0$ lo cual quiere decir que la pendiente de la recta secante a la curva en los puntos de coordenadas $\left(\dfrac{9}{10},(\dfrac{9}{10})^3\right)$ y $\left(\dfrac{4}{5},(\dfrac{4}{5})^3\right)$ es positiva, y, por tanto, concluimos que la función crece -- en promedio -- en ese intervalo.
$\square$
SOLUCIÓN.
$\text{TVM}([\dfrac{9}{10}\,,\,\dfrac{4}{5}])=\dfrac{f(\dfrac{9}{10})-f(\dfrac{4}{5})}{\dfrac{9}{10}-\dfrac{4}{5}}=\dfrac{(\dfrac{9}{10})^3-(\dfrac{4}{5})^3}{\dfrac{1}{10}}=\dfrac{\dfrac{217}{1000}}{\dfrac{1}{10}}=\dfrac{217}{100} \succ 0$ lo cual quiere decir que la pendiente de la recta secante a la curva en los puntos de coordenadas $\left(\dfrac{9}{10},(\dfrac{9}{10})^3\right)$ y $\left(\dfrac{4}{5},(\dfrac{4}{5})^3\right)$ es positiva, y, por tanto, concluimos que la función crece -- en promedio -- en ese intervalo.
$\square$
lunes, 19 de junio de 2017
Representación de la gráfica de una función empleando transformaciones del trazo de otra función ( conocido ) que sea más sencillo
ENUNCIADO. Dibujar la gráfica de la función $$f(x)=\dfrac{1}{x+2}+3$$ ( que envía un número real a otro número real ) mediante transformaciones del trazo de la gráfica de la función de proporcionalidad inversa $g(x)=\dfrac{1}{x}$
SOLUCIÓN.
$\square$
SOLUCIÓN.
$\square$
Área de un polígono regular inscrito en una circunferencia de radio dado
ENUNCIADO. Calcular el área de un pentágono regular inscrito en una circunferencia de $4$ centímetros de radio.
SOLUCIÓN. Como un pentágono regular puede descomponerse en $5$ triángulos isósceles iguales, el área del mismo es igual a $5$ veces el área de uno de dichos triángulos; cada uno de dichos triángulos tiene lado $\ell$ ( que deberemos calcular ) y su altura es la apotema $a$ ( que también tendremos que calcular ) del pentágono inscrito en la circunferencia de radio dado ( $r=4\,\text{cm}$ ).
En este punto, se sugiere al lector que dibuje ( de forma esquemática ) el pentágono inscrito en la circunferencia y que anote los datos del problema, situando en dicha figura $\ell$ y $a$. Este paso es muy importante para que el/la lector/a llegue a comprender bien lo que viene a continuación. Por mi parte omito la figura, de manera intencionada.
Así pues el área pedida es igual a $$5\cdot \dfrac{\ell \cdot a}{2}$$ o lo que es lo mismo $$5 \cdot \dfrac{\ell}{2} \cdot a \quad \quad \quad (1)$$
Vamos a calcular ahora $\ell$ y $a$, empleando la trigonometría elemental. Para ello, observemos que cada uno de los cinco triángulos en los que se descompone el pentágono regular se descompone, a su vez, en dos triángulos rectángulos -- insisto en que el lector dibuje la figura --; tomando uno de ellos, la hipotenusa del mismo mide $4\, \text{cm}$ ( el radio de la circunferencia ) y los catetos son $\dfrac{\ell}{2}$ y $a$, respectivamente. El ángulo de este triángulo, cuyos lados son la hipotenusa $r=4\, \text{cm}$ y la apotema $a$ es la mitad del ángulo central del pentágono regular inscrito en la circunferencia, y, por tanto, su valor es $\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{360^{\circ}}{5}=36^{\circ}$. Entonces, como $a$ hace las veces de cateto contiguo a dicho ángulo ( de $36^{\circ}$ ), podemos escribir $$a=4\cdot \cos\,36^{\circ}$$ y, por otra parte, como $\dfrac{\ell}{2}$ representa el cateto opuesto al ángulo de $36^{\circ}$, es claro que $$\dfrac{\ell}{2}=4\cdot \sin\,36^{\circ}$$ luego sustituyendo en (1) encontramos que el valor del área pedida es $$5\cdot 4\cdot \sin\,36^{\circ} \cdot 4\cdot \cos\,36^{\circ} \quad \quad \quad (2)$$ esto es $$5\cdot 4^2 \cdot \sin\,36^{\circ} \cdot \cos\,36^{\circ}$$ que es lo mismo que $$80\cdot \sin\,36^{\circ} \cdot \cos\,36^{\circ}\,\text{cm}^2$$
Observación:
Notemos que, de (2), podemos extraer fácilmente una fórmula general para un polígono regular de $n \ge 3$ vértices inscrito en una circunferencia de radio $r$ ( y por tanto de ángulo central $\alpha=\dfrac{360^{\circ}}{n}$, que es la siguiente $$A=n \cdot r^2 \cdot \sin\,\dfrac{\alpha}{2} \cdot \cos\,\dfrac{\alpha}{2}$$
$\square$
SOLUCIÓN. Como un pentágono regular puede descomponerse en $5$ triángulos isósceles iguales, el área del mismo es igual a $5$ veces el área de uno de dichos triángulos; cada uno de dichos triángulos tiene lado $\ell$ ( que deberemos calcular ) y su altura es la apotema $a$ ( que también tendremos que calcular ) del pentágono inscrito en la circunferencia de radio dado ( $r=4\,\text{cm}$ ).
En este punto, se sugiere al lector que dibuje ( de forma esquemática ) el pentágono inscrito en la circunferencia y que anote los datos del problema, situando en dicha figura $\ell$ y $a$. Este paso es muy importante para que el/la lector/a llegue a comprender bien lo que viene a continuación. Por mi parte omito la figura, de manera intencionada.
Así pues el área pedida es igual a $$5\cdot \dfrac{\ell \cdot a}{2}$$ o lo que es lo mismo $$5 \cdot \dfrac{\ell}{2} \cdot a \quad \quad \quad (1)$$
Vamos a calcular ahora $\ell$ y $a$, empleando la trigonometría elemental. Para ello, observemos que cada uno de los cinco triángulos en los que se descompone el pentágono regular se descompone, a su vez, en dos triángulos rectángulos -- insisto en que el lector dibuje la figura --; tomando uno de ellos, la hipotenusa del mismo mide $4\, \text{cm}$ ( el radio de la circunferencia ) y los catetos son $\dfrac{\ell}{2}$ y $a$, respectivamente. El ángulo de este triángulo, cuyos lados son la hipotenusa $r=4\, \text{cm}$ y la apotema $a$ es la mitad del ángulo central del pentágono regular inscrito en la circunferencia, y, por tanto, su valor es $\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{360^{\circ}}{5}=36^{\circ}$. Entonces, como $a$ hace las veces de cateto contiguo a dicho ángulo ( de $36^{\circ}$ ), podemos escribir $$a=4\cdot \cos\,36^{\circ}$$ y, por otra parte, como $\dfrac{\ell}{2}$ representa el cateto opuesto al ángulo de $36^{\circ}$, es claro que $$\dfrac{\ell}{2}=4\cdot \sin\,36^{\circ}$$ luego sustituyendo en (1) encontramos que el valor del área pedida es $$5\cdot 4\cdot \sin\,36^{\circ} \cdot 4\cdot \cos\,36^{\circ} \quad \quad \quad (2)$$ esto es $$5\cdot 4^2 \cdot \sin\,36^{\circ} \cdot \cos\,36^{\circ}$$ que es lo mismo que $$80\cdot \sin\,36^{\circ} \cdot \cos\,36^{\circ}\,\text{cm}^2$$
Observación:
Notemos que, de (2), podemos extraer fácilmente una fórmula general para un polígono regular de $n \ge 3$ vértices inscrito en una circunferencia de radio $r$ ( y por tanto de ángulo central $\alpha=\dfrac{360^{\circ}}{n}$, que es la siguiente $$A=n \cdot r^2 \cdot \sin\,\dfrac{\alpha}{2} \cdot \cos\,\dfrac{\alpha}{2}$$
$\square$
Un ejercicio rutinario acerca del dominio y el conjunto imagen de una definición
ENUNCIADO. Hallar el dominio de definición y el recorrido ( o conjunto imagen ) de la función $f(x)=\left|\sqrt{x^2-9}\right|$
SOLUCIÓN. $\text{Dom}\,f\overset{\text{def}}{=}\{x \in \mathbb{R}:f(x) \in \mathbb{R}\}=\{x \in \mathbb{R}: x^2-9\ge 0\}=(-\infty\,,\,-3] \cup (3\,,\,+\infty)$ ya que $x^2-9=0 \Leftrightarrow x=\pm 3$, luego para todo $x \ge 3$, $f(x)\ge 0$ y para todo $x \le 3$, también se cumple que $f(x)\ge 0$
$\text{Im}\,f\overset{\text{def}}{=}\{y \in \mathbb{R}:y=f(x), \text{siendo}\, x \in \text{Dom}\,f\}$. Entonces, como la función que nos ocupa es tal que $f(3)=f(-3)=0$ y es monótona creciente y no acotada superiormente, se tiene que $\text{Im}\,f=[0\,,\,+\infty) \subset \mathbb{R}$
$\square$
SOLUCIÓN. $\text{Dom}\,f\overset{\text{def}}{=}\{x \in \mathbb{R}:f(x) \in \mathbb{R}\}=\{x \in \mathbb{R}: x^2-9\ge 0\}=(-\infty\,,\,-3] \cup (3\,,\,+\infty)$ ya que $x^2-9=0 \Leftrightarrow x=\pm 3$, luego para todo $x \ge 3$, $f(x)\ge 0$ y para todo $x \le 3$, también se cumple que $f(x)\ge 0$
$\text{Im}\,f\overset{\text{def}}{=}\{y \in \mathbb{R}:y=f(x), \text{siendo}\, x \in \text{Dom}\,f\}$. Entonces, como la función que nos ocupa es tal que $f(3)=f(-3)=0$ y es monótona creciente y no acotada superiormente, se tiene que $\text{Im}\,f=[0\,,\,+\infty) \subset \mathbb{R}$
$\square$
Un ejercicio rutinario sobre composición de funciones
ENUNCIADO. Sean las funciones $f(x)=x+1$ y $g(x)=x^2-1$. Se pide:
a) La imagen de $2$ por la fución $f \circ g$
b) La imagen de $2$ por la fución $g \circ f$
c) La función $(g\circ f)(x)$ ( $f$ compuesta con $g$ ) para todo $x$ de su dominio de definición
d) La función $(f \circ g)(x)$ ( $g$ compuesta con $f$ ) para todo $x$ de su dominio de definición
SOLUCIÓN. Expongo la solución abajo. El proceso de resolución, con todos los pasos, es análogo al ejercicio resuelto al que podéis acceder desde [este enlace]. Se invita al lector/a a que reproduzca todos los cálculos:
a) $(f \circ g)(2)=4$
b) $(g \circ f)(2)=8$
c) $(g \circ f)(x)=x^2+x$
d) $(f \circ g)(x)=x^2$
$\square$
a) La imagen de $2$ por la fución $f \circ g$
b) La imagen de $2$ por la fución $g \circ f$
c) La función $(g\circ f)(x)$ ( $f$ compuesta con $g$ ) para todo $x$ de su dominio de definición
d) La función $(f \circ g)(x)$ ( $g$ compuesta con $f$ ) para todo $x$ de su dominio de definición
SOLUCIÓN. Expongo la solución abajo. El proceso de resolución, con todos los pasos, es análogo al ejercicio resuelto al que podéis acceder desde [este enlace]. Se invita al lector/a a que reproduzca todos los cálculos:
a) $(f \circ g)(2)=4$
b) $(g \circ f)(2)=8$
c) $(g \circ f)(x)=x^2+x$
d) $(f \circ g)(x)=x^2$
$\square$
Acerca de la función recíproca asociada a una función biyectiva
ENUNCIADO. Sea la función biyectiva $f(x)=\log_{2}\,x$. Se pide:
a) La antiimagen de $-2$
b) La función recíproca $f^{-1}(x)$ asociada a $f(x)$
SOLUCIÓN.
a) $$-2=\log_{2}=x \Leftrightarrow x=2^{-2}=\dfrac{1}{2^2}=\dfrac{1}{4}$$
b)
Por comodidad, podemos escribir $$y=2^x$$ Sacando logaritmos en cada miembro $$\ln\,y=\ln\,2^x$$ y por tanto $$\ln\,y=x\,\ln\,2$$ luego, despejando $x$ $$x=\dfrac{\ln\,y}{\ln\,2}$$ con lo cual podemos escribir $$f^{-1}(x)=\dfrac{\ln\,x}{\ln\,2}$$
$\square$
a) La antiimagen de $-2$
b) La función recíproca $f^{-1}(x)$ asociada a $f(x)$
SOLUCIÓN.
a) $$-2=\log_{2}=x \Leftrightarrow x=2^{-2}=\dfrac{1}{2^2}=\dfrac{1}{4}$$
b)
Por comodidad, podemos escribir $$y=2^x$$ Sacando logaritmos en cada miembro $$\ln\,y=\ln\,2^x$$ y por tanto $$\ln\,y=x\,\ln\,2$$ luego, despejando $x$ $$x=\dfrac{\ln\,y}{\ln\,2}$$ con lo cual podemos escribir $$f^{-1}(x)=\dfrac{\ln\,x}{\ln\,2}$$
$\square$
miércoles, 14 de junio de 2017
Cálculo de la tasa de variación media en un intervalo dado del dominio de definición en el que la función es continua
ENUNCIADO. Sea la función $f(x)=x^2$. Calcúlese la tasa de variación media (TVM) en el intervalo $[\dfrac{1}{10}\,,\,\dfrac{1}{5}]$
SOLUCIÓN.
$\text{TVM}([\dfrac{1}{10}\,,\,\dfrac{1}{5}])=\dfrac{f(\dfrac{1}{5})-f(\dfrac{1}{10})}{\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{10}}=\dfrac{(\dfrac{1}{5})^2-(\dfrac{1}{10})^2}{\dfrac{1}{10}}=\dfrac{\dfrac{3}{100}}{\dfrac{1}{10}}=\dfrac{3}{10} \succ 0$, con lo cual podemos decir que la función crece -- en promedio -- en ese intervalo.
$\square$
SOLUCIÓN.
$\text{TVM}([\dfrac{1}{10}\,,\,\dfrac{1}{5}])=\dfrac{f(\dfrac{1}{5})-f(\dfrac{1}{10})}{\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{10}}=\dfrac{(\dfrac{1}{5})^2-(\dfrac{1}{10})^2}{\dfrac{1}{10}}=\dfrac{\dfrac{3}{100}}{\dfrac{1}{10}}=\dfrac{3}{10} \succ 0$, con lo cual podemos decir que la función crece -- en promedio -- en ese intervalo.
$\square$
Función recíproca de una función biyectiva
ENUNCIADO. Dada la función biyectiva $f(x)=3^x$. Se pide:
a) La antiimagen de $2$
b) La función recíproca $f^{-1}(x)$
SOLUCIÓN.
a)
$$2=3^x \Leftrightarrow \ln\,2=\ln\,3^x \Leftrightarrow \ln\,2=x\cdot \ln\,3 \Leftrightarrow x=\dfrac{\ln\,2}{\ln\,3}$$ luego $$f^{-1}(2)=\dfrac{\ln\,2}{\ln\,3}$$
b)
Si hacemos lo mismo para todo $x \in D_{f^{-1}}=\text{Im}_{f}$ obtenemos $$f^{-1}(x)=\dfrac{\ln\,x}{\ln\,3}$$
$\square$
a) La antiimagen de $2$
b) La función recíproca $f^{-1}(x)$
SOLUCIÓN.
a)
$$2=3^x \Leftrightarrow \ln\,2=\ln\,3^x \Leftrightarrow \ln\,2=x\cdot \ln\,3 \Leftrightarrow x=\dfrac{\ln\,2}{\ln\,3}$$ luego $$f^{-1}(2)=\dfrac{\ln\,2}{\ln\,3}$$
b)
Si hacemos lo mismo para todo $x \in D_{f^{-1}}=\text{Im}_{f}$ obtenemos $$f^{-1}(x)=\dfrac{\ln\,x}{\ln\,3}$$
$\square$
Dominio de definición y conjunto imagen de una función logarítmica
ENUNCIADO. Hallar el dominio de definición y el recorrido ( o conjunto imagen ) de la función $f(x)=\ln(-x+1)$
SOLUCIÓN. Teniendo en cuenta que $$D-f\overset{\text{def}}{=}\{x \in \mathbb{R}: f(x) \in \mathbb{R}\}$$ hay que imponer que $$-x+1\succ 0$$ con lo cual $$x \prec 1$$ así pues $$D_f=(-\infty\,,\,1) \subset \mathbb{R}$$
Calculemos ahora el conjunto imagen. Como $f$ es biyectiva, existe la función recíproca $f^{-1}$; y, por tanto, podremos afirmar que $$\text{Im}_f=D_{f^{-1}}$$ Veamos quien es $f^{-1}$: de $y=\ln\,{-x+1}$ deducimos que $-x+1=e^y$ y por tanto $x=1-e^y$; con lo cual $f^{-1}(x)=1-e^x$. Entonces, $D_{f^{-1}}=\mathbb{R}$ y por consiguiente $$\text{Im}_{f}=\mathbb{R}$$
Otra forma de determinar el conjunto imagen de $f$ consiste en deducirlo a partir de la gráfica de la función, que podemos representar transformando la gráfica de la función $y=\ln\,x$
En este gráfico podemos apreciar que $f$ es decrece monótonamente y que sus ordenadas barren el eje de ordenadas por completo, y, como consecuencia, el conjunto imagen está formado por todos los puntos de la recta numérica $\mathbb{R}$
$\square$
SOLUCIÓN. Teniendo en cuenta que $$D-f\overset{\text{def}}{=}\{x \in \mathbb{R}: f(x) \in \mathbb{R}\}$$ hay que imponer que $$-x+1\succ 0$$ con lo cual $$x \prec 1$$ así pues $$D_f=(-\infty\,,\,1) \subset \mathbb{R}$$
Calculemos ahora el conjunto imagen. Como $f$ es biyectiva, existe la función recíproca $f^{-1}$; y, por tanto, podremos afirmar que $$\text{Im}_f=D_{f^{-1}}$$ Veamos quien es $f^{-1}$: de $y=\ln\,{-x+1}$ deducimos que $-x+1=e^y$ y por tanto $x=1-e^y$; con lo cual $f^{-1}(x)=1-e^x$. Entonces, $D_{f^{-1}}=\mathbb{R}$ y por consiguiente $$\text{Im}_{f}=\mathbb{R}$$
Otra forma de determinar el conjunto imagen de $f$ consiste en deducirlo a partir de la gráfica de la función, que podemos representar transformando la gráfica de la función $y=\ln\,x$
En este gráfico podemos apreciar que $f$ es decrece monótonamente y que sus ordenadas barren el eje de ordenadas por completo, y, como consecuencia, el conjunto imagen está formado por todos los puntos de la recta numérica $\mathbb{R}$
$\square$
Ejercicio rutinario sobre composición de funciones
ENUNCIADO. Sean las funciones $f(x)=x+1$ y $g(x)=x^3-1$. Se pide:
a) La imagen de $-3$ por la fución $f \circ g$
b) La imagen de $-3$ por la fución $g \circ f$
c) La función $(g\circ f)(x)$ ( $f$ compuesta con $g$ ) para todo $x$ de su dominio de definición
d) La función $(f \circ g)(x)$ ( $g$ compuesta con $f$ ) para todo $x$ de su dominio de definición
SOLUCIÓN.
a) $(f \circ g)(-3)=f(g(-3))=f((-3)^3-1)=f(-28)=-28+1=-27$
b) $(g \circ f)(-3)=g(f(-3))=g(-3+1)=f(-2)=(-2)^3-1=-8-1=-9$
c) $(g \circ f)(x)=g(f(x))=g(x+1)=(x+1)^3-1=x^3+3x^2+3x+1-1$
$=x^3+3x^2+3x$
d) $(f \circ g)(x)=f(g(x))=f(x^3-1)=(x^3-1)+1=x^3$
$\square$
a) La imagen de $-3$ por la fución $f \circ g$
b) La imagen de $-3$ por la fución $g \circ f$
c) La función $(g\circ f)(x)$ ( $f$ compuesta con $g$ ) para todo $x$ de su dominio de definición
d) La función $(f \circ g)(x)$ ( $g$ compuesta con $f$ ) para todo $x$ de su dominio de definición
SOLUCIÓN.
a) $(f \circ g)(-3)=f(g(-3))=f((-3)^3-1)=f(-28)=-28+1=-27$
b) $(g \circ f)(-3)=g(f(-3))=g(-3+1)=f(-2)=(-2)^3-1=-8-1=-9$
c) $(g \circ f)(x)=g(f(x))=g(x+1)=(x+1)^3-1=x^3+3x^2+3x+1-1$
$=x^3+3x^2+3x$
d) $(f \circ g)(x)=f(g(x))=f(x^3-1)=(x^3-1)+1=x^3$
$\square$
Representando la gráfica de una función por transformaciones de otra del mismo tipo
ENUNCIADO. Dibujar la gráfica de la función $f(x)=-(x-2)^2+3$ mediante transformaciones del trazo de la gráfica de la función $g(x)=x^2$
SOLUCIÓN.
$\square$
SOLUCIÓN.
$\square$
Aplicación del teorema de la probabilidad total para calcular la probabilidad de que una pieza elegida al azar entre dos conjuntos de piezas no sea defectuosa, teniendo en cuenta que ...
ENUNCIADO. En una taller hay dos máquinas, $A$ y $B$, que fabrican el mismo tipo de piezas. El $2\,\%$ de las piezas producidas por la máquina $A$ son defectuosas y el $4\,\%$ de las producidas por la máquina $B$ también lo son. Hemos mezclado $200$ piezas producidas por $A$ con $300$ piezas producidas por $B$ y hemos escogido una pieza, al azar. ¿ Cuál es la probabilidad de que no sea defectuosa ?.
SOLUCIÓN. El número total de piezas defectuosa es igual a $$200\cdot \dfrac{2}{100}+300\cdot \dfrac{4}{100}=16$$ y el número total de piezas es $$200+300=500$$ luego por el principio de Laplace ( todas las piezas tienen la misma probabilidad de ser elegidas ) la probabilidad de que una pieza elegida al azar sea defectuosa es igual a $$\dfrac{16}{500}$$ esto es $$\dfrac{4}{125}$$ Aplicando ahora la propiedad del suceso contrario, tenemos que la probabilidad de que no sea defectuosa es igual a $$1-\dfrac{4}{125}=\dfrac{121}{125}=0,968=96,8\,\%$$
$\square$
SOLUCIÓN. El número total de piezas defectuosa es igual a $$200\cdot \dfrac{2}{100}+300\cdot \dfrac{4}{100}=16$$ y el número total de piezas es $$200+300=500$$ luego por el principio de Laplace ( todas las piezas tienen la misma probabilidad de ser elegidas ) la probabilidad de que una pieza elegida al azar sea defectuosa es igual a $$\dfrac{16}{500}$$ esto es $$\dfrac{4}{125}$$ Aplicando ahora la propiedad del suceso contrario, tenemos que la probabilidad de que no sea defectuosa es igual a $$1-\dfrac{4}{125}=\dfrac{121}{125}=0,968=96,8\,\%$$
$\square$
Aplicación del principio de independencia en el recuento. De cuántas maneras podemos formar un equipo con ...
ENUNCIADO. En una empresa trabajan cuatro informáticos, cinco comerciales y tres técnicos de mantenimiento. Se quiere formar un equipo formado por dos informáticos, tres comerciales y dos técnicos de mantenimiento. ¿ De cuántas maneras se puede hacer eso ?.
SOLUCIÓN En este problema no importa el orden en el que seleccionamos las personas y, desde luego, estas no se pueden repetir, por lo que se trata de un problema de combinaciones con repetición. Los dos informáticos se pueden elegir de $C_{4,2}=\displaystyle \binom{4}{2}=\dfrac{4!}{2!\cdot (4-2)!}=6$ maneras; los tres comerciales de $C_{5,3}=\displaystyle \binom{5}{3}=\dfrac{5!}{3!\cdot (5-3)!}=10$ maneras, y los dos técnicos de mantenimiento de $C_{3,2}=\displaystyle \binom{3}{1}=3$ maneras. Y, por el principio de elecciones independientes, el número de maneras de formar el equipo es igual a $$N=6 \cdot 10 \cdot 3 =180$$
$\square$
SOLUCIÓN En este problema no importa el orden en el que seleccionamos las personas y, desde luego, estas no se pueden repetir, por lo que se trata de un problema de combinaciones con repetición. Los dos informáticos se pueden elegir de $C_{4,2}=\displaystyle \binom{4}{2}=\dfrac{4!}{2!\cdot (4-2)!}=6$ maneras; los tres comerciales de $C_{5,3}=\displaystyle \binom{5}{3}=\dfrac{5!}{3!\cdot (5-3)!}=10$ maneras, y los dos técnicos de mantenimiento de $C_{3,2}=\displaystyle \binom{3}{1}=3$ maneras. Y, por el principio de elecciones independientes, el número de maneras de formar el equipo es igual a $$N=6 \cdot 10 \cdot 3 =180$$
$\square$
domingo, 11 de junio de 2017
Aplicaciones del teorema de la probabilidad total
ENUNCIADO. En un instituto hay $150$ chicas y $120$ chicos. Se sabe que estudia francés el $70\,\%$ de los chicas y el $60\,\%$ de los chicos. Se elige una persona al azar entre el alumnado. ¿ Cuál es la probabilidad de que estudie francés ?.
SOLUCIÓN.
Entre las chicos, $150\cdot \dfrac{70}{100}=105$ estudian francés y, entre los chicos, $120\cdot \dfrac{60}{100}=72$ estudian francés; así pues, hay $105+72=177$ estudiantes que estudian francés. Como en total el instituto tiene $150+120=270$ estudiantes, aplicando la regla de Laplace ( todos los estudiantes tienen la misma probabilidad de ser elegidos ) obtenemos la probabilidad de que, escogiendo uno al azar, éste estudie francés, que es igual a $\dfrac{177}{270}=\dfrac{59}{90} \approx 66\,\%$
$\square$
SOLUCIÓN.
Entre las chicos, $150\cdot \dfrac{70}{100}=105$ estudian francés y, entre los chicos, $120\cdot \dfrac{60}{100}=72$ estudian francés; así pues, hay $105+72=177$ estudiantes que estudian francés. Como en total el instituto tiene $150+120=270$ estudiantes, aplicando la regla de Laplace ( todos los estudiantes tienen la misma probabilidad de ser elegidos ) obtenemos la probabilidad de que, escogiendo uno al azar, éste estudie francés, que es igual a $\dfrac{177}{270}=\dfrac{59}{90} \approx 66\,\%$
$\square$
Extracciones sucesivas sin reemplazamiento. Cálculo de probabilidades
ENUNCIADO. Una urna contiene $5$ bolas rojas y $3$ bolas negras. Se extraen dos bolas sin reemplazamiento. ¿ Cuál es la probabilidad de que las dos bolas sean de distinto color ?.
SOLUCIÓN.
El diagrama de árbol puede ayudar a responder a la pregunta,
Observemos que la probabilidad de que las dos bolas sean de distinto color viene dada por $$P( (R_1 \cap N_2) \cup (N_1 \cap R_2)) \quad \quad (1)$$ ahora bien, los sucesos $R_1 \cap N_2$ y $N_1 \cap R_2$ son incompatibles, luego (1) puede escribirse como $$P(R_1 \cap N_2) + P(N_1 \cap R_2) \quad \quad (2)$$ y teniendo en cuenta la definición de probabilidad condicionada, $$P(R_1 \cap N_2)=P(R_1)\cdot P(N_2|R_1)=\dfrac{5}{8}\cdot \dfrac{3}{7}$$ y $$P(N_1 \cap R_2)=P(N_1)\cdot P(R_2|N_1)=\dfrac{3}{8}\cdot \dfrac{5}{7}$$ luego la probabilidad pedida ( sustituyendo en (2) ) es igual a $$\dfrac{5}{8}\cdot \dfrac{3}{7} + \dfrac{3}{8}\cdot \dfrac{5}{7} = \dfrac{15}{28} \approx 0,5357$$
$\square$
SOLUCIÓN.
El diagrama de árbol puede ayudar a responder a la pregunta,
Observemos que la probabilidad de que las dos bolas sean de distinto color viene dada por $$P( (R_1 \cap N_2) \cup (N_1 \cap R_2)) \quad \quad (1)$$ ahora bien, los sucesos $R_1 \cap N_2$ y $N_1 \cap R_2$ son incompatibles, luego (1) puede escribirse como $$P(R_1 \cap N_2) + P(N_1 \cap R_2) \quad \quad (2)$$ y teniendo en cuenta la definición de probabilidad condicionada, $$P(R_1 \cap N_2)=P(R_1)\cdot P(N_2|R_1)=\dfrac{5}{8}\cdot \dfrac{3}{7}$$ y $$P(N_1 \cap R_2)=P(N_1)\cdot P(R_2|N_1)=\dfrac{3}{8}\cdot \dfrac{5}{7}$$ luego la probabilidad pedida ( sustituyendo en (2) ) es igual a $$\dfrac{5}{8}\cdot \dfrac{3}{7} + \dfrac{3}{8}\cdot \dfrac{5}{7} = \dfrac{15}{28} \approx 0,5357$$
$\square$
Repartiendo bolas de distinto color en un conjunto de urnas
ENUNCIADO. ¿ De cuántas maneras podemos distribuir $4$ bolas de un color distinto cada una entre $3$ niños ?.
SOLUCIÓN. Desde luego, importa el orden en el reparto de las bolas, por lo que el problema es de variaciones. A la bola ( pongamos que roja ) podemos asignarle como destinatario cualquiera de los tres niños y lo mismo a las otras cuatro bolas ( del respectivo color ), luego, por el principio de independencia, el número de maneras de repartir las $4$ bolas entre los $3$ niños es igual a $3\cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^4=81$.
Dicho de otra forma, al tratarse de un problema de variaciones y tener que contemplar las repeticiones, el problema es de variaciones con repetición $$VR_{3,4}=3^4$$
$\square$
SOLUCIÓN. Desde luego, importa el orden en el reparto de las bolas, por lo que el problema es de variaciones. A la bola ( pongamos que roja ) podemos asignarle como destinatario cualquiera de los tres niños y lo mismo a las otras cuatro bolas ( del respectivo color ), luego, por el principio de independencia, el número de maneras de repartir las $4$ bolas entre los $3$ niños es igual a $3\cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^4=81$.
Dicho de otra forma, al tratarse de un problema de variaciones y tener que contemplar las repeticiones, el problema es de variaciones con repetición $$VR_{3,4}=3^4$$
$\square$
Lanzamiento de dos dados de parchís - cálculo de la probabilidad de que la suma de las puntuaciones sea un múltiplo de 3
ENUNCIADO. Se lanzan dos dados de parchís. Calcular la probabilidad de que la suma de las puntuaciones sea un número múltiplo de $3$
SOLUCIÓN.
En la siguiente tabla de doble entrada se representan todas las posibilidades a la hora de sumar las puntuaciones de los dos dados. En negrita se han reseñado aquellas que corresponden a un número impar como resultado de la suma. Como puede verse, hay $12$ casos favorables a dicho evento, de un total de $6^2=36$
Como todos los casos son igualmente probables, podemos aplicar la regla de Laplace para calcular la probabilidad pedida, que resulta ser igual a $\dfrac{12}{36}=\dfrac{1}{3} \approx 0,3333$
$\square$
SOLUCIÓN.
En la siguiente tabla de doble entrada se representan todas las posibilidades a la hora de sumar las puntuaciones de los dos dados. En negrita se han reseñado aquellas que corresponden a un número impar como resultado de la suma. Como puede verse, hay $12$ casos favorables a dicho evento, de un total de $6^2=36$
1 2 3 4 5 6 ------------------- 1| 2 3 4 5 6 7 2| 3 4 5 6 7 8 3| 4 5 6 7 8 9 4| 5 6 7 8 9 10 5| 6 7 8 9 10 11 6| 7 8 9 10 11 12
Como todos los casos son igualmente probables, podemos aplicar la regla de Laplace para calcular la probabilidad pedida, que resulta ser igual a $\dfrac{12}{36}=\dfrac{1}{3} \approx 0,3333$
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La propiedad de inclusión-exclusión en el cálculo de probabilidades
ENUNCIADO. Un club tiene $100$ socios. En dicho club se juega al ajedrez y también al póquer. Se ha preguntado a los cien socios acerca del juego que practican: $70$ socios afirman que juegan al ajedrez y $80$ socios afirman que juegan al póquer. Se elige un socio al azar entre los cien socios del club: ¿ cuál es la probabilidad de que practique ambos juegos ?.
SOLUCIÓN. El número de socios que juegan tanto al ajedrez como al póquer es igual a $80+70-100=50$ ( principio de inclusión-exclusión ). Como todos los socios tienen la misma probabilidad de ser elegidos, podemos utilizar la regla de Laplace para calcular la probabilidad pedida, que es igual a $\dfrac{50}{100}=\dfrac{1}{2}=50\,\%$
$\square$
SOLUCIÓN. El número de socios que juegan tanto al ajedrez como al póquer es igual a $80+70-100=50$ ( principio de inclusión-exclusión ). Como todos los socios tienen la misma probabilidad de ser elegidos, podemos utilizar la regla de Laplace para calcular la probabilidad pedida, que es igual a $\dfrac{50}{100}=\dfrac{1}{2}=50\,\%$
$\square$
El juego del dominó - probabilidad de que la suma de las puntuaciones de una ficha elegida al azar sea un número impar
ENUNCIADO. Se elige al azar una ficha de dominó. ¿ Cuál es la probabilidad de que la suma de las puntuaciones de las dos partes de la misma sea un número impar ?.
SOLUCIÓN.
Disponiendo las $CR_{2,7}=\binom{2+(7-1)}{2}=\binom{8}{2}=28$ fichas de la siguiente forma
$\square$
SOLUCIÓN.
Disponiendo las $CR_{2,7}=\binom{2+(7-1)}{2}=\binom{8}{2}=28$ fichas de la siguiente forma
06 05 16 04 15 26 03 14 25 36 02 13 24 35 46 01 12 23 34 45 56 00 11 22 33 44 55 66nos lleva a escribir los valores de la suma de las puntuaciones de las dos mitades de cada ficha, seleccionando (en negrita) las que su suma sea un múltiplo de $3$
6 5 7 4 6 8 3 5 7 9 2 4 6 8 10 1 3 5 7 9 11 0 2 4 6 8 10 12El número de valores posibles de la suma es $28$, Denotando por $A$ al suceso correspondiente a que la suma sea un número impar vemos que $N(A)=12$. Y, por la regla de Laplace, $$P(A)\overset{\text{def}}{=}\dfrac{N(A)}{N}=\dfrac{12}{28} =\dfrac{3}{7}= \approx 0.4286$$
$\square$
Cálculo de parámetros estadísticos mediante la calculadora científica, con valores de la variable estadística agrupados en intervalos
ENUNCIADO.
SOLUCIÓN.
Elaboremos una tabla con la columna de las marcas ( o representates ) de clase/intervalo (MC) y las frecuencias del recuento (f):
A continuación, seleccionamos el modo estadístico de la calculadora científica básica ( en mi caso, una Casio fx-82MS ):
MODE 2 (En la patalla aparecerá 'SD' )
Seguidamente, entramos el valor de la marca de clase y separando con un ';' el número de valores que hay en el intervalo correspondiente, acabando con 'M+'. Eso debe hacerse para cada línea de la tabla:
35 SHIFT ; 6 M+
45 SHIFT ; 18 M+
55 SHIFT ; 26 M+
65 SHIFT ; 13 M+
75 SHIFT ; 3 M+
Una vez introducida la información sobre los valores de la variable estadística, pasamos a consultar el valor de los parámetros pues la calculadora los habrá calculado:
SHIFT VAR
(1) ----> $\bar{x} \approx 53,3$
(2) ----> $s \approx 9,9$
A partir de estos dos resultados ya podemos calcular la varianza y el coeficiente de variación:
$s^2\overset{\text{def}}{=}(s)^2 \approx 98,0$
$CV\overset{\text{def}}{=}\dfrac{s}{\bar{x}} \approx 19\,\%$
$\square$
SOLUCIÓN.
Elaboremos una tabla con la columna de las marcas ( o representates ) de clase/intervalo (MC) y las frecuencias del recuento (f):
intervalo MC f --------- -- ----- [30,40) 35 6 [40,50) 45 18 [50,60) 55 26 [60,70) 65 13 [70,80) 75 3
A continuación, seleccionamos el modo estadístico de la calculadora científica básica ( en mi caso, una Casio fx-82MS ):
MODE 2 (En la patalla aparecerá 'SD' )
Seguidamente, entramos el valor de la marca de clase y separando con un ';' el número de valores que hay en el intervalo correspondiente, acabando con 'M+'. Eso debe hacerse para cada línea de la tabla:
35 SHIFT ; 6 M+
45 SHIFT ; 18 M+
55 SHIFT ; 26 M+
65 SHIFT ; 13 M+
75 SHIFT ; 3 M+
Una vez introducida la información sobre los valores de la variable estadística, pasamos a consultar el valor de los parámetros pues la calculadora los habrá calculado:
SHIFT VAR
(1) ----> $\bar{x} \approx 53,3$
(2) ----> $s \approx 9,9$
A partir de estos dos resultados ya podemos calcular la varianza y el coeficiente de variación:
$s^2\overset{\text{def}}{=}(s)^2 \approx 98,0$
$CV\overset{\text{def}}{=}\dfrac{s}{\bar{x}} \approx 19\,\%$
$\square$
jueves, 8 de junio de 2017
Repartiendo un cierto número de bolas iguales en un conjunto de urnas
ENUNCIADO. ¿ De cuántas maneras podemos distribuir $6$ bolas iguales en $4$ urnas ?.
SOLUCIÓN. No importa el orden en que ubiquemos las bolas en las urnas, por lo que este problema es de combinaciones. Además, podemos repetir la elección de urna a la hora de ubicar nuevas bolas, luego se trata de un problema de combinaciones con repetición. Para resolverlo, podemos codificar las formas de reparto formando 'palabras' a partir de $6$ símbolos '*' y $4-1=3$ símbolos '|' ( que delimitan los espacios que representan las $4$ urnas. Así, por ejemplo [ ** | * | *** | ] significa que $2$ bolas están en la primera urna, $1$ bola está en la segunda, $3$ en la tercera y ninguna en la cuarta. Permutando los $6+(4-1)$ símbolos ( de los cuales $6$ son de un mismo tipo y $4-1=3$ son también iguales, del segundo tipo ), obtenemos el siguiente número posibilidades de reparto $$\dfrac{6+(4-1)!}{6!\cdot (4-1)!}=\dfrac{9!}{6!\cdot 3!}=84$$
Nota: Podríamos haber escrito, directamente, la solución de la forma $\displaystyle CR_{4,6}=\binom{6+(4-1)}{6}=\binom{6-(4-1)}{4-1}$ que es lo mismo que $\dfrac{6+(4-1)!}{6!\cdot (4-1)!}$, pero se ha optado por realizar un desarrollo comprensivo. $\square$
SOLUCIÓN. No importa el orden en que ubiquemos las bolas en las urnas, por lo que este problema es de combinaciones. Además, podemos repetir la elección de urna a la hora de ubicar nuevas bolas, luego se trata de un problema de combinaciones con repetición. Para resolverlo, podemos codificar las formas de reparto formando 'palabras' a partir de $6$ símbolos '*' y $4-1=3$ símbolos '|' ( que delimitan los espacios que representan las $4$ urnas. Así, por ejemplo [ ** | * | *** | ] significa que $2$ bolas están en la primera urna, $1$ bola está en la segunda, $3$ en la tercera y ninguna en la cuarta. Permutando los $6+(4-1)$ símbolos ( de los cuales $6$ son de un mismo tipo y $4-1=3$ son también iguales, del segundo tipo ), obtenemos el siguiente número posibilidades de reparto $$\dfrac{6+(4-1)!}{6!\cdot (4-1)!}=\dfrac{9!}{6!\cdot 3!}=84$$
Nota: Podríamos haber escrito, directamente, la solución de la forma $\displaystyle CR_{4,6}=\binom{6+(4-1)}{6}=\binom{6-(4-1)}{4-1}$ que es lo mismo que $\dfrac{6+(4-1)!}{6!\cdot (4-1)!}$, pero se ha optado por realizar un desarrollo comprensivo. $\square$
Cálculos rutinarios en combinatoria
ENUNCIADO. Calcular el número entero positivo resultante:\par
a) $C_{12,7}$
b) $VR_{3,4}$
c) $PR_{7}^{2,3,1,1}$ \par
d) $PC_{6}$
e) $P_{6}$
f) $CR_{3,5}$ \par
g) $\binom{8}{7}$
h) $4!$
i) $0!$
SOLUCIÓN.
a) $C_{12,7}=\dfrac{V_{12,7}}{P_7}=\dfrac{12!}{(12-7)!\cdot 7!}=\dfrac{12\cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{6! \cdot 7! }=\dfrac{12\cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 }=792$
b) $VR_{3,4}=3^4=81$
c) $PR_{7}^{2,3,1,1}=\dfrac{7!}{3!\cdot 2! \cdot 1! \cdot 1!}=\dfrac{7\cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3!}{3! \cdot 2 \cdot 1}=\dfrac{7\cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}{2}=420$
d) $PC_{6}=(6-1)!=5!=5\cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$
e) $P_{6}=6!=6 \cdot 5\cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720$
f) $CR_{3,5}=\displaystyle \binom{5+(3-1)}{3-1}=\binom{5+(3-1)}{5}=\binom{7}{5}=\dfrac{7!}{(7-5)!\cdot 5!}=\dfrac{7\cdot 6 \cdot 5!}{2! \cdot 5!}=\dfrac{42}{2}=21$
g) $\displaystyle \binom{8}{7}=\binom{8}{8-7}=\binom{8}{1}=8$
h) $4!=4\cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$
i) $0!=1$
a) $C_{12,7}$
b) $VR_{3,4}$
c) $PR_{7}^{2,3,1,1}$ \par
d) $PC_{6}$
e) $P_{6}$
f) $CR_{3,5}$ \par
g) $\binom{8}{7}$
h) $4!$
i) $0!$
SOLUCIÓN.
a) $C_{12,7}=\dfrac{V_{12,7}}{P_7}=\dfrac{12!}{(12-7)!\cdot 7!}=\dfrac{12\cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{6! \cdot 7! }=\dfrac{12\cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 }=792$
b) $VR_{3,4}=3^4=81$
c) $PR_{7}^{2,3,1,1}=\dfrac{7!}{3!\cdot 2! \cdot 1! \cdot 1!}=\dfrac{7\cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3!}{3! \cdot 2 \cdot 1}=\dfrac{7\cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}{2}=420$
d) $PC_{6}=(6-1)!=5!=5\cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$
e) $P_{6}=6!=6 \cdot 5\cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720$
f) $CR_{3,5}=\displaystyle \binom{5+(3-1)}{3-1}=\binom{5+(3-1)}{5}=\binom{7}{5}=\dfrac{7!}{(7-5)!\cdot 5!}=\dfrac{7\cdot 6 \cdot 5!}{2! \cdot 5!}=\dfrac{42}{2}=21$
g) $\displaystyle \binom{8}{7}=\binom{8}{8-7}=\binom{8}{1}=8$
h) $4!=4\cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$
i) $0!=1$
domingo, 4 de junio de 2017
Ejemplo de uso de los percentiles para definir un fenómeno
Los percentiles pueden emplearse para definir un determinado fenómeno; por ejemplo, en climatología, el de ola de calor:
Se considera 'ola de calor' un episodio de al menos tres días consecutivos, en que, como mínimo, el $10\,\%$ de las estaciones ( de medida ) consideradas registran temperaturas máximas por encima del percentil del $95\,\%$ de su serie de temperaturas máximas diarias de los meses de julio y agosto del periodo 1971-2000
Se considera 'ola de calor' un episodio de al menos tres días consecutivos, en que, como mínimo, el $10\,\%$ de las estaciones ( de medida ) consideradas registran temperaturas máximas por encima del percentil del $95\,\%$ de su serie de temperaturas máximas diarias de los meses de julio y agosto del periodo 1971-2000
viernes, 2 de junio de 2017
Distribuyendo lápices
ENUNCIADO.
a) ¿ De cuántas maneras podemos distribuir $5$ lápices distintos ( por ejemplo, cada uno de un color diferente al de los otros ) entre tres personas ( que son perfectamente identificables ) ?
b) Y si los lápices fuesen idénticos, ¿ de cuántas maneras podríamos distribuirlos?
SOLUCIÓN.
a) Si los lápices son distintos es evidente que importa el orden que empleamos al distribuirlos, pues, por ejemplo, no es lo mismo que a Carlos le demos el lápiz ( pongamos que ) rojo y a María el verde, que, a María le demos el rojo y a Carlos el verde; por tanto, se trata de un problema de variaciones. Además, podemos repetir la asignación de persona a la hora de repartir varios lápices; y, en este caso en particular, no hay otro remedio, pues el número de lápices es mayor que el número de personas. Se trata pues de un caso de variaciones con repetición. Supongamos que los colores de los respectivos lápices son: rojo, azul, verde, amarillo y negro. Así, podemos decidir dar el rojo a cualquiera de las tres personas, lo mismo con los otros cuatro lápices, luego por el principio de independencia de elecciones tenemos $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$ posibilidades de reparto, esto es $$VR_{3,5}=3^5=243$$ Podemos decir que -- en general -- de haber $\ell$ lápices distintos, para ser repartidos entre $p$ personas, podríamos llevar a cabo dicho reparto del siguiente números de maneras distintas: $$\displaystyle \text{VR}_{p,\ell}= p^{\ell}$$
b) Si los lápices son idénticos no importa el orden del reparto, con lo cual tendremos un problema de combinaciones ( y no de variaciones ); además, y como en el caso anterior, al poder elegir una misma persona como destinataria de varios lápices ( en el caso que nos ocupa esto es inevitable, pues el número de lápices es mayor que el de personas ), se trata de un problema de combinaciones con repetición $\text{CR}_{3,5}$. Para resolverlo, es muy útil codificar las diversas ordenaciones posibles con los siguientes símbolos: asteriscos '*' para los $5$ lápices y $3-1=2$ barras verticales '|' para separar $3$ compartimentos en los que ubicaremos los asteriscos ( un compartimento para cada persona: A, B y C, y por este orden ). Así, por ejemplo, al escribir $[***|**| ]$ ( los símbolos de los extremos '[' y ']' no tienen ningún papel relevante ) queremos significar que a la persona A le corresponden tres lápices; a la persona B, dos; y, a la persona C, ninguno ( por no haber ningún asterisco en su compartimento ).
De esta forma, para calcular el número de distribuciones/repartos posibles, basta permutar el conjunto de los $5$ asteriscos iguales y las $3-1=2$ barras espaciadoras iguales, lo cual equivale al problema de formar 'palabras' permutando símbolos de dos tipos, de los cuales exactamente $5$ son de un tipo y $3-1=2$ son de otro tipo; obtenemos así $$\dfrac{(5 + (3-1))!}{5!\cdot 3!}=\dfrac{7!}{5!\cdot 2! }=\dfrac{7\cdot 6 }{2}=21 \;\text{posibilidades}$$, lo cual puede expresarse en forma de números combinatorios: $$\displaystyle \binom{5+(3-1)}{3-1}=\binom{5+(3-1)}{5}=21$$ Así, podemos decir que -- en general -- de haber $\ell$ lápices idénticos, para ser repartidos entre $p$ personas, podríamos llevar a cabo dicho reparto del siguiente números de maneras distintas: $$\displaystyle \text{CR}_{p,\ell}=\binom{\ell+(p-1)}{p}=\binom{\ell+(p-1)}{\ell-1}$$, lo cual también puede designarse de la forma $\displaystyle \left(\binom{\ell}{p}\right)$
$\square$
a) ¿ De cuántas maneras podemos distribuir $5$ lápices distintos ( por ejemplo, cada uno de un color diferente al de los otros ) entre tres personas ( que son perfectamente identificables ) ?
b) Y si los lápices fuesen idénticos, ¿ de cuántas maneras podríamos distribuirlos?
SOLUCIÓN.
a) Si los lápices son distintos es evidente que importa el orden que empleamos al distribuirlos, pues, por ejemplo, no es lo mismo que a Carlos le demos el lápiz ( pongamos que ) rojo y a María el verde, que, a María le demos el rojo y a Carlos el verde; por tanto, se trata de un problema de variaciones. Además, podemos repetir la asignación de persona a la hora de repartir varios lápices; y, en este caso en particular, no hay otro remedio, pues el número de lápices es mayor que el número de personas. Se trata pues de un caso de variaciones con repetición. Supongamos que los colores de los respectivos lápices son: rojo, azul, verde, amarillo y negro. Así, podemos decidir dar el rojo a cualquiera de las tres personas, lo mismo con los otros cuatro lápices, luego por el principio de independencia de elecciones tenemos $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$ posibilidades de reparto, esto es $$VR_{3,5}=3^5=243$$ Podemos decir que -- en general -- de haber $\ell$ lápices distintos, para ser repartidos entre $p$ personas, podríamos llevar a cabo dicho reparto del siguiente números de maneras distintas: $$\displaystyle \text{VR}_{p,\ell}= p^{\ell}$$
b) Si los lápices son idénticos no importa el orden del reparto, con lo cual tendremos un problema de combinaciones ( y no de variaciones ); además, y como en el caso anterior, al poder elegir una misma persona como destinataria de varios lápices ( en el caso que nos ocupa esto es inevitable, pues el número de lápices es mayor que el de personas ), se trata de un problema de combinaciones con repetición $\text{CR}_{3,5}$. Para resolverlo, es muy útil codificar las diversas ordenaciones posibles con los siguientes símbolos: asteriscos '*' para los $5$ lápices y $3-1=2$ barras verticales '|' para separar $3$ compartimentos en los que ubicaremos los asteriscos ( un compartimento para cada persona: A, B y C, y por este orden ). Así, por ejemplo, al escribir $[***|**| ]$ ( los símbolos de los extremos '[' y ']' no tienen ningún papel relevante ) queremos significar que a la persona A le corresponden tres lápices; a la persona B, dos; y, a la persona C, ninguno ( por no haber ningún asterisco en su compartimento ).
De esta forma, para calcular el número de distribuciones/repartos posibles, basta permutar el conjunto de los $5$ asteriscos iguales y las $3-1=2$ barras espaciadoras iguales, lo cual equivale al problema de formar 'palabras' permutando símbolos de dos tipos, de los cuales exactamente $5$ son de un tipo y $3-1=2$ son de otro tipo; obtenemos así $$\dfrac{(5 + (3-1))!}{5!\cdot 3!}=\dfrac{7!}{5!\cdot 2! }=\dfrac{7\cdot 6 }{2}=21 \;\text{posibilidades}$$, lo cual puede expresarse en forma de números combinatorios: $$\displaystyle \binom{5+(3-1)}{3-1}=\binom{5+(3-1)}{5}=21$$ Así, podemos decir que -- en general -- de haber $\ell$ lápices idénticos, para ser repartidos entre $p$ personas, podríamos llevar a cabo dicho reparto del siguiente números de maneras distintas: $$\displaystyle \text{CR}_{p,\ell}=\binom{\ell+(p-1)}{p}=\binom{\ell+(p-1)}{\ell-1}$$, lo cual también puede designarse de la forma $\displaystyle \left(\binom{\ell}{p}\right)$
$\square$
jueves, 1 de junio de 2017
Un ejemplo de distribución estadística en la que aparecen datos atípicos
ENUNCIADO. Consideremos la siguiente distribución de valores estadísticos de una variable $X$ $$\{2,3,4,9, 10, 11, 10, 10, 12, 10, 12, 11, 13, 13, 14, 10\}$$ ¿ Hay entre éstos algún valor atípico ?
SOLUCIÓN. Adoptamos el siguiente criterio para decidir si un cierto valor es atípico. Decimos que un valor $k$ de la distribución de una variable estadística $X$ es atípico si $k \notin I$, siendo $I$ el intervalo $( Q_1-1,5\cdot \text{RIQ}\,,\,Q_3-1,5\cdot \text{RIQ})$, donde $\text{RIQ}=\left|Q_3-Q_1\right|$ ( rango intercuartílico ), siendo $Q_1$, $Q_2$ y $Q_3$, el primer, segundo y tercer cuartil, respectivamente.
Procedamos, por tanto, a calcular los extremos de dicho intervalo, y, para ello, deberemos calcular los cuartiles.
Ordenando estos $16$ valores obtenemos $$\{2,3,4,9, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13, 14\}$$ Como hay un número par de valores, el centro de la distribución viene dado por dos valores, que son $x_{8}$ y $x_{9}$, y ambos son igual a $10$, luego el segundo cuartíl ( o mediana ) es $$Q_2=10$$ Por otra parte al tener la primera mitad ( de la distribución ) $7$ valores ( un número impar ) el valor que separa las dos primeras cuartas partes es $x_4=9$, luego el primer cuartil es $$Q_1=9$$
Veamos ahora cuál es el tercer cuartíl. Desde luego, hay también $7$ valores en la segunda mitad de la distribución, pues hemos considerado ya los $7$ de la primera mitad y los dos valores centrales que constituyen la mediana o segundo cuartil. Dividiendo ésta en dos cuartas partes, tendremos $3$ valores en cada una ( $x_{10}$, $x_{11}$ y $x_{12}$ ), siendo por tanto $x_{13}=12$ el valor que ha de corresponder al tercer cuartíl. Así pues $$Q_3=12$$
Por tanto $\text{RIQ}=12-9=3$, con lo cual $1,5 \cdot \text{RIQ} = 1,5 \cdot 3 =4,5$. Luego el intervalo $I$ vendrá dado por $(9-4,5\,,\,12+4,5)$, esto es, $I=(4,5\,,\,16,5)$. Y es evidente que $\{2,3,4\}$ no está incluido en $I$, por consiguiente podemos decir que los valores $2$, $3$ y $4$ son valores atípicos.
Observación:
Estos valores se representan con asteriscos en el diagrama de Tukey ( o de 'caja y bigotes' ). La longitud de de los bigotes no puede ser superior a $1,5 \cdot \text{RIQ} = 4,5$. Veamos cómo queda dicho diagrama:
$\square$
SOLUCIÓN. Adoptamos el siguiente criterio para decidir si un cierto valor es atípico. Decimos que un valor $k$ de la distribución de una variable estadística $X$ es atípico si $k \notin I$, siendo $I$ el intervalo $( Q_1-1,5\cdot \text{RIQ}\,,\,Q_3-1,5\cdot \text{RIQ})$, donde $\text{RIQ}=\left|Q_3-Q_1\right|$ ( rango intercuartílico ), siendo $Q_1$, $Q_2$ y $Q_3$, el primer, segundo y tercer cuartil, respectivamente.
Procedamos, por tanto, a calcular los extremos de dicho intervalo, y, para ello, deberemos calcular los cuartiles.
Ordenando estos $16$ valores obtenemos $$\{2,3,4,9, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13, 14\}$$ Como hay un número par de valores, el centro de la distribución viene dado por dos valores, que son $x_{8}$ y $x_{9}$, y ambos son igual a $10$, luego el segundo cuartíl ( o mediana ) es $$Q_2=10$$ Por otra parte al tener la primera mitad ( de la distribución ) $7$ valores ( un número impar ) el valor que separa las dos primeras cuartas partes es $x_4=9$, luego el primer cuartil es $$Q_1=9$$
Veamos ahora cuál es el tercer cuartíl. Desde luego, hay también $7$ valores en la segunda mitad de la distribución, pues hemos considerado ya los $7$ de la primera mitad y los dos valores centrales que constituyen la mediana o segundo cuartil. Dividiendo ésta en dos cuartas partes, tendremos $3$ valores en cada una ( $x_{10}$, $x_{11}$ y $x_{12}$ ), siendo por tanto $x_{13}=12$ el valor que ha de corresponder al tercer cuartíl. Así pues $$Q_3=12$$
Por tanto $\text{RIQ}=12-9=3$, con lo cual $1,5 \cdot \text{RIQ} = 1,5 \cdot 3 =4,5$. Luego el intervalo $I$ vendrá dado por $(9-4,5\,,\,12+4,5)$, esto es, $I=(4,5\,,\,16,5)$. Y es evidente que $\{2,3,4\}$ no está incluido en $I$, por consiguiente podemos decir que los valores $2$, $3$ y $4$ son valores atípicos.
Observación:
Estos valores se representan con asteriscos en el diagrama de Tukey ( o de 'caja y bigotes' ). La longitud de de los bigotes no puede ser superior a $1,5 \cdot \text{RIQ} = 4,5$. Veamos cómo queda dicho diagrama:
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Un caso de combinaciones con repetición
ENUNCIADO. En una tienda disponen de los siguientes tipos de refrescos: cola, limón, naranja y gaseosa. Una persona ha entrado en la tienda y ha comprado siete refrescos. ¿ Cuál es la probabilidad de que haya comprado "dos refrescos de cola, dos de limón, dos de naranja y una gaseosa" ?.
SOLUCIÓN. Denotemos el suceso pedido por $A$. Entonces, según la regla de Laplace ( todos los sucesos asociados a la realización del experimento aleatorio son igualmente probables ) $$P(A)=\dfrac{N(A)}{N} \quad \quad \quad (1)$$ donde $N$ es el número total de casos a considerar y $N(A)$ representa el número de casos favorables al suceso por el que nos interesamos. Procedamos, ahora, a calcular estas dos cantidades.
Obtener el número total de casos corresponde a resolver un problema de combinaciones ( pues no importa el orden en el que seleccionamos los refrescos adquiridos ); y, además, interesa ( desde luego ) que se pueda repetir la elección de los tipos de refrescos, pues se solicitan más unidades que el número de refrescos disponibles en la tienda. Se trata, pues, de un problema de combinaciones con repetición de cuatro clases de refrescos tomadas en grupos de siete, lo cual podemos abreviar así $CR_{4,7}$.
Este problema puede codificarse de la siguiente manera: colocando siete símbolos iguales ( uno para cada refresco que se quiere comprar ) en cuatro compartimentos ( tipos de refresco ), donde pongamos que el primero represente elección de cola; el segundo, elección de limón; el tercero, elección de naranja, y el cuarto, elección de gaseosa. Así, por ejemplo, $[**|*|***|*]$ ( los corchetes no juegan ningún papel relevante, sólo delimitan la 'palabra' ), significa que adquirimos $2$ colas, $2$ limonadas, $3$ naranjadas y $1$ gaseosa. Permutando ahora el conjunto de los $7$ símbolos iguales '*' y los $4-1$ símbolos ( iguales ) '|' de separación de los compartimentos, encontramos el siguiente número de ordenaciones posibles $$\dfrac{(7+(4-1))!}{7!\cdot (4-1)!}=120$$ lo cual puede expresarse en forma de número combinatorio $$\displaystyle \binom{7+(4-1)}{4-1}=\binom{7+(4-1)}{7}$$ Por tanto, $N=120$. En general, si hay $m$ tipos de refrescos en la tienda y queremos adquirir $n$ refrescos, podemos escribir $$\displaystyle \text{CR}_{m,n}=\binom{n+(m-1)}{m-1}=\binom{n+(m-1)}{n}$$, lo cual también puede designarse de la forma $\displaystyle \left(\binom{m}{n}\right)$
Por lo que se refiere al número de casos favorables, $N(A)$, sólo hay $1$ caso, que corresponde a la ordenación $[**|**|**|*]$. Entonces, de (1), concluimos que la probabilidad pedida es $$P(A)=\dfrac{1}{120}$$
$\square$
SOLUCIÓN. Denotemos el suceso pedido por $A$. Entonces, según la regla de Laplace ( todos los sucesos asociados a la realización del experimento aleatorio son igualmente probables ) $$P(A)=\dfrac{N(A)}{N} \quad \quad \quad (1)$$ donde $N$ es el número total de casos a considerar y $N(A)$ representa el número de casos favorables al suceso por el que nos interesamos. Procedamos, ahora, a calcular estas dos cantidades.
Obtener el número total de casos corresponde a resolver un problema de combinaciones ( pues no importa el orden en el que seleccionamos los refrescos adquiridos ); y, además, interesa ( desde luego ) que se pueda repetir la elección de los tipos de refrescos, pues se solicitan más unidades que el número de refrescos disponibles en la tienda. Se trata, pues, de un problema de combinaciones con repetición de cuatro clases de refrescos tomadas en grupos de siete, lo cual podemos abreviar así $CR_{4,7}$.
Este problema puede codificarse de la siguiente manera: colocando siete símbolos iguales ( uno para cada refresco que se quiere comprar ) en cuatro compartimentos ( tipos de refresco ), donde pongamos que el primero represente elección de cola; el segundo, elección de limón; el tercero, elección de naranja, y el cuarto, elección de gaseosa. Así, por ejemplo, $[**|*|***|*]$ ( los corchetes no juegan ningún papel relevante, sólo delimitan la 'palabra' ), significa que adquirimos $2$ colas, $2$ limonadas, $3$ naranjadas y $1$ gaseosa. Permutando ahora el conjunto de los $7$ símbolos iguales '*' y los $4-1$ símbolos ( iguales ) '|' de separación de los compartimentos, encontramos el siguiente número de ordenaciones posibles $$\dfrac{(7+(4-1))!}{7!\cdot (4-1)!}=120$$ lo cual puede expresarse en forma de número combinatorio $$\displaystyle \binom{7+(4-1)}{4-1}=\binom{7+(4-1)}{7}$$ Por tanto, $N=120$. En general, si hay $m$ tipos de refrescos en la tienda y queremos adquirir $n$ refrescos, podemos escribir $$\displaystyle \text{CR}_{m,n}=\binom{n+(m-1)}{m-1}=\binom{n+(m-1)}{n}$$, lo cual también puede designarse de la forma $\displaystyle \left(\binom{m}{n}\right)$
Por lo que se refiere al número de casos favorables, $N(A)$, sólo hay $1$ caso, que corresponde a la ordenación $[**|**|**|*]$. Entonces, de (1), concluimos que la probabilidad pedida es $$P(A)=\dfrac{1}{120}$$
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